1、自測題(第一章)一、選擇題(每小題 3分，共15分)：1.在某學校學生中任選一名學生，設事件A表示 選出的學生是男生”，B表示“選出的學生是三年級學生” ，C表示“選出的學生是籃球運動員”，則ABC的含義是( B ).(A)選出的學生是三年級男生；(B)選出的學生是三年級男子籃球運動員；(C)選出的學生是男子籃球運動員；(D)選出的學生是三年級籃球運動員；2 .在隨機事件A, B,C中，A和B兩事件至少有一個發生而 C事件不發生的隨機事件可表示為()(A) ACUBC(B) ABC(C) AB C U ABC U ABC(D) A U B U C3 .甲乙兩人下棋，甲勝的概率為0.6,乙勝的概

2、率為 0.4,設A為甲勝，B為乙勝，則甲勝乙輸的概率為().(A) 0.6 X 0.6(B) 0.6 -0.6 X 0.4(C) 0.6 -0.4(D) 0.64,下列正確的是().(A)若 P(A) >P(B),貝U B J A (B)若 AU B ,貝U P(A) > P(B)(C)若 P(A) = P(AB)，則 A £ B (D)若 10 次試驗中 A 發生了 2 次，則 P(A) = 0.25.設A、B互為對立事件，且 P (A) > 0, P(B) > 0 ,則下列各式中錯誤的是()(A) P(B|A)=0 (B) P(A|B)=0 (C) P(A

3、B)=0(D) P(aUb)=1解：1.由交集的定義可知，應選(B)2 .由事件間的關系及運算知，可選( A)3 .基本事件總數為C；,設A表示“恰有3個白球”的事件，A所包含的基本事件數為 c5=5,故P(A尸三，故 C 8應選(D)。4 .由題可知 A1、A2互斥,又 0<P(B)<1, 0<P(A1)<1 , 0<P(A2)<1,所以 P(A1B U A2B)=P(A1B)+P(A2B) F(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 故應選(C)。5 .因為 A、B 互為對立事件，所以 P(A+B)=1 , P(AB)=0 ,又

4、 P(A)A 0 , P(B)>0 ,所以 B=A,因而 P(B |A)=P(AA)=1，故選(A)二、填空題(每小題 3分，共15分)：1 . A、B、C代表三件事，事件“ A、B、C至少有二個發生”可表示為 . 1_ 一2 .已知 P(AB) =, P(AB ) = P(A) P(B), P (AB) = P( AB),則 P(A) =.163 . A、B 二個事件互不相容， P(A) =0.8, P(B) =0.1 ,則 P(A B) =.4 .對同一目標進行三次獨立地射擊，第一、二、三次射擊的命中率分別為0.4,0.5,0.7 ,則在三次射擊中恰有一次擊中目標的概率為 .,195

5、 .設 A、B、C 兩兩相互獨立，滿足 ABC =6,P(A) =P(B) =P(C) <一，且已知 P(A + B+C) = 一，則216P(A) = 解：1. AB+BC+AC五、(6分)3人獨立地去破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為A表示“密碼譯出"，則A = A1，A2 . A3P(B | A)P(B)P(A | B)P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.96 0.980.96 0.98 0.04 0.05= 99.8%2 . A、B 相互獨立，. . P(AB)=P(A)P(B) . P(AUB)=P(A)+P(B) F(AB)=0.2+0.5 -0.1=0

6、.63 . A、B 互不相容,則 P(AB)=0 , P(A-B)=P(A) -P(AB)=0.8,則三次射擊中恰有一次擊中目標可表示為4 .設A、B、C分別表示事件“第一、二、三次射擊時擊中目標”ABC +ABC + ABC,即有P(ABC ABC ABC )=P(A) P(B )P (C ) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B) P(C) =0.365 .甲產品滯銷或乙產品暢銷。三、判斷題(正確的打錯誤的打 爻”，每小題2分共10分)：1 .設A、B為任意兩個互不相容事件，則對任何事件C , AC和BC也互不相容.2 .概率為零的事件是不可能事件.3 .設A、 B為任意兩個事件，則

