1、華北電力大學本科畢業設計（論文）摘 要頻率偏移嚴重影響電力系統運行的可靠性，對電力用戶經濟性與安全性產生危害。頻率偏移嚴重時，還可能導致電力系統瓦解，造成重大供電事故。故頻率穩定是系統安全、經濟運行的重要指標。電力系統頻率是檢驗電能生產質量的指標之一，也是衡量電力系統運行狀態的重要參數。一般情況下，系統頻率反映了電力系統中有功功率供需平衡的基本狀態，它將隨負荷波動在小范圍內緩慢變化。在穩定的運行狀態中，發電機輸出功率與系統負荷及損耗維持平衡，但大容量負荷或發電機的投切以及控制設備的不完善都可能導致頻率偏移，給電力系統的穩定運行和用戶設備的正常工作帶來影響，如不采取有效措施，將導致機組損壞、系統

2、瓦解的重大惡性事故，造成巨大經濟損失。因而電力系統頻率檢測和控制是系統運行的重要任務之一。本課題主要是采用基于卡爾曼濾波原理，設計出對電網頻率進行綜合檢測和預測的方案來對電網進行頻率檢測和預測，最后通過實例驗證證明了該方案的可行性。這對于提高電力系統運行的穩定性具有重要的作用。關鍵詞：頻率偏移，檢測，控制，卡爾曼濾波AbstractFrequency offset seriously affect the reliability of the power system operation, it is harm to power users and security of economic .

3、When the frequency offset serious, may also lead to the collapse of the power system, resulting in significant power accident. Therefore, the frequency stability of system security is important to indicator of economic performance. Power system frequency is not only one of the indicators of the qual

4、ity inspection of power production, but also an important parameter to measure the state of the power system operation. General, the system reflects the power system frequency active power supply and demand balance in the basic state; it will slowly change with load fluctuations within a small range

5、. In steady state operation, the generator output power and the system load and the loss are maintaining a balance. However, switching of the generator and control equipment imperfect or large capacity load may lead to frequency offset, and it will impact the normal operation and stable operation of

6、 the power system, it will result in damage to the unit, major fatal accidents system collapse when no measures were taken, and it will cause huge economic losses. Thus the power system frequency detection and control is one of the important tasks of system operation. The main subject is based on th

7、e principle of Kalman filter, designed to be integrated grid frequency detection and prediction programs to detect and predict the frequency on the grid. finally，an example was verified to demonstrate the feasibility of the scheme. It is important to improve the operation stability of the power syst

8、em.Keywords：Frequency offset, Detection, Control, Kalman filteII目 錄摘 要IAbstractII第一章 緒論21.1 課題研究的背景和意義21.2 國內外發展現狀3第二章 卡爾曼濾波算法的結構特點52.1 卡爾曼濾波的基本思想52.2.1 擴張卡爾曼濾波62.2.2 無跡卡爾曼濾波82.3 卡爾曼濾波器的應用10第三章 時變隨機信號及其測量過程數學模型的建立113.1 隨機信號簡介113.2 一維時變隨機信號的數學模型113.3 信號測量過程的數學模型12第四章 向量卡爾曼濾波和預測的一般方法144.1 標量卡爾曼濾波器的基本內

9、容144.2 最優遞歸型估計器的構成164.3 標量卡爾曼濾波器的遞推算法174.4 標量卡爾曼預測器184.5 向量卡爾曼濾波和預測20第五章 基于卡爾曼濾波原理對電網頻率進行檢測和預測255.1 電力系統狀態空間模型255.2 基于擴展卡爾曼濾波的估計實現275.3 數字仿真29總 結30致 謝31參考文獻32附錄34第一章 緒論 1.1 課題研究的背景和意義隨著電力電子技術的發展，電力電子裝置帶來的頻率擾動對電力系統安全、穩定、經濟運行構成潛在威脅，給周圍電氣環境帶來了極大影響，同時也阻礙了電力電子技術的發展1。因此，對電力系統頻率問題的研究已被人們逐漸重視。電力電子裝置等非線性負載所產

