1、平行四邊形和特殊四邊形提高練習(xí)?？碱}和培優(yōu)題一.選擇題（共5小題）1 .如圖，把大小相同的兩個矩形拼成如下形狀，則4FBD是（）A.等邊三角形B.等腰直角三角形C. 一般三角形D.等腰三角形2 .如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=6, CE=3四,H是AF的中點，那么CH的長是（）A. 3.5 B.蕊 C. V10D. 2甚3 .如圖，在矩形ABCD中，AB=4, BC=8 ,對角線AC、BD相交于點O,過點O作OE垂直AC交AD于點E,則AE的長是（）A. 3 B. 5 C. 2.4 D. 2.54 .如圖，在 4ABC 中，CF± AB 于 F, BEX

2、 AC 于 E, M 為 BC 的中點，EF=7,BC=10,則AEFM的周長是（）BA. 17 B. 21 C. 24 D. 275 .如圖，在矩形ABCD中，AB=6, AD=8 , P是AD上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足為E、F,則PE+PF的值為（）學(xué)習(xí)參考A. 10 B. 4.8 C. 6 D. 5二.填空題（共4小題）6 .如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O, AE平分/BAD交BC于點E,若/CAE=15 ,則/BOE的度數(shù)等于7 .如圖，將平行四邊形 ABCD的邊DC延長到E,使CE=CD,連接AE交BC于F, ZAFC=n/D,

3、當(dāng)n=時，四邊形ABEC是矩形.A8 .如圖，在正五邊形 ABCDE中，連接AC、AD、CE, CE交AD于點F,連接BF,則線段AC、BF、CD之間的關(guān)系式是9 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，四邊形OABC是矩形，A ( - 10,0) , C (0, 3)，點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當(dāng)ODP是腰長三.解答題(共31小題)10 .如圖，正方形ABCD中，AE=AB,直線DE交BC于點F,求/BEF的度數(shù).11 .如圖，梯形ABCD中，AD /BC, AB=CD ,對角線AC、BD交于點 O, AC±BD, E、F、G、H 分別為 AB、BC、CD、DA 的中點.

4、(1)求證：四邊形EFGH為正方形；(2)若AD=1 , BC=3,求正方形EFGH的邊長.H_D12 .如圖，點E、F分別是正方形 ABCD的邊CD和AD的中點,點P.求證：AP=AB.BE和CF交于BC13 .如圖，點P為正方形ABCD對角線BD上一點，PE±BC于E,(1)求證：PA=EF;(2)若正方形ABCD的邊長為a,求四邊形PFCE的周長.ADPF±DC 于 F.BeC把 DEC沿DE14 .如圖1,在正方形ABCD中，點E為BC上一點，連接DE,折疊得到DEF,延長EF交AB于G,連接DG .(1)求/EDG的度數(shù).(2)如圖2, E為BC的中點，連接BF.

5、求證：BF/DE;若正方形邊長為6,求線段AG的長.15 .如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上,且BF=EF.(1)求證：BF=DF;(2)求證：/ DFE=90 0 ;(3)如果把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變(如圖)，當(dāng)/ABC=50時，/DFE二度.16 .已知正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于O.如圖1,若E是AC上的點，過A作AGXBET G, AG、BD交于F,求證：OE=OF如圖2,若點E在AC的延長線上，AGLEB交EB的延長線于G, AG延長DB 延長線于點F,其它條件不變，OE=OF還成立嗎？圖 F 圖 E17 .如圖，點P是

6、菱形ABCD中對角線AC上的一點，且PE=PB.(1)求證：PE=PD;(2)求證：/PDC=/PEB;(3)若/ BAD=80 °連接DE,試求/PDE的度數(shù)，并說明理由.B E C18 .如圖，正方形ABCD中，AB=1，點P是BC邊上的任意一點(異于端點B、C),連接AP,過B、D兩點作BEX AP于點E, DFLAP于點F.(1)求證：EF=DF- BE;(2)若4ADF的周長為，求EF的長.DCB19 .如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD的交點為。，以O(shè)為端點引兩條互相垂直的射線OM、ON,分別交邊AB、BC于點E、F.(1)求證：0E=OF;(2)若正方形的邊長為4,

7、求EF的最小值.3C20 .如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AD上任意一點，BE的垂直平分線FG交對角AC于點F.求證:(1) BF=DF;(2) BF± FE.21 .已知：如圖所示，四邊形ABCD中，ZABC= / ADC=90 ° M是AC上任點，。是BD的中點，連接MO ,并延長MO至I N ,使NO=MO，連接BN與ND.(1)判斷四邊形BNDM的形狀，并證明；(2)若M是AC的中點，則四邊形BNDM的形狀又如何？說明理由.22 .如圖，在4ABC中，。是邊AC上的一動點，過點O作直線MN /BC,設(shè)MN交/BCA的平分線于點E,交/BCA的外角平分線于點F.(