7、P(A AB ) = P(A) P(AB ).4 .設A表示事件男足球運動員”，則對立事件 A表示女足球運動員” .5 .設P(A) =0 ,且B為任一事件，則 A與B互不相容，且相互獨立.解：1.正確2.不正確3.正確4.不正確5.不正確四、(6分)從1,1,2,3,3,3,4,4,5,6這10個數中隨機取6個數，求取到的最大數是4的概率.解：設A表示事件“ 12名中國人彼此不同屬相”，每個人的屬相有12種可能，把觀察每個人的屬相看作一次試驗，由12R-乘法原理，這12個屬相的所有可能排列數為12，而事件A所包含的形式有P12種，則P(A)='17 =0.000054。12七、(10

8、分)假設有3箱同種型號零件，里面分別裝有 50件，30件和40件，而一等品分別有 20件，12件及24 件.現在任選一箱從中隨機地先后各抽取一個零件(第一次取到的零件不放回)，試求先取出的零件是一等品的概率； 并計算兩次都取出一等品的概率.解：設Bi、B2、B3分別表示選出的其中裝有一等品為20, 12, 24件的箱子，Ai、A2分別表示第一、二次選出的為一等品，依題意，有P(Ai)=P(Bi)P(AJBi)+P(B2)P(Ai |B2)+P(B3)P(Ai|B3)1201121247- .=0.46735033034015120191121112423P( A1A2)="P(Bi)

9、P(A1A2| BQ=0.220i a35049330293403911八、(10 分)設 P(A) = , P(B)=.321, 一1.右 AB =，求 P(BA); 2.右 AuB,求 P(BA) ; 3.右 P(AB)=,求 P(BA).81解：1. P(B A)=P(B)-P(AB)因為 A, B 互斥，故 P(AB)=0,而由已知 P(B)=-21 P(BA)=P(B)=-21. 12. P(A)=-,由 AuB 知:P(AB)=P(A)=-33111P(B A)=P(B)-P(AB)=-=- 2363. tP(AB)=L P(BA )=P(B) -P(AB)=1 -=- 8288九

10、、(10分)一批產品10件，出廠時經兩道檢驗，第一道檢驗質量，隨機取 2件進行測試，若合格，則進入第二 道檢驗，否則認為這批產品不合格，不準出廠；第二道檢驗包裝，隨機取1件，若合格，則認為包裝合格，準予出廠.兩 道檢驗中，1件合格品被認為不合格的概率為0.05, 一件不合格品被認為合格的概率為0.01,已知這批產品中質量和包裝均有2件不合格，求這批產品能出廠的概率.解：設H 1表示報名表是第i個地區考生的(i=1,2, 3), Aj表示第j次抽到的報名表是男生表(j=1,2),則1P(Hi)=P(H2)=P(H3)= 3_7820P(A1|H1)=； P(A1|H2 )= ；P(Ai|H3)=

11、 一10152531 37529(1) P=P(A1)=" P(H i)P(A1 | H i)()= i43 101525907810(2)由全概率公式得P(A21H1)= 一，P(A21H2)= 一，P(A21H3)= 一101525785P(A1A21Hi)=,P(AiA|H2)=，P(AiA2|H3)= 3030303.1782061P(A2)=" P(H i)P(A2 | H i)()i 4310152590一,一 .、一17305)，3 30因此,二 P(A | A2)二P(A1A2)20P(A2)6161P(A1A2)=" P(H i)P(A>2

12、 | H i)=一(90十、(8 分)設 0 < P( A) <1,0 <P(B) <1, P(A | B) +P(A | B) =1 ,試證事件 A 與 B 相互獨立.證明:0<P(A)<1 ,0<P(B)<1P(AB )P( AB) 1 - P( A B)P(A|B)=L ,P ( A | B ) =_=P(B)P(B) 1 - P(B)1 - P( A) - P(B) P(AB)一1 - P(B)又 P(AB)+P(a | B)=11 -P(A) -P(B) P(AB) P(B) - P(AB)1 -P(B)- P(B)化簡，彳導:P(AB