10、生的諧波會引起負載和輸電設備的過載、失控和增加損耗，甚至嚴重危害電網和用電設備的安全。隨著電力電子技術在家庭、工業、交通、國防日益廣泛的應用，電力電子裝置本身功率容量和功率密度的不斷增大，電網頻率不穩定也日益嚴重。 頻率不穩定危害可以歸結為：l)消耗無功與增加線路損耗； 2)引起設備過載、降低設備絕緣等級、加速絕緣老化甚至引起火災等； 3)降低負載工作性能(如使電機產生附加力矩等)； 4)影響計量準確度，影響繼電保護等裝置可靠運行；5)對通信系統和計算機網絡產生電磁干擾(EMI)等；6)引起系統不穩定，危害電網安全運行。 電網頻率不穩定已成為許多電子設備與系統現場可靠運行的主要障礙之一，而且還

11、嚴重阻礙了諸如變頻調速等大批高效、節能電力電子技術的推廣應用。因此，國內外都在加緊研究頻率不穩定的治理方法2。近些年，我國也開發了一些電力電子頻率實時跟蹤裝置，但在功能上、實用化方面還不夠理想，還存在許多問題： 1)處理功能較差、可擴展存儲空間較小、運算速度較慢，難以運用精確嚴格的算法進行大量的實時數據處理，不滿足電力監測實時性的要求； 2)電力系統中最常用微處理器包括51系列和96系列等控制型器件，但隨著電力系統對實時性、數據量和計算要求的不斷提高，這些器件在計算能力方面已不能很好地適應電力系統的要求，致使電力系統的高精度測量、實時監控和先進算法的運用受到了限制。3)有的產品雖然直接引進了國

12、外的技術模塊，功能較強，可是價格較高，且不完全適合我國市場； 4)有的產品無通訊和控制輸出功能，不滿足電力系統網絡化、自動化的發展方向；頻率是電力系統是否穩定的重要標志之一，本系統主要針對電力系統中頻率進行測量，實時跟蹤電網中頻率的波動及變化，保證電力系統供電穩定及改善國家電網中電能質量。因此，有必要對電力系統頻率檢測與控制的研究現狀作較為全面的評述，為后續研究提供參考。1.2 國內外發展現狀頻率的正確檢測是頻率控制的前提。頻率檢測一般可分為硬件檢測和軟件檢測兩類。硬件檢測3-4主要利用過零比較器或鎖相環實現。檢測方法幾乎不占用處理器時間，但是需要增加硬件偵測電路， 加大了開發成本和系統體積。

13、同時，檢測結果還易受諧波和器件零點漂移影響。軟件檢測5是通過某種算法對采樣信號進行分析，得出頻率信息。軟件檢測只占用處理器一定時間，無需硬件電路，可節約成本。近年來國內外學者提出了多種電氣信號的軟件頻率檢測算法， 分類歸納主要有以下幾種。1）基于正弦信號模型的檢測算法 對信號觀測模型進行數學變換，將待測量f或f表示為樣本值的顯函數來估計，根據正弦函數的特性，從若干個采樣值中計算電氣信號頻率，如最大值算法、采樣值積算法、采樣值累計算法、三點頻率檢測法、Mann-Morrison導數算法和Prodar-70二階導數算法等6。這類算法的優點是原理簡單，信號觀測時間短，采樣點數較少，易于實現，響應速度

14、較快。但這類算法難以考慮諧波、非周期分量和噪聲影響，且算法推導有近似化過程，精度總體不高，尤其是在非穩態下頻率測量誤差較大，適應于測量精度要求不高的應用場合。2） 傅里葉變換檢測算法傅里葉變換檢測算法最常用的是離散傅里葉變換DFT或快速傅里葉變換算法FFT及它們的改進算法。DFT(FFT)是一種典型的數字濾波技術，也是頻譜分析的主要工具，目前在電氣信號頻率測量乃至電參量檢測領域應用最為廣泛。DFT(FFT)分離信號的基波及各次諧波分量，從而得到信號的電力系統頻率，即使頻率稍微偏移標稱值，選擇合適的采樣技術和數據窗，利用前后窗DFT(FFT)結果能夠準確地估計系統的頻率，精度和穩定度好，計算量較

