1、任意四邊形、梯形與相似模型J且M歸 例題精講4-3-3.任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 10 of 8板塊一 任意四邊形模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”廣 S : S2 =S4 £ 或者 S 父詢=& MS4 AO :OC =(S +S2 J(S4 +S3 )蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構(gòu)造模型，一方面 可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面 積對應的對角線的比例關(guān)系.例1圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形,其中2個小三角形的面積分別是 是多少公頃？6公

2、頃和7公頃.那么最大的一個三角形的面積【考點】任意四邊形模型【題型】解答【解析】 在|_abe, cde中有2aeb=nced所以|_abe, cde 的面積比為 (AE MEB) :(CE DEE).同理有 UaDE , L BCE 的面積比為(AE 父 DE): (BE m EC),所 以有SLbe X Scde =Sade X Sbce ,也就是說在所有凸四邊形中，連接頂點得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右4個部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積.即SIabe父6 = Sade勺,所以有L ABE與ADE的面積比為7:6 , SLabe =一父39 =21 公頃，S

3、ade =6-父 39 =18 公頃.6 76 7顯然，最大的三角形的面積為21公頃.【答案】21例2如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD被對角線 AC BD分成四個部分， 4AOB面積為1平方千米，BOC®積為2平方千米，ACOE勺面積為3平方千米，公 園由陸地面積是6. 92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【考點】任意四邊形模型【關(guān)鍵詞】小數(shù)報【解析】根據(jù)蝴蝶定理求得【難度】2星【題型】解答SxAOD =3x1+2 =1.5平方千米，公園四邊形 ABCD的面積是1 +2+3+1.5 = 7.坪方千米，所以人工湖的面積是 7.56.92 =0.58平方千米 【答

4、案】0.58【例3】一個矩形分成4個不同的三角形（如右圖），綠色三角形面積占矩形面積的15%,黃色三角形的面積是 21平方厘米.問：矩形的面積是多少平方厘米？【考點】任意四邊形模型【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第7題【解析】黃色三角形與綠色三角形面積之和是矩形面積的50%,而綠色三角形面積占矩形面積的15%,所以黃色三角形面積占矩形面積的50%15%= 35%已知黃色三角形面積是21平方厘米，所以矩形面積等于21 + 35%= 60（平方厘米）【答案】60【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，求:三角形BGC的面積； AG:GC=?【考點】

5、任意四邊形模型【難度】2星 【題型】解答【解析】根據(jù)蝴蝶定理，SbgcM1=2m3,那么Sbgc=6；根據(jù)蝴蝶定理，AG:GC =（1+2 ）:（3+6 ）=1:3 .【答案】1: 3例4四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點0（如圖所示）.如果三角形 ABD的面積等于三角形BCD的面積的A0 = 2 , D0 =3 ,那么CO的長度是 DO的長度的倍.【考點】任意四邊形模型【難度】3星【題型】填空【解析】在本題中，四邊形ABCD為任意四邊形，對于這種"不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來 改造不良四邊形.看到題目中給出條件SA

6、BD : SBCD =1:3 ,這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法. 又觀察題目中給出品已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個"不良四邊形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面積比轉(zhuǎn)化為高之 比.再應用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果.請老師注 意比較兩種解法，使學生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題.解法一： AO : OC =S&BD ： S殘DC =1： 3 , OC =2父3 = 6 , /. OC :OD =6: 3 = 2:1 .

7、 解法二：作 AH_LBD于H, CG_LBD于G.1S 淺OD =- SDOC ,3 1 ”AO =一 CO ,311 一S -ABD = -412 以 BO :°D =SABC : %CD =2 : 3.5 =4 : 7 ,所以 S&BO = M S&BD =一父3= 一 471111.BCD , AH =-CG ,OC =2x3=6 , OC :OD =6:3 =2:1 .【答案】2倍例5如圖，平行四邊形的面積依次是2、ABCD的對角線交于4、4和6.求：求O 點，4CEF、AOEF、AODF、 BOE OCF的面積；求 GCE的面積.D【考點】任意四邊形模型【