13、)=P(A)P(B)事件A、B相互獨立自測題(第二章)一、選擇題(每小題 3分，共15分)：1 .設隨機變量 X的分布律為P X =k =b，J(k =1,2,)，則()(A) 0 < 九 <1 ,且 b =1 -Z-(B) 0 <九< 1 ,且b =九(C) 0 < 九 <1 ,且 b = %,一1 (D) 0 c 九 <1 ,且 b =1 +九22 .設隨機變量 X的密度函數為f (x) =Ae，則()(B)3 .設隨機變量X的概率密度和分布函數分別是f (x)和F (x),且f (x) = f (-x),則對任意實數a ,有F (-a)=().1

14、 1(A) F(a)(B) - +F(a)(C) 2F(a)1(D)1 - F (a)2 24 .設相互獨立白隨機變量X,丫具有同一分布，且都服從區間0, 1上的均勻分布，則在區間或區域上服從均勻分布的隨機變量是().(A) ( X ,Y )(B) X +Y(C) X Y(D) X 25 .設(x)與F2(x)分別為隨機變量 X1與X2的分布函數，為使F(x) =aF1(x) bFz(x)是某隨機變量的分布函 數，在下列給定的各組數值中應取().32一2 .2(A)a = 一，b = (B) a = ，b5533131 .3(C)a =, b=一(D) a =一,b=22221 解工 PX =

15、k =bZ+b? +=b'一=1故選(C)f(x)dx二1即:bx .a _Aa e dx=_ =1 bb=-a又二 f(x)=a 6bx / 0a>0故選(D)XN(也仃2)1- f(x)=_2JiaU)2由4個結論驗得(B)為正確答案P(X =Y) = P X =1,Y =1P X = 2,Y = 21122-x + x 故選(D)3因為F(x)必須滿足條件0WF(x) <1,而只有取a = ,b52 -時，才會使0W F(x) & 1滿足，故選(A) 5二、填空題(每小題 3分，共15分)：1.二維隨機變量(X ,Y7121a0.22p0.3)的聯合分布律為：

16、，當X ,Y相互獨立時，a則a與P應滿足的條件是2.二維隨機變量一一1(X,Y)的聯合號度為：f(x,y)=1 x-(23.連續型隨機變量 X的概率密度為f (x) =«0,、一24.設 X N(10,0.02 )，已知 6(2.5)=0.9938,則5.設X , 丫是相互獨立的隨機變量,0 ： x ：二 1 一.，,則常數 其它P 9.95 < X ：: 10 .052,則X的邊緣概率密度22X N (2,仃)，Y N (3,0 )，且 P| 2X +Y -1 區 8.7654 0.95 ,則:二=1 解Z Z Pij =1ot + P +0.2 +0.3 =1 即有 ot

17、+ P =0.5 j當 X, 丫相互獨立P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1)a =( a+0.2)( a + P ) a =0.22 解 fX (x)=一11 登f (x, y)d y =_e- 2二二二2 y-4)上 )一_5)212 二；、.2 二二1 612 kkx dx - - =1033 解f 彳(x)d x =1 k=34 解 XN(10, 0.022)9 95 -10 P9.95 & X<10.05= P j9.95一10 < X0.02 一10 .05 -10=P _2.5 < X <2.50.02=2 (2.5) -1 =2 0.

18、9938 -1 = 0.98765 解,X, 丫相到獨立. .f(x, y)=fX(x)fY(y)“一一 .，-幾Acos x, | x 區一三、(12分)隨機變量X的概率密度為f (x)=<4 ,試求(1)系數A ; (2) X的分布函數；(3)n0,| x |> 、4X落在0內的概率.6 JJI汽解(1)f (x)d x=1,J-=O即 4 A cos xdx =Asin |4 = . 2A =1-4-4、2A 二2(2)當 x<時，F(x)=0當|x|W工時,4F ( x)-xf(x)d x -x 2cos xd7 212x = - sin x22當x> 工時,4