15、小。3) 過零檢測法 過零檢測法（Zero-crossing Algorithm）一般采用簡單信號觀測模型，通過測量信號波形相繼過零點間的時間寬度來計算頻率。該方法物理概念清晰、計算量小，易受諧波、隨機干擾和非周期分量的影響，精度低，實時性不好，實用的測頻裝置很少單一地應用過零檢測法算法。對它的改進主要是提高其測量精度和實時性，典型的改進算法有水平交（Level crossing）算法7、高次修正函數法8和最小二乘多項式曲線擬合法， 它們以計算量和復雜度為代價來提高算法的測量精度和響應速度，一定程度上喪失了原始的周期法的簡明性。 4) 隨即模型算法 a) 最小二乘算法（Least Error-

16、Square-algorithm）。最小二乘算法檢測頻率的基本原理是在最小方差意義下實現樣本數據與模型的最佳擬合，即對量測矩陣方程在極小化誤差向量加權二次范數的約束下利用觀測值求解待測量。 b) 最小絕對值近似（Least Absolute Value Approximation）。最小絕對值近似方法以極小化誤差向量的一次范數，這是它與LES算法的不同之處。LAV算法較LES算法在采樣率、數據窗長度位置及壞數據對測量精度的影響等方面有所改善，但計算量大得多。 c) 牛頓類算法（Newton-type Algorithm）。牛頓類算法基本原理是將牛頓類迭代算法和最小二乘原理結合起來求解超定非線性

17、方程組。該算法主要用來測量系統諧波，由于要多次迭代，計算量很大， 尤其是在待估高次諧波分量較多時，工作量十分可觀；且算法受限于參數設置和初始值，容易出現數值不穩定現象。 d) 離散卡爾曼濾波算法。 離散(擴展)卡爾曼濾波法通過對離散隨機動態過程及其含噪聲量測變換計算信號頻率，將卡爾曼濾波算法應用于電力系統頻率測量的前提建立在模型（如動態方程、量測方程和隨機序列的統計特性）和狀態變量、協方差陣初值的正確估計基礎上的。第二章 卡爾曼濾波算法的結構特點2.1 卡爾曼濾波的基本思想卡爾曼濾波是線性無偏最小均方誤差遞推濾波器。與維納濾波相比，在平穩條件下，它們所得到的穩態結果是一致的。然而，它們解決的方

18、法有很大區別。維納濾波是根據全部過去的和當前的觀察數據來估計信號的當前值，它的解是以均方誤差最小條件下所得到的系統的傳遞函數H(z)或單位樣本響應h(n)的形式給出的，因此稱這種系統為最佳線性過濾器或濾波器。而卡爾曼濾波是用前一個估計值和最近一個觀察數據來估計信號的當前值，是用狀態方程和遞推的方法進行估計的，其解是以估計值形式給出。因此稱這種系統為線性最優估計器或濾波器。卡爾曼過濾中信號和噪聲是狀態方程和量測方程表示的，因此設計卡爾曼濾波器要求已知狀態方程和量測方程。標準卡爾曼濾波器是在最小均方誤差準則下的最佳線性過濾器，就是說，它使系統的狀態向量和狀態向量的預測值之間的均方誤差達到最小，它用

19、狀態方程和遞推方法進行估計，它的解是以估計值形式給出的。由于它能夠對物體的運動建立某種模型，因此在跟蹤中經常被用到。當觀測方程不是線性時，上述標準卡爾曼濾波方程不再適用，但是如果狀態估計值離真實值不是很遠，可以將觀測方程局部線性化，得到擴展卡爾曼濾波器(extended Kalman filtering，EKF)。由于EKF使用泰勒展開的一階近似，跟蹤一段時間之后，經常會引起很大的參數估計的累計誤差。為此，無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter ，UKF) 不再近似估計觀測方程，它仍然用高斯隨機變量表示狀態分布，不過是用特定選擇的樣本點加以描述。與EKF 相比，UKF