8、難度】3星 【題型】解答【解析】 根據(jù)題意可知，4BCD的面積為2 +4 +4+6 =16 ,那么 BCO和ACDO的面積 者B是16 + 2=8,所以4OCF的面積為84=4 ;由于 ABCO的面積為8, ABOE的面積為6,所以4OCE的面積為86 = 2,根據(jù)蝴蝶定理， E G =FG o S = c 1 F , 所以S 告ce:S/f =EG:FG =1:2,那么 SGCE =SCEF =m2 =一 1 2333【例6】 如圖相鄰兩個格點間的距離是1,則圖中陰影三角形的面積為11【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】清華附中，入學測試題【解析】 連接AD、CD、BC

9、.則可根據(jù)格點面積公式，可以得到AABC的面積為：4. _. 3 4一1+3-1=2, AACD 的面積為：3+- -1=3.5, MBD 的面積為：2+3一1=3.所【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是1 ,求三角形 ABC的面積.【考點】任意四邊形模型【難度】4星【解析】因為 BD C E ：.,且_5 c 5 ° 10SjABC = S 用BC =-h2 = .2 5：77【題型】解答B(yǎng)D / CE所以 D A 公C【例7】如圖，邊長為 積.1的正方形 ABCD中,BE =2EC ,CF = FD ,求三角形AEG的面【考點】任意四邊形模型 【關(guān)鍵詞】人大附中考題 【解析】連接E

10、F .因為【難度】4星FE C【題型】解答1BE=2EC , CF =FD ,所以 S®EF =(111、c)S ABCD3 2=-S12 -ABCD 因為所以,_6 一S AGD =6S GDF = 7 S ADF6 1G _ 3SABCD - S7 414 _ABCD 所以122S. AGE =S.AED - S .AGDS|_ABCD -S_ABCD - - S ABCD2二7，即三角形AEG的面積是1 2 .7例8 如圖，長方形ABCD中，BE :EC =2:3 , DF : FC =1:2 ,三角形DFG的面積為2 平方厘米，求長方形 ABCD的面積.【題型】解答【考點】任

11、意四邊形模型【難度】4星【解析】連接AE, FE .3 1 11：=:'：=：，所乂。歸二父3土方形ABCD=而1方形ABCD.11 1因為 Siaed =S長方形ABCD，AG ： GF = ： =5:1 ,所以 SAGD =5S GDF =10 平方厘米，所以 工 22 10-1 一SAFD =12平萬厘米.因為SAFD =己 %方形ABCD,所以長方形 ABCD的面積是72平方厘米.【例9】 如圖，已知正方形 ABCD的邊長為 BF中點，求三角形 BDG的面積.10厘米，E為AD中點，F(xiàn)為CE中點，G為【考點】任意四邊形模型【解析】 設BD與CE的交點為0 ,連接BE、DF .1

12、1.由蝴蝶 7E 理可知 E0 ： 0C = S BED ： S BCD ,而 S B E D= S ABC D S BCD =3 S ABCD , 所以1E O： 0 c USE D： U SB C=D 1 ： 2 故 EO = EC . 一3由于F為CE中點,1所以 ef =ec ,故 eo： EF =2:3, 2FO: EO =1: 2 .由蝴蝶7E理可知S bfd ： S BED一 一.八 1=F0 ：E0=1：2 ,所以 SBFD =2SBEDJc一s ABCD ,8 一1 一那 A Si BGD S bfd2 -【答案】6.251一S ABCD16 一1X10X10=6.25 （平

13、萬厘米）.16【例10如圖，在若.AOMMBC 中,已知 M、N分別在邊 AC、BC上，BM與AN相交于O,、MBO和ABON的面積分別是 3、2、1,則AMNC的面積是【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空【解析】這道題給出的條件較少，需要運用共邊定理和蝴蝶定理來求解.根據(jù)蝴蝶定理得SmonS.AomS. bonS.AOB設S&on =x ,根據(jù)共邊定理我們可以得,解得 x=22.5 .【答案】22.5【例11正六邊形AiA2 A3AA5 A6的面積是2009平方厘米，BB2B3B4B5B6分別是正六邊形各邊的中點；那么圖中陰影六邊形的面積是平方厘米.3【難度】4星B.A.A