19、x2F (x) = f(x)dx= 4cos xd x =1二二_ 24匕JI0,x < -41 41nnF (x)=1一十sin x, 一一 < x < 一2 244311,x 之一4 P =；f(x)dx 二sxdx 0024四、(12分)假設一設備開機后無故障工作的時間X服從參數為9 =5的指數分布.設備定時開機，出現故障時自動關機，而在無故障的情況下工作2h便關機，試求設備每次開機無故障工作的時間Y的分布函數.解：(1)，X可能的取值為0, 1,2, 3設Ai=第i個元件出故障)i=1,2, 3P(X =0) P(A1)P(A2)P(A3)=(1-0.2)(1-0.3

20、)(1-0.5)=0.28P(X =1) =P(AiA2A3)(A1A2A3)P(AiA2A3)= P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3)=0.2 >0.7 對.5+0.8 仇3 為.5+0.8 /7 為.5=0.47同理 P(X=2)=P(A1A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1A2 A3) =0.22P(X =3) =P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3)=0.03X的分布律:X0123P0.280.470.220.03(2)由(1)及分布函數的定義知當 x<0 時，F(x)=0當 0<x&l

21、t;1 時，F(x)=P(X=0)=0.28當 1Wx<2 時，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.75當 2Wx<3 時，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.97當 x>3 時，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+PX=2)+ P(X=3)=10x <00.280 <x <2<0.751 <x <2 其圖為0.972 <x <31 1x >3F(x)八、一 一、,e x > 0,2五、(10分)隨機變量X的概率密度為f(x) =；求丫 = X 的概率密度.0, x <0、解：分另1

22、J記 X, Y的分布函數為Fx(x), Fy(y)由于 y=x2>0,故當 y<0 時，FY(y)=0當 y=x2>0 時，有 FY(y)=P(YWy)=P(X2Wy)=P(-Q wxw Q )y_ y= - fx (x)d x = i e d x =1 -eT：y0將FY(y)關于y求導數，即得y的概率密度為(1 -e 7 ) ' = -ey (77)y, y >。fY (y)=2 Jy10其它fY(y) = Re0,其它六、(12分)隨機變量 X和丫均服從區間0, 1上的均勻分布且相互獨立.31 .寫出二維隨機變量( X ,Y )的邊緣概率密度和聯合概率密度

23、.2.求PX +Y <-.2解：(1)由題意得:11-,0 < x < 2-, 0 < y < 2fx (x)=彳2fy(y) = <20,其它0,其它又X,丫相互獨立f(x y)=fx(x)f>(y)=140，0MxM 2其它1= f (x, y)d xd y =-d xd y33 433 192 d x 2-d y =-)0432七、（12分）已知隨機變量 X與Y的分布律為X-101P1/41/21/4Y01P1/21/2且已知 P XY =0 =1 .（1）求（X ,Y ）的聯合分布律;解：（1）由 P（XY=0）=1 ,可見（2） X與丫是否相

24、互獨立？為什么?PX=-1, Y=1=PX=1, Y=1=0 1易見 P X = -1,Y =0= P X = _1= 一 41P X =0,Y =1 =PY =1= 一 21P X =1,Y =0 =PX = _1二 4111Px =0,y =0 a -(-)=0 424于是，得X和Y的聯合分布：1041一021111(2)P(X=0, Y=0)=0 而 P(X=0)P(Y=0)= M (一+) =#02444P(X=0) P (Y=0)豐 P (X=0,、豐 0)X, Y不獨立八、（12分）設X , 丫是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為fx(x) =«1,0,0 <

25、 x < 1其它fY (y) = "0,求隨機變量Z =X+ Y的概率密度函數.設Z的密度函數為fz(z),則由卷積公式得1令zW在 zfz (z) = fY(z x)dx= ( 1fY(t)dta)當 z<0 時，fY(t)=0, .fZ(z)=0b)當 0Wz<1 時，z-1<0 , z>0 0zfz(z)= j 0dt - I e xdt =1 e二c)當 z> 1 時，z-1 >0zfz (z) = 1 e -d t = e1-e - = (e -1)e *0, z ： 0綜述：fz (z) = « 1 -e -,0Mz &