20、的誤差僅僅出現在三階以上的矩中，而且計算也簡單，而EKF 僅僅精確到一階矩。總的來說，卡爾曼濾波是一個線性的估計器，能夠有效地跟蹤物體的運動和形狀變化，但它基于兩個假設：一是背景相對干凈；二是運動參數服從高斯分布9。因而適用范圍有限，對于復雜的多峰情況，還得求助于其它方法。2.2 卡爾曼濾波器的原理卡爾曼濾波的含義是現時刻的最佳估計為在前一時刻的最佳估計的基礎上根據現時刻的觀測值作線性修正。卡爾曼濾波在數學上是一種線性最小方差統計估算方法，它是通過處理一系列帶有誤差的實際測量數據而得到物理參數的最佳估算。其實質要解決的問題是要尋找在最小均方誤差下的估計值。它的特點是可以用遞推的方法計算，其所需

21、數據存儲量較小，便于進行實時處理。具體來說，卡爾曼濾波就是要用預測方程和測量方程對系統狀態進行估計。設動態系統的狀態方程和測量方程分別為： (2-1) (2-2)上兩式子中，是k時刻的系統狀態，和是k-1時刻到k時刻的狀態轉移矩陣，是k時刻的測量值，是測量系統的參數，和分別表示過程和測量的噪聲，他們被假設成高斯白噪聲。如果被估計狀態和觀測量是滿足上述第一式，系統過程噪聲和觀測噪聲滿足第二式的假設，k時刻的觀測的估計可按下述方程求解。進一步預測： (2-3)狀態估計： (2-4) 濾波增益矩陣： (2-5) 一步預測誤差方差陣： (2-6) 估計誤差方差陣： (2-7)上述就是卡爾曼濾波器的5條

22、基本公式，只有給定初值和，根據k時刻的觀測值，就可以遞推計算得k時刻的狀態估計（K=1，2，N）。2.2.1 擴張卡爾曼濾波由于在實際中廣泛存在的是非線性狀態空間模型，使得常規卡爾曼濾波在電能質量分析中的應用存在困難，于是便出現了諸多針對非線性模型的次優方10，其中應用最廣泛的是擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filtering，EKF)。EKF 是將非線性系統線性化，與線性卡爾曼濾波公式完全類似。其主要思想是對非線性函數的泰勒展開式進行截斷，實現非線性函數的線性化。根據泰勒展開式進行的是1 階還是2 階截取，EKF 主要分為1 階EKF(first order EKF)和2

23、階EKF(second order EKF)。電能質量分析中最常用的是1 階EKF，原理簡述如下。假如非線性系統可表示為x(t)= f x(t),t+w(t) (2-8) y(t)=hx(t),t+v(t) (2-9)式中：x(t)為系統狀態向量；y(t)為系統量測向量；f 和h 是關于狀態的非線性函數；w 和v 均是均值為零的高斯白噪聲。式(2-8)(2-9)分別是狀態方程和量測方程。為了使卡爾曼濾波應用到非線性系統中，非線性系統必須在指定位置進行泰勒展開，實現線性化。推導過程如下：利用泰勒公式，分別在和 處對狀態方程和觀測方程進行 1階泰勒展開，可得 （2-10） (2-11) 假設 （2

24、-12） (2-13) (2-14) 則式(2-10)(2-11)可改寫成與常規卡爾曼方程相似的形式： (2-15) (2-16) 1階EKF遞推方程組與常規卡爾曼濾波遞推方程組在形式上相同，不同的是:KF中的和被1階EKF中的Jacobian 矩陣At和Ht代替，并且預測平均值和預測的冗余在EKF 中也分別計算,其遞推方程與卡爾曼濾波相同。在電能質量分析中，A、B 矩陣的設計略有不同。1991 年，Beides H M 和Heydt G T 提出用擴展卡爾曼濾波獲得電力系統諧波的動態狀態估計，經過實驗室仿真和實測試驗證明擴展卡爾曼濾波能動態地追蹤諧波內容和時間。1993 年，Kamwa也將E

25、KF 引入電力系統電能質量分析中，用于測量閃變。雖然擴展卡爾曼濾波有很好的發展前景，但它在實際應用中存在明顯的缺陷：一是線性化有可能產生極不穩定的濾波；二是EKF需要計算Jacobian 矩陣的導數，實現起來較為復雜，而對于一些不可微的情況,EKF可能失效。在模型非線性較強以及系統噪聲非高斯時，估計的精度嚴重降低，甚至會造成濾波器發散。2.2.2 無跡卡爾曼濾波為了更精確地擬合非線性函數，Julier 提出了無跡變換(unscented transformation，UT)和無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filtering，UKF)。通過結合無跡變換和無跡卡爾曼濾波來實現非