14、1A6A3A5 B4A4【考點】任意四邊形模型【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，【解析】如圖，設 角形組成, 部分面積.連接 A64、B6B、設gBB6的面積為6年級。初賽B6A2與B1A3的交點為O,則圖中空白部分由 6個與AA2OA3一樣大小的三只要求出了 AA2OA3的面積，就可以求出空白部分面積，進而求出陰影B6A3 .1 "，則&BAB6面積為" 1 “，猷1A2B6面積為" 2 “，那么從A3B6面積為像4風的2倍，為" 4 "，梯形 AA2A3A6的面積為2x2 + 4x2=12, MB3AB的面積 為" 6 “，A

15、B14AB的面積為2.根據(jù)蝴蝶7E理，B1O =AbO =S在1A2B6 : SaA2B6 =1:6,故 S&OA3所以 S A2OA3 : S梯形A13A3A612一 :12:1: 7 ,即AA2OA3的面積為梯形76 c 12:SB1A2A3 =一，1 61 271AA2A3A6面積的，故為K邊7一1形AA2A3A4A5A6面積的一，那么空白部分的面積為正K邊形面積的146 =一147,所以陰影部分面積為2009： 口-3 ,7148（平方厘米）.【答案】1148【例12如圖，ABC匿一個四邊形,M N分別是 AB CD勺中點.如果 ASM MTBBW DSN的面積分別是6、7和面

16、積為.8,且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四邊形ABCD勺【考點】任意四邊形模型【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級組，決賽,【解析】連接MN、AC、BD .【題型】填空12題由于M是AB的中點，所以 MMN與ABMN的面積相等，而 AMTB比A ASM的面積大1 , 所以iMSN比AMTN的面積大1;又由于N是CD的中點，所以 iDMN的面積與ACMN的 面積相等，那么 ACTN的面積比ADSN的面積大1,所以ACTN的面積為9.假設加TN的面積為a,則AMSN的面積為a+1 .根據(jù)幾何五大模型中的蝴蝶定理，可知48MSD的面積為,ABTC的面積為63 . a要使這兩個三角形白面積為整數(shù)，a可以為1,

17、 3或7.由于4ADM的面積為 MBD面積的一半，ABCN的面積為mCD面積的一半，所以 MDM 與加CN的面積之和為四邊形 ABCD面積的一半，所以 MDM與ABCN的面積之和等于四 邊形BMDN的面積，即：48634863+6 + +9 =7 +a +a +1 +8 ,得+ =2a +1 .a 1 aa 1 a將a =1、3、7分別代入檢驗，只有a =7時等式成立，所以AMTN的面積為7, AMSN、AASD、 9TC的面積分別為8、6、9.四邊形 ABCD勺面積為（6+7+8+9¥2=60.小結(jié)：本題中“且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)”這個條件是多余的.【例13】已知ABCD是

18、平行四邊形,則陰影部分的面積是【答案】60BC:CE=3:2 ,三角形ODE的面積為6平方厘米。平方厘米。【題型】填空【考點】任意四邊形模型【難度】4星【關(guān)鍵詞】學而思杯， 6年級，第五題【解析】 連接AC。由于ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2 ,所以CE: AD=2:3,根據(jù)梯形蝴蝶定理，SLCOE : S_AOC ：S_DOE : SAOD =22:2X3: 2 M 3:3 2 =4: 6: 6:9 ,所以SAOC =6 （平方厘米），S AOD =9 （平方厘米），又 S ABC = S ACD =6*9=15 （平 方厘米），陰影部分面積為 6+15 = 21 （平方厘米）。CAc【答案】21【例14正方形ABCDfe長為6厘米，AE= 1AC, CF=2BG三角形 DEF的面積為平33方厘米。【考點】任意四邊形模型【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第 13題1 .1【解析】為AE =- AC ,