8、1)求證：OE=OF;(2)當(dāng)點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形？BC D23 . (1)如圖矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O,過點D作DP/OC,且DP=OC ,連接CP,判斷四邊形CODP的形狀并說明理由.(2)如果題目中的矩形變?yōu)榱庑危Y(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?？說明理由.(3)如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?，結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁?？說明理由.24 .如圖 1,已知 ABCD, AB=CD, ZA= ZD.(1)求證：四邊形ABCD為矩形；(2) E是AB邊的中點，F(xiàn)為AD邊上一點，/DFC=2/BCE.如圖2,若F為AD中點，DF=1.6,求CF的長度：如圖 2,若 CE=4, CF=5,則 AF

9、+BC=, AF=.U M圖1圖工25 .如圖，直線a、b相交于點A, C、E分別是直線b、a上兩點且BC±a, DE，b,點M、N是EC、DB的中點.求證：MN ±BD.26 .如圖所示，在梯形 ABCD 中，AD /BC, / B=90 AD=24cm , BC=26cm ,動點P從點A出發(fā)沿AD方向向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿著CB方向向點B以3cm/s的速度運動.點P、Q分別從點A和點C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點隨之停止運動(1)經(jīng)過多長時間四邊形PQCD是平行四邊形？(2)經(jīng)過多長時間四邊形PQBA是矩形?,有 PQ=CD.27 .

10、如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF .連接CF交BD于G,連接BE交AG于H.已知正方形ABCD的邊長為4cm ,解決下列問題：(1)求證：BEX AG;(2)求線段DH的長度的最小值.BC28 .如圖，點M是矩形ABCD的邊AD的中點，點P是BC邊上一動點,PEXMC, PF±BM,垂足為 E、F.(1)當(dāng)矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PEMF為矩形？猜想并證 明你的結(jié)論.(2)在(1)中，當(dāng)點P運動到什么位置時,矩形PEMF變?yōu)檎叫?為什 么？AMDBP C29 .某校數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次課外活動，過程如下：如圖，正方形ABCD中，A

11、B=4,將三角板放在正方形 ABCD上，使三角板的直角頂點與 D點 重合.三角板的一邊交AB于點P,另一邊交BC的延長線于點Q.(1)求證：AP=CQ;(2)如圖，小明在圖1的基礎(chǔ)上作/PDQ的平分線DE交BC于點E,連接PE,他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請猜測他的結(jié)論并予以證明；30 .如圖,在菱形ABCD中，AB=4cm , / ADC=120。點E、F同時由A、C兩點出發(fā)，分別沿AB、CB方向向點B勻速移動(到點B為止)，點E的速度為1cm/s，點F的速度為2cm/s ,經(jīng)過t秒 DEF為等邊三角形，求t的值.31 .如圖，在RtzXABC中，/ ABC=90 °點D是

12、AC的中點，作 "DB的角平分線DE交AB于點E,(1)求證：DE/BC;(2)若AE=3, AD=5，點P為BC上的一動點，當(dāng)BP為何值時，zDEP為等腰三角形.請直接寫出所有BP的值 .C32 .已知：如圖，BF、BE分別是BC及其鄰補角的角平分線，AEXBE,垂足為點E, AFLBF,垂足為點F. EF分別交邊AB、AC于點M、N.求證:(1)四邊形AFBE是矩形；(2) BC=2MN .33 .如圖，在邊長為5的菱形ABCD中，對角線BD=8，點O是直線BD上的 動點，OELAB 于 E, OF± AD 于 F.(1)對角線AC的長是,菱形ABCD的面積是;(2)如

13、圖1,當(dāng)點。在對角線BD上運動時，OE+OF的值是否發(fā)生變化？請說 明理由；(3)如圖2,當(dāng)點。在對角線BD的延長線上時，OE+OF的值是否發(fā)生變化？ 若不變請說明理由，若變化，請直接寫出OE、OF之間的數(shù)量關(guān)系，不用明理 由.34 .如圖，已知RtzABD¥tzFEC,且B、D、C、E在同一直線上,連接BF、AE.(1)求證：四邊形ABFE是平行四邊形.(2)若/ ABD=60 0 AB=2cm , DC=4cm ,將4ABD 沿著 BE方向以 1cm/s 的速度運動，設(shè)4ABD運動的時間為t,在4ABD運動過程中，試解決以下問(1)當(dāng)四邊形ABEF是菱形時，求t的值;(2)是否存

