1、1.5 函數 y=Asin ( 3 x+()的圖象教學目的：1、理解振幅變換和周期變換和平移變換；會用圖象變換的方法畫 y = Asin ( cox+ * )的圖象;2、會用 五點法”畫y=Asin ( cox+ * )的圖象；3、會求一些函數的振幅、周期、最值等；4、滲透分類討論的數學思想，提高分析和解決問題的能力。教學重點、難點重點：用圖象變換的方法畫y=Asin (cox+中)的圖象。難點：理解振幅變換和周期變換和平移變換。教學過程：一、復習引入：1 .正弦曲線f(x)= sin (x)2 .余弦曲線-6 二 -5 二 -4 二 -3 二 -2 二 -二y y2 二 3 二 4 二 5

2、二 6 二f(x)= cos(x)3 .五點法做圖二、講授新課：1、函數圖象的左右平移變換;二如在同一坐標系下，作出函數y =sin(x+-)和y = sin(x-4)的簡圖，并指出它ji解析：函數 y =sin(x + ) 3們與y =sinx圖象之間的關系。的周期為2n ,我們來作這個函數在長度為一個周期的閉區間上的簡圖。jix - 二 Z設 3那么五sin(x -) = sin Z冗、當Z取0、23_n、22二時，x取 33。所對應的五點y = sin( x是函數x一一，33 圖象上起關鍵作用的點。列表:x冗一3冗62nT7n-6-3JIx + 一30冗2ji3 n22n31sin(x

3、+ )01010y = sin（ x -）類似地，對于函數4 ,可列出下表:x冗43n 彳5兀T7n 彳9n彳冗x -40冗2ji3n22冗sin(x)401010描點作圖（如下）yinxy t sin（x ）利用這類函數的周期性，可把所得到的簡圖向左、右擴展，得出3 ,xWR及冗y = sin（x 一）由圖可以看出，3的圖象可以看作是把 y =s1nx的圖象上所有的點向左冗y=sin（x）.一 一,一一 一.平行移動3個單位而得到的,4的圖象可以看作是把y = s1nx的圖象上所有的點向右平行移動 4個單位得到的。注意：一般地，函數y =sin（x+中）（中金0）的圖象，可以看作是把 y =

4、 sinx的圖象上 所有的點向左（當邛0時）或向右（當中父0時）平行移動|叼個單位而得到的。2、函數圖象的縱向伸縮變換八. y = sin x如在同一坐標系中作出y =2sin x及 2 的簡圖，并指出它們的圖象與y = sin x的關系。一八. y = sin x解析：函數y = 2sinx及 2 的周期T = 2n ,我們先來作xw0，2冗時函數 的簡圖。列表：x0冗2冗3nT2nsinx010102sinx020-201 -sinx 201201-20描點作圖，如圖:利用這類函數的周期性，我們可以把上圖的簡圖向左、向右擴展，得到1c ._ y y = sinx, x = Ry = 2si

5、nx，x = R& J 2的簡圖（圖略）。從上圖可以看出，對于同一個 x值，y = 2s1n x的圖象上點的縱坐標等于y = s1nx的 圖象上點的縱坐標的兩倍（橫坐標不變） ，從而y = 2sinx, XW R的值域為2, 2,最 大值為2,最小值為-2。y = sin x類似地， 2的圖象，可以看作是把y =s1nx的圖象上所有點的縱坐標縮短到y = 1sinx, x R2的值域是1原來的2倍（橫坐標不變）而得到的，從而1 1大值為2 ,最小值為2。注意：對于函數 y = Asinx（a>0且awi）的圖象，可以看作是把 y = sinx的圖象 上所有點的縱坐標伸長（當A&g

6、t;1時）或縮短（當0VA<1時）到原來的A倍（橫坐標不變） 而得到的，y = Asinx, xWR的值域為a, a，最大值為a,最小值為a。3、函數圖象的橫向伸縮變換1y = sin - x , 如作函數y =sin2x及, 2 的簡圖，并指出它們與 y =sinx圖象間的關系。2 二 T = 解析：函數ysin2 x的周期 2,我們來作x0，叫時函數的簡圖。設 2x=Z,那么 sin2x = sinZ,當 Z 取 0、2二3二一一、冗、2幾時，所對應的五點是函數x0冗4冗23n 丁冗2x0冗2313冗 T2nsin 2x01010Z二y = sinZ, 二 3 二 、 、24點