26、lt;1z(e-1)e , z 之1自測題(第三章)一、選擇題(每小題 3分，共6分)：則每次射擊的命中率等于1 .對目標進行 3次獨立射擊，每次射擊的命中率相同，如果擊中次數的方差為0.72,().(A) 0.1( B ) 0.2( C ) 0.3( D ) 0.42 .若 D(X -Y) =D(X +Y),貝U ().(A) X與丫獨立(B) D(X) = D(Y)(C) D(X+Y)=0(D) X 與丫 不相關1 .選(D);由題意知：XB(3, p),而 D(X)=3 p (1 13)=0.72 p=0.4。E(X)=0o-ax2.選(B);E(X)= f xf (x)dx = f 一

27、*dx ,而被積函數為對稱區間上的奇函數,.二.- ,a22二, a - x二、判斷題(每小題 3分，共12分)： 、一 1 一 一1 .設隨機變量 X的概率密度為f (x) =1,q <x <依，則E(X) =0.()二(1 , x )2 .設 X N (0,cr2),則對任何實數 a 均有：X+aN(a,cr2+a2).()3 .設XN ( R,。2) , Y從參數為九的指數分布，則E (X 2 +Y 2) = R2 +。2 .()4 .設 E(XY ) =E(X )E(Y),則 X 與丫 獨立.()1. X；E(X)= -x f 3dxi7dx二二1d (12. X; E(X

28、+a)=E(X)+ a=a, D(X)=D(X+a)=D(X)=；=2X+a N(0,0 2) D(X)= E(X2) -E(X)2, D(Y)=E(Y2) 1E(Y)91_1,1而 E(X)=R, D(X)=a2 , E(Y)=- , D(Y)=f(其中九=一)。九九6E(X+Y)=E(X )+E(Y )=D(X)+E(X) +D(Y)+E(Y),222=N +仃 + 2 九一。4. X;參見教材例3.14。三、填空題(每空 2分，共22分)：1.設二維隨機變量(X ,Y )的聯合分布律為:71211/41/2-101/4貝UE(X)=, D (X ) =, E(Y) =, D (Y) =,

29、 cov( X ,Y)='ax + 2,2 .設連續型隨機變量 X概率密度為f (x)=)0MxM 10,其它一1 一，且E(X )=一，則常數a33 .設隨機變量 X的數學期望E(X ) =75,.D(X ) = 5 ,且P| X - 75 |至k E 0.05 ,則k 24 .對圓的直徑作近似測量，測量近似值X均勻分布于區間0,a內，則圓面積的數學期望是5 .設隨機變量 X與丫相互獨立，且X - N (1,2,), Y - N (0,1).令 Z =4 + 2X +3 ,則 D (Z )=6 .設隨機變量(X,Y)在 區域D=(x,y) 10Mx <1,|y|Cx內 服從均勻

30、 分布，則E(3X 5Y , 2)二1111. E(X)=1 X-十2 父一十一 I_2_2212D(X)=E(X ) 1E(X) =1 x+2 黑47弋324； <4 J 16E(Y)=11(T)2D(Y)=E(Y2) iE(Y)2=12 x I1+1(-1)4223I =；41cov(X, Y)=E(XY) -E(X)E(Y)= ( ,2) x- +(_1) x 04PxY11cov( X ,Y)D(X ) . D (Y)2. 1E(X)= xf (x)dxJx (ax - 2)dx- 0a 3x<3a= -2o4.設|x|f(x)為奇函數,| f (x)dx 收斂，E(X)=

31、0oY=nfX ;表示圓面積,2XUa a, E(X)=0,D(X)=2E(Y)=E :Ji二一E (X4= D(X)E(X)3125. X 與 丫相互獨立，二. D(Z)=D(>+2X+3)=D(+)+D(2X+3) =(T)2D(Y)+4D(X)=1+4 X2=9o6. D(Y)=D(2X D)=4D(X)=4 E(X2) 1E(X)2=4(4 才)=12。四、(10分)設隨機變量(X,Y )的概率密度為:1(x y),0 _ xf (x, y) - 30,< 2,0 < y < 1其它求數學期望E(X )及E (Y),方差D (X )及D (Y),協方差cov(