14、在四邊形ABFE是矩形的情形？如果存在，求出t的值，如果不存在，請說明理由.F35 .已知,矩形ABCD中,AB=4cm , BC=8cm , AC的垂直平分線 EF分別交AD 、 BC 于 點 E 、 F , 垂 足 為E D 且EDAEDB FC B FC B FCO.圖：圖:備用圖(1)如圖1,連接AF、CE.求證：四邊形AFCE為菱形.(2)如圖1,求AF的長.(3)如圖2,動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿4AFB和4CDE各邊勻速運動一周.即點P自 ZF- B-A停止，點Q自C)AEC停止.在運動過程中，點P的速度為每秒1cm ,設(shè)運動時間為t秒.問在運動的過程中，以A、P、C

15、、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能，請求出運動時間t和點Q的速度；若不可能，請說明理由.若點Q的速度為每秒0.8cm,當(dāng)A、P、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四 邊形時，求t的值.36 .如圖1, E, F是正方形ABCD的邊上兩個動點，滿足AE=DF,連接CF交BD于G,連接BE交AG于點H(1)求證：AGXBE;(2)如圖2,連DH,若正方形的邊長為4,則線段DH長度的最小值是圖1圖237 .如圖，在菱形ABCD中，AB=2, / DAB=60 °點E時AD邊的中點，點M時AB邊上的一個動點(不與點A重合)，延長ME交CD的延長線于點N ,連(1)求證：四邊形AMDN

16、是平行四邊形.(2)填空：當(dāng)AM的值為 時，四邊形AMDN是矩形； 當(dāng)AM的值為 時，四邊形AMDN是菱形.38 .如圖，已知正方形OABC的邊長為4,頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點，點P (0, m)是線段oc上的一動點9點P不與點0、C重合0,直線PM交AB的延長線于點D .(1)求點D的坐標(biāo)；(用含m的代數(shù)式表示)(2)若4APD是以AP邊為一腰的等腰三角形，求m的值.39.如圖，在 ABC中，/ ABC=90 °點D為AC的中點，過點C作C已BD于點E,過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG=BD,連接 BG、DF.(1)證明

17、：四邊形BDFG是菱形；(2)若AC=10 , CF=6,求線段AG的長度.40.如圖，在正方形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊BC的延長線上，連接EF與邊CD相交于點G,連接BE與對角線AC相交于點H, AE=CF, BE=EG.(1)求證：EF/AC;(2)求/BEF大??；(3)若EB=4,則 BAE的面積為.學(xué)習(xí)參考初二數(shù)學(xué)平行四邊形和特殊四邊形提高練習(xí)?？碱}和培 優(yōu)題參考答案與試題解析一.選擇題（共5小題）1. （2012春?炎陵縣校級期中）如圖，把大小相同的兩個矩形拼成如下形狀A(yù).等邊三角形B.等腰直角三角形C. 一般三角形D.等腰三角形於析】根據(jù)正方形性質(zhì)得出 FG=BC, /

18、G=/ C=90 ° GB=CD,根據(jù)SAS證4FGBA BCD,推出 /FBG=/BDC, BF=BD ,求出 /DBC+/ FBG=90 ° 求出 /FBD的度數(shù)即可.解答】解：.大小相同的兩個矩形GFEB ABCD,. FG=BE=AD=BC , GB=EF=AB=CD , /G=/C= ZABG= / ABC=90 ° , .在 AFGB和 ABCD 中'FG 二 BC，/G=NC, lGB=CD.FGBA BCD, .zFBG=/BDC, BF=BD,. zBDC+Z DBC=90 ° ,zDBC+Z FBG=90 ° , .

19、/ FBD=18090 0 =90 ° ：即AFBD是等腰直角三角形，故選B.陵評】本題考查了等腰直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形性質(zhì)的 應(yīng)用，關(guān)鍵是證出FGBX BCD,主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進行推理的能力2.（2015春?江陰市期中）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=/2, CE=3&, H是AF的中點,那么CH的長是（A. 3.5 B.乖 C. V10D. 2通附析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出 AB=BC= V2, CE=EF=3如，/ E=90 °延長AD 交EF于M,連接AC、CF,求出AM=4M, FM=2&, /AM

20、F=90,根據(jù)正方 形性質(zhì)求出/ACF=90，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出 CH=AF,根 據(jù)勾股定理求出AF即可.解答】解：:正方形 ABCD和正方形 CEFG中，點D在CG上，BC=V2 , CE=3瓶,. AB=BC=&, CE=EF=3&, / E=90 ° ,延長AD交EF于M ,連接AC、CF,WJ AM=BC+CE=4 的，F(xiàn)M=EF-AB=2 &，/AMF=9 0,.必邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，zACD= / GCF=45 ° 、 ./ ACF=90 .H為AF的中點,，ch=1af,2在RtzXAMF中，由勾股定理