7、76; 列表：Z I0，2封圖象上起關鍵作用的五點，這里2 ,所以當x取0、4、時，所對應的五點是函數y=sin2x，xw0,冗的圖象上起關鍵作用的五y =sinx ,函數 2的周期 2，我們來作xu0，4町時函數的簡圖。列表：x0冗2n3n4n1 -x20JI2冗3n22nsin -x 201010描點作圖，如圖：74利用這類函數的周期性，我們可以把上面的簡圖向左、右擴展，得出y = sin2x, xW R1 y = sin - x 及 2 , xWR的簡圖（圖略）。從上圖可以看出，在函數y =sin2 x的圖象上橫坐標為 2 （ x0r）的點的縱坐標同二x0二x0 = sin（2 ）=si

8、n = 1y=s1nx上橫坐標為x°的點的縱坐標相同（例如，當 2時，22,冗sin x0 = sin =12）。因此，y =sin2x的圖象可以看作是把 y = sin x的圖象上所有點的橫1 坐標縮短到原來的 2倍（縱坐標不變）而得到的。y = sin x類似地，2的圖象可以看作是把 y = s1nx的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）而得到的。注意：一般地，函數 y =sin®x（® >0且切"9的圖象，可以看作是把y=sinx的圖1象上所有點的橫坐標縮短（當© A 1時）或伸長（當0 <& <1

9、時）到原來的倍（縱坐標不變）而得到的。4、函數y = Asin（x+甘的圖象作函數y = Asin（®x + Cp）的圖象主要有以下兩種方法：（1）用“五點法”作圖用“五點法”作y = Asin（8x+平）的簡圖，主要是通過變量代換，設z = 6x + ' ,由二 3 JPz取0, 2 , n, 2,，2n來求出相應的x,通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出 圖象。（2）由函數y =s1nx的圖象通過變換得到 y = Asin（6x +平）的圖象，有兩種主要途 徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”。法一：先平移后伸縮向左W>0）或向右（中<0）平移|叼個單位y

10、 二 sin( x )橫坐標變為原來的工倍W3縱坐標不變縱坐標變為原來的 A倍A /巾、 > y = Asin（ x ）橫坐標不變7'/法二：先伸縮后平移橫坐標變為原景偶y=sin<縱坐標不變向左（甲力）或向右件<P）t平移底I個單位縱坐標變為原來的A倍T橫坐標不變y = Asin( x )平L I可以看出，前者平移 都是針對變量x而言的。 必然會出現錯誤。否則|*個單位，后者平移 8 個單位。原因在于相位變換和周期變換 因此在用這樣的變換法作圖象時一定要注意平移的先后順序，當函數y = Asin（8x+中）（A>0,缶>0, x0, 十8）表示一個振動量

11、時，A就 表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常把它叫做這個振動的振幅；往復振動一次2 二1T = -f=二 一所需要的時間與，它叫做振動的周期；單位時間內往復振動的次數T 2冗，它叫做振動的頻率； 缶x+呼叫做相位，中叫做初相（即當x=0時的相位）。 三、典型例題y = sin(2x )例1.用兩種方法將函數y = s1nx的圖象變換為函數3的圖象。nnx 2x 2(x ) = 2x 分析1：631橫坐標縮短到原來的 1y =sin x -2T而石注d.)縱坐標不變向左平移工個單位6y = sin 2xji冗y = si n4(x) = sin(2x )63Jinxx 2x 分析2：3

12、3向左平移工個單位-3解法 2： y =s1nxn 橫坐標縮短到原生的y =si nX+):一 2-»33縱坐標不變冗y = s i n4x )32中，先平移，后伸縮，表面上看來，兩注意：在解法1中，先伸縮，后平移；在解法Ji nny = 2sin(2x )例2.用五點法作出函數3的圖象，并指出函數的單調區間。解：(1)列表.三三3二種變換方法中的平移是不同的(即 6和3),但由于平移時平移的對象已有所變化，所以得 到的結果是一致的。xnjiJi7n5n6123126JI 2x + 30冗2313 n22ny020-202x 列表時 3取值為0、2、兀、2、2冗，再求出相應的x值和y值。(2)描點(3)用平滑的曲線順次連結各點所得圖象如圖所示:利用這類函數的周期性，我們可以把上面所得到的簡圖向左、右擴展，得到冗y = 2sin(2x -)3 , x亡R的簡圖(圖略)。n 7,冗可見在一個周期內，函數在1212 上遞減，又因函數的周期為7kn 十一 ，kn 十(kwZ)的遞減區間為1212。5二 _kn n, kn +(k w Z)同理，增區間為 1212。例3.如圖是函數y = Asin(sx+*)的圖象，確定 a、8、平的值。解：顯然A =25 二T 二一二-(-)=二6 62 二 2 二 八二=二 2T 二.y = 2 s i n2>