32、X，丫)及相關系數PXY,二,二1、解：E(X)= xf (x, y)dxdy = 一2dx1x(x y)dy*be1x dx 211一；E(Y)= i yf (x, y)dxdy1 13。(3252 y - 2 y)dy =10dy20 y(x y)dxE(x2)=y,二m 2 .x f (x, y)dxdy2dx2，、，x (x ' y)dy916一,23一； D(X)=E(X2)-E(X)2=-99E(Y2)= I i y 2 f (x, y)dxdy1二 0dy 02 2, y (x y)dx127y (2y 2)dy =0182D(Y)=E(Y2)1E(Y)2=Z_i5=烏;

33、189162-He -beE(XY)= '' xy f (x, y )dxdyJ_oO1 21一 dx xy (x y)dyj12xcov(X, Y)=E(XY) -E(X)2 E(Y)=3111一； 811,9 16281. 23 13-cov( X,Y)XY =D(X) . D(Y)=-1潟。五、（10分）設有甲、乙兩種投資證券，其收益分別為隨機變量X 1 , X 2 ,已知均值分別為 匕，N2，風險分別為5 ,仃2，相關系數為P,現有資金總額為C （設為1個單位）.怎樣組合資金才可使風險最小?解:-heE(X)= x (x) dx-bexmx-x .e dx m!m /

34、x em!二 1 ae d (x m!1 (m 1)二m _xx e dxm!,=(m 1) °：e,dx_x二(m 1)( -e ). E(X2)= °1- -2 .x -(x)dxm 2-_xx e dx-xm 21 m -2.x一 一x e m!m! 0-10m!-he_xme d (xm!_x d (-em!-0-be_x em,1x dx=(m+2) (m+1)D(X)=E(X2) 1E(X)2=(m+2) (m+1)m+1)2=m+1。P|解:六、（10分）設隨機變量X的分布密度X -E(X) |<2 %?D(X).由 _:f(x)dx=0ax (1 -

35、x)dx = a213 iix 一 x3f (x)'ax (1 - x),0 < x <1其它求a,E(X),D(X)和0,得：a=6;這時，f（x）=-6x(1 -x) 0 < x <1其它D(X)=E(X2) 1E(X)2二1 2x 6x(1 - x)dx21、1I =;<2J20P| X E(X) |<2V'D(X) =P)11_ +-=1215-2.：5f (x) dx = 25 6 x (1 - x)dx二6 12=P1X2213x - - x3七、(10分)設隨機變量X與丫相互獨立，且均服從密度為密度；(2)求 E ( XY ).

36、解：由于X與丫相互獨立，(1)應用卷積公式，有 Z=X+Y的分布密度1，5 ：X111.5=_ +。250f(x) =_x e -x . 0.x ,的分布，求(1) X +Y的分布x £ 0fz(z)=fX (x)fY (Z -x)dx考慮到fX(x)僅在x>0時有非零值，fY(Zi)僅在Zi>0 ,即x<Z時有非零值,故當z>0時zf(z)= o e ".iZx), e dx 二z _Zze dx = xez_z0 = Ze ，即 f(Z)= «z . 0oz _0(2) E(XY)=E(X) E(Y)=1 X1=1 ( 丁 X、Y 均服

37、從 九二1 的指數分布)。:二 9)八、(10分)設隨機變量 X服從泊松分布，E(X)=6,證明：P 3 < X證明：: Xn (八)，且 E(X)=6=九，則 D(X)= = =6 根據切比雪夫不等式，有P3< X<9= P|Z-6|<3) P1九、(10分)X為連續機變量，概率密度滿足：當xa,b時，f(x)=0 ,證明：b - a 2a <E(X ) <b,D(X) <().2證明：< a<x<b, f (x)dx =1boa二af (x)dx _ E (X )5-to= xf (x)dx- bf (x) dx6b f f (x

38、) dx = b。6容易證明 D(X)WE(x©2),取c二D(X)< E+ b 丫f(x)dx2.(x)dx =b -a '2 f (x)dx = 2一、填空題(滿分 15分)1 .已知P=0.3,P(A2B)=0.7,且A與B相互獨立，則P(A)=1P X =0= 2 .設隨機變量X服從參數為九的泊松分布，且3 ,則人=23 .設 X N(2,o )，且 P2 <X <4 =0.2 ,則 PX <0=4 .已知DX=2 , DY=1，且X和丫相互獨立，則 D(X-2Y)=c.2 .1. 75 .設S是從N (0,1)中抽取容量為16的樣本方差，則D