21、得：AF=Jah2+Fm2=2用，.CH=.皿故選：C.【點評】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的應(yīng) 用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，并求出AF的長和得出CH=1AF,有一定的難度.3. (2015春?泗洪縣校級期中)如圖，在矩形ABCD中，AB=4 , BC=8 ,對角線AC、BD相交于點O,過點O作OE垂直AC交AD于點E,則AE的長是( )A. 3 B. 5 C. 2.4 D. 2.5附析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出/ CDE=90 ° AD=BC=8 , AB=DC=4 , AO=OC ,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AE=CE,在RtACDE中，由勾股定理得

22、出解答】解:CE2=CD2+DE2,代入求出即可.在矩形 ABCD 中，AB=4 , BC=8 ,丁. / CDE=90 AD=BC=8 , AB=DC=4 , AO=OC , ,.OEXAC,. AE=CE,在RtzXCDE中，由勾股定理得：CE2=CD2+DE2,即 AE2=42+ （8 AE） 2,解得：AE=5,故選B.陵評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解此 題的關(guān)鍵是得出關(guān)于AE的方程.4. （2015秋?無錫期中）如圖，在4ABC中，CFLAB于F, BEX AC于E, M為BC的中點，EF=7, BC=10,則4EFM的周長是（）BcA. 17 B.

23、 21 C. 24 D. 27於析】根據(jù)CFAB于F, BEX AC于E, M為BC的中點，利用直角三角形斜邊 上的中線等于斜邊的一半，求出FM和ME的長，即可求解.解答】解：口AB, M為BC的中點,. MF是RtA BFC斜邊上的中線，. FM=lBC=lxi0=5 ,22同理可得，ME=BC=X10=5 ,22又 VEF=7, AEFM 的周長=EF+ME+FM=7+5+5=17.故選A.【點評】此題主要考查學(xué)生對直角三角形斜邊上的中線這個知識點的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出FM和ME的長.5. （2015春?烏蘭察布校級期中）如圖，在矩形A

24、BCD中，AB=6 , AD=8 , P是AD上不與A和D重合的一個動點,過點P分別作AC和BD的垂線,垂足為E、F, WJ PE+PF 的值為（）BA. 10 B. 4.8 C. 6 D. 5於析】連接OP,利用勾股定理列式求出 BD,再根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分求出OA、OD,然后根據(jù) SAAOD =S AOP +S DOP 列方程求解即可.解答】解：如圖,連接OP,. AB=6 , AD=8 ,；BD= J A 落 AD 2r6? + g £=10，四邊形ABCD是矩形,.OA=OD= X10=5 , 2aod =Saaop+S adop ,.-1x1x6X8=-X 5?P

25、+SX 5?PF ,2 222解得 PE+PF=4.8 .故選B.陵評】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并利用三角形的面積 列出方程是解題的關(guān)鍵.填空題（共4小題）6. （2016春?東平縣期中）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O, AE平分/BAD交BC于點E,若/ CAE=15 °則/BOE的度數(shù)等于 75 °於析】由矩形ABCD,得到OA=OB ,根據(jù)AE平分/BAD,得到等邊三角形OAB,推出AB=OB ,求出/OAB、/OBC的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等角對等邊得到OB=BE,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案解答】解：四邊形ABCD是

26、矩形，. AD/BC, AC=BD, OA=OC , OB=OD , / BAD=90 .OA=OB , /DAE= AEB,.AE平分/BAD, .zBAE=/ DAE=45 ° AEB, . AB=BE,CAE=15 ./ DAC=4515 0 =30 / BAC=60.BAO是等邊三角形，. AB=OB, / ABO=60 ./ OBC=9 0 60° =30.AB=OB=BE ,zBOE=ZBEO= ( 180 - 30 0 ) =752故答案為750 .滕評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理 ，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì) 和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等

27、腰三角形的判定等知識點，解此 題的關(guān)鍵是求出/OBC的度數(shù)和求OB=BE.7. （2014春?武昌區(qū)期中）如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到E,使CE=CD,連接AE交BC于F, ZAFC=n/D ,當(dāng)n= 2 時,四邊形ABEC是矩 形.於析】首先根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到四邊形ABEC是平行四邊形，然后證得FC=FE,利用對角線互相相等的四邊形是矩形判定四邊形ABEC是矩形.解答】解：當(dāng)FC=2 /D時，四邊形ABEC是矩形. 四邊形ABCD是平行四邊形，. BC/AD, /BCE=ZD,由題意易得AB /EC, AB /EC, 四邊形ABEC是平行四邊形.VzAFC=ZF

28、EC+/BCE, 當(dāng) ZAFC=2 ZD 時，貝U有 /FEC=/FCE,. FC=FE,四邊形ABEC是矩形故答案為：2.滕評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解矩形的判定定理.8. （2015春?南長區(qū)期中）如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC、AD、CE, CE交AD于點F,連接BF,則線段AC、BF、CD之間的關(guān)系式是 AC2+BF2=4CD2 .套於析】首先根據(jù)菱形的判定方法，判斷出四邊形 ABCF是菱形，再根據(jù)菱形的 性質(zhì)，即可判斷出ACXBF;然后根據(jù)勾股定理，可得OB2+OC2=BC2,據(jù)此推 得 AC2+BF

29、2=4CD2 即可.解答解：.五邊形ABCDE是正五邊形，. AB /CE, AD/BC,一四邊形ABCF是平行四邊形，又.AB=BC=CD=DE=EA ,仙邊形ABCF是菱形,. ACXBF,. OB2+OC2=BC2,.AC=2OC, BF=2OB,. AC2+BF2= (2OC) 2+ (2OB) 2=4OC2+4OB2=4BC2又.BC=CD, . AC2+BF2=4CD2.故答案為：AC2+BF2=4CD2.陵評】(1)此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題 的關(guān)鍵是要明確：菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是

30、有一組鄰邊相等”，因而就增加 了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法.(2)此題還考查了勾股定理的應(yīng)用：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長 的平方之和一定等于斜邊長的平方，要熟練掌握.9. (2015春?株洲校級期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點,四邊形OABC是矩形，A ( - 10, 0) , C (0, 3),點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當(dāng)ODP是腰長為5的等腰三角形時,點P的坐標(biāo)是(-4, 3),或(-1, 3),或(-9, 3)於析】先由矩形的性質(zhì)求出OD=5 ,分情況討論：(1)當(dāng)OP=OD=5時；根據(jù)勾股定理求出PC,即可得出結(jié)果；(2)當(dāng)PD=OD=5時

31、；作PELOA于E,根據(jù)勾股定理求出DE,得出PC,即可得出結(jié)果；作PF，OA于F,根據(jù)勾股定理求出DF,得出PC,即可得出結(jié)果.解答】解：:A （-10, 0） , C （0, 3）,. OA=10 , OC=3,四邊形OABC是矩形，BC=OA=10 , AB=OC=3 ,.D是OA的中點,. AD=OD=5 ,分情況討論：（1）當(dāng)OP=OD=5時，根據(jù)勾股定理得：PC=廬3=4,.點P的坐標(biāo)為：（-4, 3）;（2）當(dāng)PD=OD=5時，分兩種情況討論：如圖1所示：作PELOA于E,貝U / PED=90 , DE=52_32=4 ,PC=OE=5 - 4=1 ,.點P的坐標(biāo)為：（-1,3

32、）;如圖2所示：作PF,OA于F,則 DF=7s2-3 2=4 ,PC=OF=5+4=9 ,.點P的坐標(biāo)為：（-9,3）;綜上所述：點P的坐標(biāo)為：（-4, 3）,或（-1 , 3）,或（-9, 3）;故答案為：（-4, 3）,或（-1, 3）,或（-9, 3）.A F D 0陵評】本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定 理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵.三.解答題（共31小題）10. （2012春?西城區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD中，AE=AB,直線DE交BC于點F,求/BEF的度數(shù).於析】設(shè)/ BAE=x 0根據(jù)正方形性質(zhì)推出AB=AE=A

33、D ,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出 “EB和ED的度數(shù)，根據(jù)平角定義求出即可.解答】解：設(shè)/ BAE=x 0 ,二.四邊形ABCD是正方形，丁. / BAD=90 AB=AD ,.AE=AB. AB=AE=AD , .zABE=AEB=J- ( 180 - /BAE) =90 -lx° , 22/ DAE=90 -x ,ZAED= ZADE=1 ( 180 - /DAE) =1180。- ( 90 - x 0 )=45 +L 222 ./ BEF=180 ZAEB- ZAED,=180 - ( 90 Tx ° )- ( 45 +x ), 22=45 °

34、; ,答：/BEF的度數(shù)是45° .【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形性質(zhì)，正方形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是如何把已知角的未知角結(jié)合起來，題目比較典型，但是有11 . (2012秋?高淳縣期中)如圖，梯形ABCD中，AD /BC, AB=CD ,對角線AC、BD 交于點 O, ACXBD, E、F、G、H 分別為 AB、BC、CD、DA 的中點.(1)求證：四邊形EFGH為正方形；(2)若AD=1 , BC=3,求正方形EFGH的邊長.附析(1)先由三角形的中位線定理求出四邊相等,然后由ACXBD入手，進 行正方形的判斷.(2)連接EG,利用梯形的中位線定理求出 EG的