39、(S ) =2. ln 33. 0.34. 65. 15P(A) =0.4 ,則 P(B)=二、選擇題(滿分15分)1.已知事件A, B滿足P(AB) =P(AB),且(A) 0.4,(B) 0.5,(C) 0.6,2.有丫個球，隨機地放在 n個盒子中(T<)n,(D) 0.7則某指定的丫個盒子中各有一球的概率為(A) nC n j(B) nn n!Cn(C)(D)3.設隨機變量X的概率密度為f(x) = cec=(A) 2(B) 0(C) 2(D)4.擲一顆骰子600次，求 點”出現次數的均值為50(B) 100(C) 120(D) 1505.設總體N - P, N + P)上服從均勻

40、分布，則參數的矩估計量為(A)(B) n 一1(C) n 一1(D) x1. C2. A3. C4. B5. D、計算題(滿分 60分)1.某商店擁有某產品共計 的概率。12件，其中4件次品，已經售出2件，現從剩下的10件產品中任取一件，求這件是正品211C 86 C 8c 4P =22C 1210C 127 C2 4- 210C128=0 .67102.設某種電子元件的壽命服從正態分布N (40, 100),隨機地取 5個元件，求恰有兩個元件壽命小于50的概率。6(1) =0.84136(2) =0.977250 40,P X < 50 =P :二=：J(1) =0.8413x -.4

41、0Y =10 ，則 Y B(5，0.8413).因此_ 223 3PY=2=C50.8 4l3(1 一 0.8413 =0.0 2833.在區間(0, 1)中隨機地取兩個數，求事件兩數之和小于5 ”的概率。1 f (x)=，00 < x < 1其它f(y)100 < y < 1其它所以1f (x, y) = f (x) f (y) =300<x<1,0<y<1其它P X Y：上 5 254 .一臺設備由三個部件構成，在設備運轉中各部件需要調整的概率分別為0.2, 0.3, 0.4,各部件的狀態相互獨立,求需要調整的部件數 X的期望EX和方差DX

42、。E(X ) =0.9 D (X ) =0.61 .5 .從一正態總體中抽取容量為10的樣本，假定有2%的樣本均值與總體均值之差的絕對值在4以上，求總體的標準差。(6(2.055 )=0.98,6(2.325 )=0.99)P ( X N|E4)=1 -0.02 = 0.98 故-1 =0.98= 0.99二2.325-5.446 .設某次考試的考生成績服從正態分布，從中隨機地抽取36位考生的成績，算得平均成績為 66.5分，標準差為15分，問在顯著性水平0.05下，是否可認為這次考試全體考生的平均成績為70分？并給出檢驗過程。tc.025 (35 ) =2.0301t0.025 (36 )

43、= 2.0281_ 2X - N (66.5,)n設 H。： X =70 , f : X #70 ,則X -t t (nSn-1),故拒絕域為w =1t | t >ta(35)或 t < -ta(35) b、22 J,即w = t 11 之 2.0301 或 t < -2.0301 由于t =1.4不在拒絕域內，故接受 H 0 ,即可以認為這次考試全體考生的平均成績為70分.四、證明題1.設A, B是兩個隨機事件，0<P(A)<1 , 0<P(B)<1 , P(B|A)=P(B|A),證明：a與B相互獨立。P(B) = P(A)P(B | A) P(A

44、)P(B | A)P(A) P( A) P(B | A)= P(B | A)二P(AB )P(A)所以 P(AB ) = P(A)P(B).2.設總體X服從參數為九的泊松分布，X1,X n是X的簡單隨機樣本，試證：2(X +S，是人的無偏估計。222 E 1 X S2E(S )=九，E(Xi )=八+九，故 上是人的無偏估計.概率論與數理統計試題(1)判斷題(本題共15分，每小題3分。正確打(4)對任意事件A和B,必有P(AB)=P(A)P(B)設A、B是中的隨機事件，則(AUB)-B=A若X服從參數為入的普哇松分布，則 EX=DX 假設檢驗基本思想的依據是小概率事件原理,錯誤打“X”)()(