35、長，然后結(jié)合(1)的結(jié)論求出EH2=2 ,也即得出了正方形EHGF的邊長.解答】(1)證明：在4ABC中，.E、F分別是AB、BC的中點,EF= T '-U同理 fg二£b，D，gh=k，he=，即 -uuu在梯形ABCD中,. AB=DC ,.AC=BD,.ef=fg=gh=he一四邊形EFGH為菱形.設(shè)AC與EH交于點M在AABD中，:E、H分別是AB、AD的中點，. EH/BD,同理 GH/ACX-ACIBD,丁. / BOC=90 0 .zEHG=ZEMC= / BOC=90 °一四邊形EFGH為正方形.(2)解：連接EG,在梯形ABCD中，.E、G分別是A

36、B、DC的中點,. EG得(AD+BC) =1 (1+3) =2,在RtAHEG中EG2=EH2+HG2 4=2EH2,EH2=2 ,WJ EH=V2.即四邊形EFGH的邊長為5.滕評】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)及三角形 、梯形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中位線定理得出 EH=HG=GF=FE,這是本題的突破口 .12. （2013秋?W島期中）如圖，點E F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點，BE和CF交于點P.求證：AP=AB.於析】延長 CF、BA交于點 M, cffiABCEACDF,再證CDFXAMF得BA=MA 由直角三角形中斜邊中線等于斜邊的一半，可得RtAMB

37、P中AP=yBM ,即 AP=AB .解答】證明：延長CF、BA交于點M ,.點E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點，. BC=CD, /BCE=/CDF, CE=DF,.£BE=/DCF.,. zDCF+Z BCP=90 0 , zCBE+Z BCP=90 0 , zBPM= ZCBE+Z BCP=90 ° .又.FD=FA, ZCDF=ZMAF, ZCFD=ZMFA, .CDF2AMF ,. CD=AM .CD=AB , .,.AB=AM .PA是直角ABPM斜邊BM上的中線,. AP=BM , 2即 AP=AB .ABC陵評】本題考查了正方形各邊長相等、各內(nèi)

38、角為直角的性質(zhì)，全等三角形的判定和對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線長為斜邊長一半的性質(zhì)，本題中求證CDF04AMF是解題的關(guān)鍵.13. （2015春？禹州市期中）如圖，點P為正方形ABCD對角線BD上一點，PE，BC于 E, PF，DC 于 F.(1)求證：PA=EF;(2)若正方形ABCD的邊長為a,求四邊形PFCE的周長.階析(1)連接PC,證四邊形PFCE是矩形，求出EF=PC,CBP,推出AP=PC即可;(2)證4CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF,求出周長即可解答】解：證明：(1)連接PC,AD證 AABPSB E C二.四邊形ABCD是正方形，. AB=CB, ZABD=

39、/ CBD=45 ° , / C=90 ° ,在AABP與ACBP中，rAB=CB，ZABD=ZCBD, 上P 二 BPAABPACBP (SAS),PA=PC,.PE!BC, PF±CD,丁. / PFC=90 0 , / PEC=90又. /C=9(J ,一四邊形PFCE是矩形，. EF=PC,. PA=EF.(2)由(1)知四邊形PFCE是矩形，. PE=CF, PF=CE,又. / CBD=45 , / PEB=90 ,. BE=PE,又 BC=a,.矩形 PFCE的周長為 2 (PE+EC) =2 (BE+EC) =2BC=2a .滕評】本題主要考查正方

40、形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的連接 和掌握，能證出AP=PC是解此題的關(guān)鍵.14. (2015秋?S建校級期中)如圖1,在正方形ABCD中，點E為BC上一點，連接DE,把ADEC沿DE折疊得至IJ £片延長EF交AB于G,連接DG .(1)求/EDG的度數(shù).(2)如圖2, E為BC的中點，連接BF.求證：BF/DE;若正方形邊長為6,E 1求線段AG的長.附析(1)由正方形的性質(zhì)可得 DC=DA . /A=/B=/C= / ADC=90 0由折疊 的性質(zhì)得出 /DFE=/C, DC=DF, /1=/2,再求出 ZDFG=ZA, DA=DF ,然后 由“HLE明RtADGA

41、RtDGF,由全等三角形對應(yīng)角相等得出 /3=/4,得出/ 2+ / 3=45即可;(2)由折疊的性質(zhì)和線段中點的定義可得CE=EF=BE, /DEF=/DEC,再由三角形的外角性質(zhì)得出 /5=/DEC,然后利用同位角相等，兩直線平行證明即 可；設(shè)AG=x,表示出GF、BG,根據(jù)點E是BC的中點求出BE、EF,從而得到GE 的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可；解答】(1)解：如圖1所示：四邊形ABCD是正方形，. DC=DA . ZA= /B=/C=/ ADC=90 ° ,.DEC沿DE折疊得至ij ADEF,zDFE=ZC, DC=DF, Z1=Z2,zDFG=Z A=90 0

42、 DA=DF ,在 RtADGA 和 RtA DGF 中，/DG=DGda=df '. RtADGARtADGF (HL),3= /4,zEDG=Z3+ Z2= ZADF+ /FDC, 二 二 =/(ZADF+ /FDC),=X 90 0 ,2，=45(2)證明：如圖2所示：.DEC沿DE折疊得至ij ADEF, E為BC的中點，. CE=EF=BE, /DEF=/DEC,z5= /6,v zFEC=Z5+ /6, zDEF+/DEC= /5+ /6, .2/5=2 /DEC,即 /5= /DEC,. BF/DE;解：設(shè) AG=x,則 GF=x, BG=6 -x,.正方形邊長為6, E

43、為BC的中點，. CE=EF=BE=Lx6=3 , 2，. GE=EF+GF=3+x ,在RtGBE中，根據(jù)勾股定理得：(6-x) 2+32= (3+x) 2,解得：x=2 ,即線段AG的長為2.bec陵評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形 的判定與性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵.15. (2016春?召陵區(qū)期中)如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且BF=EF.(1)求證：BF=DF;(2)求證：/ DFE=90 0 ;(3)如果把正方形ABCD改為菱形，其他條件不

44、變(如圖)，當(dāng)/ABC=50時，/DFE= 50 度.圉附析(1)根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=DC,對角線平分一組對角可得/BCF=/DCF,然后利用 邊角邊”證明即可；(2)易證/FBE=/FEB,又因為/FBE=/FDC,所以可證明/FEB=/FDC,進而可證明/ DFE=90 ;(3)根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得/CBF=/CDF,根據(jù)等邊對等角可得 /CBF=/E,然后求出ZDFE=/DCE,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得/DCE=ABCC,從而得解.解答(1)證明：在正方形ABCD中，BC=DC, ZBCF=Z DCF=45 ° ,.在 4BCF和 4DCF 中，&

45、#39;BOBC，ZBCF=ZDCF, 了C二FC.-.BCFADCF (SAS);.BF=DF;(2)證明：:BF-EF,zFBE=/FEB,又. zFBE=/FDC,zFEB=ZFDC,又 v zDGF= /EGC,zDFG=Z ECG=90 ° ,即/DFE=90 ;(3)證明：由(1)知，ABCFADCF, .zCBF=/CDF,.EE=FB,zCBF=ZE,.zDGF=/EGC (對頂角相等),180-ZDGF- / CDF=180-ZEGC- ZE,即/DFE=/DCE,.AB/CD,zDCE=ZABC, .zDFE=/ ABC=50 ° ,故答案為：50.陵評

46、】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等 邊對等角的性質(zhì),熟記正方形的性質(zhì)確定出/BCF=/DCF是解題的關(guān)鍵.16. （2015秋?四縣期中）已知正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于O.如圖1,若E是AC上的點，過A作AGLBE于G, AG、BD交于F,求證:OE=OF如圖2,若點E在AC的延長線上，AGLEB交EB的延長線于G, AG延長DB延長線于點F,其它條件不變，OE=OF還成立嗎？圖 F 圖 E於析】由正方形的性質(zhì)得出 OA=OB , ACXBD,得出ZBOE= / AOF=90 0巾角的互余關(guān)系得出/OBE=/OAF,由ASA證明BOEXAOF,得出對

47、應(yīng)邊相等 即可；由正方形的性質(zhì)得出 OA=OB , ACXBD,得出ZBOE=Z AOF=90 °由角的互余關(guān)系得出/OBE=/OAF,由ASA證明BOEMXAOF,得出對應(yīng)邊相等即可.解答】證明：.網(wǎng)邊形ABCD是正方形，. OA=OB , ACXBD,zBOE=Z AOF=90 ° ,zOEB+Z OBE=90 ° ,.AGXBE,丁. / AGE=90 0 ,zOEB+Z OAF=90 ° , .zOBE=/OAF,在ABOE和4AOF中，rZBOE=ZAOF< OB=OA , NOB E=/OAF.BOEAAOF (ASA), .OE=OF

48、;解：OE=OF還成立；理由如下：二.四邊形ABCD是正方形， .OA=OB , ACXBD,zBOE=Z AOF=90 ° ,zOEB+Z OBE=90 ° ,.AGXBE,丁. / AGE=90 0 ,zOEB+Z OAF=90 ° ,zOBE=ZOAF,在ABOE和4AOF中， rZBOE=ZAOF ，OB=OA ,NOBE= N OAF.BOEAAOF (ASA), . OE=OF.陵評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形 的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵.17. (2016春?W州市期中)如圖，點P是菱形ABCD中對角