45、)() c1n-，、，樣本方差S： = -X (XiX)2是母體方差DX的無偏估計 n 1X; X;、(20 分)設 A、，；，； X。B、C是中的隨機事件，將下列事件用A、B、C表示出來(1) 僅A發生,A, B,C(3)A, B,CB、C都不發生;(4)(5)A, B,CA, B,C中至少有兩個發生; 中不多于兩個發生; 中恰有兩個發生； 中至多有一個發生。解(1) ABC- (2) AB U AC U BC 或 ABCabC aBCUAbc ;(3)AUbUC 或 abC- U aBC U Abc U aBC U AbC U ABC U ABC ；( 4)abC U aBC U Abc

46、；(5) AB AC BC 或 aBC aBC ABC ABC三、(15分) 把長為a的棒任意折成三段，求它們可以構成三角形的概率解設A ='三段可構成三角形，又三段的長分別為 x , y , ax - y，則 0Mx<a,0 < y < a, 0<x + y<a,不等式構成平面域 S.一aaA發生u 0<x<一, 0 < y <,不等式確定S的子域A , 所以P(A)A的面積S的面積1015四、(10分)已知離散型隨機變量X的分布列為求丫 二 X2的分布列._15解 Y的分布列為Y 01491711 1 .P - 53 053 0

47、1五、(10分)設隨機變量 X具有密度函數f(x) = e上1, g v xvg ,求X的數學期望和方差2二 1解 EX = f x ,-eJ-ldx =0 ,(因為被積函數為奇函數) 4 分-二 2_2DX =EX2 1 x| |e 一 dx2,F 2x x e - dxx=2 -xeto0,02_x-x e -to20xe -dx"edx =2.10 分六、(15分)某保險公司多年的資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占 因被盜而向保險公司索賠的戶數，求P(14 <X <30).20% ,以X表示在隨機抽查100個索賠戶中x 00.511.522.53(x) 0.5000

48、.6910.8410.9330.9770.9940.999解 X b(k;100,0.20),EX=100 X 0.2=20, DX=100 X 0.2 X 0.8=16.-5 分30 -2014 -20八P(14 <X <30)之(一)中(一一一)10 分,16.16=：.：( 2.5)。(-1.5=0.994+0.9331=0 . 9 2.-15 分七、(15分)設X1 , X2，Xn是來自幾何分布：P(X =k) = p(1 p)k,，k =1, 2，0 < p <1，的樣本，試求未 知參數p的極大似然估計.n n' xi -nx； _1n解 L(Xi x

49、n p 寸n p +p )= p -p1 - )5 分i W nl nL = n l n p - 式 X - n ) l n 十 1 p ),i Wd ln Ldp:0,10解似然方程得p的極大似然估計-n15概率論與數理統計期末試題(2)與解答、填空題(每小題3分，共15分)1 .設事件A,B僅發生一個的概率為 0.3,且P(A) +P(B) =0.5 ,則A,B至少有一個不發生的概率為 .2 .設隨機變量X服從泊松分布，且 P(X <1) =4P(X =2),則P(X =3)=.23 .設隨機變重X在區間(0,2)上服從均勻分布，則隨機變重Y = X 在區間(0,4)內的概率皆度為f

50、y (y)二4.設隨機變量X ,丫相互獨立，且均服從參數為九的指數分布，P(X >1) =e-,則九=Pmin( X ,Y) <1=5.設總體X的概率密度為(u 1) x u, 0 ：:： x ：:： 1,.1.0,其它Xi,X 2，X n是來自X的樣本，則未知參數 0的極大似然估計量為解：1 . P(AB +A B) =0.3即 0.3 = P(AB) - P(AB) =P(A) -P( AB) P(B) -P( AB) =0.5 -2P( AB) 所以 P(AB ) =0.1P(A B) =P(AB) =1 - P ( AB ) =0.9.2.P(X <1) =P(X =0) P(X =1) =e, + .e-',P(X =2)2九 =e-2P(X <1) =4P(X =2)知 e-' e '' - 2 '2e"，3.2/一九一1 二01 P(X =3) = -e6設丫的分