49、線AC上的一點，且 PE=PB.(1)求證：PE=PD;(2)求證：/PDC=/PEB;(3)若/ BAD=80 °連接DE,試求/PDE的度數(shù)，并說明理由.BE c附析(1)由菱形的性質(zhì)得出 AB=BC=CD=AD , AB /CD, /DCP=/BCP,由SAS證明CDPA CBP,得出PB=PD,再由PE=PB,即可得出結(jié)論;(2)由等腰三角形的性質(zhì)得出/PBC=/PEB,由全等三角形的性質(zhì)得出/PDC二/PBC,即可得出 /PDC=/PEB;(3)由四邊形內(nèi)角和定理得出 / DPE=100。山等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi) 角和定理即可得出結(jié)果.解答】(1)解：二四邊形ABCD是

50、菱形，. AB=BC=CD=AD , AB/CD, /DCP=/BCP,在ADCP和ABCP中，fCD=CB，ZDCP-ZBCP ,PC=PC .CDPSCBP (SAS),.PB=PD,.PE=PB, PE=PD;(2)證明：VPE=PB,zPBC=/PEB, .CDPWXCBP, "DC=/PBC, "DC=/PEB;(3)解：如圖所示：/ PDE=40。理由如下：在四邊形DPEC中， . / DPE=360 (ZPDC+ZPEC+/DCB)=360 - (ZPEB+ZPEC+ZDCB)=360 - ( 180 + 80 0 )=100 0 ,.PE=PD "

51、DE=/ PED=40 0 .BE C【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性、全等三角形的判定與性質(zhì)質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵18. (2016春？昆山市期中)如圖,正方形ABCD中,AB=1，點P是BC邊上 的任意一點(異于端點B、C),連接AP,過B、D兩點作BEXAP于點E, DF LAP于點F.(1)求證：EF=DF- BE;(2)若4ADF的周長為工，求EF的長.DC附析(1)由正方形的性質(zhì)得出 AD=AB ,證出/DAF=BE,由AAS證明ADFABAE,得出AF=BE, DF=AE,即可得出結(jié)論；(2)設(shè) DF=a, AF=b, EF=DF -

52、AF=a - b >0,由已知條件得出 DF+AF=-,3即a+b=± 由勾股定理得出a2+b2=1 ,再由完全平方公式得出a-b即可.3解答】(1)證明：.BEXAP, DFXAP, .zDFA=/ AEB=90 ° ,ABE+Z BAE=90二.四邊形ABCD為正方形，. AD=AB , / DAB=90 ° DAF+ /BAE,zDAF= ZABE,在AADF和ABAE中， fZDAF=ZABE，ZDPA=ZAEB,lad=abAADFSBAE (AAS), .AF=BE, DF=AE,. EF=AE- AF=DF - BE;(2)解：設(shè) DF=a,

53、AF=b , EF=DF-AF=a - b>0,.9DF的周長為工，AD=1 ,3.DF+AF=W 3即a+b=± 由勾股定理得：DF2+AF2=AD2, 3即 a2+b 2=1 ,(a-b) 2=2 (a2+b2) - (a+b ) 2=2 -罟二看，_k_V2 a b= 'jj-，即ef二返. 3【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知 識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出a與b的關(guān)系式是解決問題(2) 的關(guān)鍵.19. (2015春?繁昌縣期中)如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD的交點為 O,以。為端點引兩條互相垂直的射線 OM、

54、ON,分別交邊AB、BC于點E、 F.(1)求證：0E=OF;(2)若正方形的邊長為4,求EF的最小值.CN附析(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得/EAO=/ FBO=45 ° QA=OB ,再根據(jù)同角的余角相等可得ZAOE= ZBOE,然后利用 角邊角”證明4AOE和ABOF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；(2)根據(jù)等腰直角三角形AEOF,當(dāng)OE最小時，再根據(jù)勾股定理得出EF的最 小值.解答】解：(1)二.四邊形ABCD是正方形， .OA=OB , / AOB=90 ° ,EAO=/ FBO=45 ° ,zAOE+Z BOE=90 ° ,vOEXOF,zBOF+Z BOE=90 ° ,zAOE=ZBOF,在AAOE與ABOF中，"ZA0E=ZBCF, OA=OB,lzeao=zfboAAOEA BOF (ASA), .OE=OF;(2)由(1)可知，AEOF是等腰直角三角形，/EOF是直角，當(dāng)OE最小時，EF的值最小.OA=OB , OEXAB,.點E是AB的中點，. OE=- AB, 2. AB=4 ,. OE=2,EF=7oE2+OF2=722 + 22=272，即EF