26、線性系統的狀態估計，是近年來用于解決該問題的一種新的熱點方法。它通過一組精確選擇的Sigma 點來匹配隨機量的統計特性，UKF 沒有涉及非線性映射函數的Jacobian 矩陣計算問題，從而使算法的實現比EKF 更為容易, 在保持相當運算量的同時，具有更高的估計精度和更廣泛的適用范圍。傳統的線性化方法是對非線性映射本身做某種線性近似，然后再應用線性估計的各種方法。而Julier S. J.等人提出的無跡變換則是基于用有限的參數來近似隨機量的概率統計特性要比近似任意的非線性映射函數更為容易的思想11。無跡變換的基本步驟可概括為：關于x 的Sigma 點集的產生不確定性的非線性變換與傳遞關于y 的統

27、計特性的推算。無跡變換Sigma 點集的選取方式不同，會產生很多種變換的演變形式，其目的主要是進一步提高變換的精度，增強算法的穩定性和減小運算量等。在應用UKF 時首先要對狀態量進行擴展，也就是將模型噪聲也作為狀態量的一部分，相應地，無跡變換中用到的Sigma 點也需要擴展，具體表示如下。擴展狀態方程的初始值： （2-17） （2-18）式中：為模型初始狀態變量；和 分別為擴展狀態向量的均值和協方差陣。Sigma 點集的創建通過下式實現： (2-19) 式中i=0,n,n=1,2m,m為預測空間維數；表示矩陣 平方根的第i個行向量或列向量，而矩陣平方根的常見求法是采用Cholesky分解；為k

28、1點處的協方差； ，決定 Sigma 取的點數，是由和參數決定的函數，為控制周圍的高階非線性值的參數，是介于0.000 1 1 之間的一個常數，是次要的比例參數，通常設置為 0 或3n ，以確保 Sigma點分布的峭度與高斯分布的峭度一致。Sigma 點向量通過狀態方程的非線性影射得到： (2-20)擴展狀態量的1 步預測為 (2-21) 擴展狀態量1 步預測的協方差陣為 (2-22)然后計算量測空間。量測空間的Sigma點集 的創建通過下式實現：1 步預測的擴展狀態Sigma 點向量經過觀測方程的非線性映射得到： (2-23)觀測量的1 步預測為 (2-24)式中： ； 為合并高階狀態分布的

29、先驗知識，高斯分布的最佳選擇是2。觀測量1 步預測的協方差陣為 （2-25）計算濾波增益矩陣： （2-26） 更新估計： （2-27） UKF在保持相當運算量的同時具有更高的估計精度和更為廣泛的適用范圍，它在國內的相關研究起步較晚，但發展很快。可查的公開資料主要集中于最近的23 年內，而且在電力系統尤其是電能質量方面的研究成果比較少。2.3 卡爾曼濾波器的應用卡爾曼濾波器（Kalman Filter）是一個最優化自回歸數據處理算法（optimal recursive data processing algorithm），它的廣泛應用已經超過30年，包括航空器軌道修正、機器人系統控制、雷達系統與

30、導彈追蹤等。近年來更被應用于組合導航與動態定位，傳感器數據融合、微觀經濟學等應用研究領域。特別是在圖像處理領域如頭臉識別、圖像分割、圖像邊緣檢測等當前熱門研究領域占有重要地位。卡爾曼濾波作為一種數值估計優化方法，與應用領域的背景結合性很強。因此在應用卡爾曼濾波解決實際問題時，重要的不僅僅是算法的實現與優化問題，更重要的是利用獲取的領域知識對被認識系統進行形式化描述，建立起精確的數學模型，再從這個模型出發，進行濾波器的設計與實現工作。濾波器實際實現時，測量噪聲協方差R一般可以觀測得到，是濾波器的已知條件。它可以通過離線獲取一些系統觀測值計算出來。通常，難確定的是過程激勵噪聲協方差的Q值，因為我們

31、無法直接觀測到過程信號。一種方法是通過設定一個合適的Q，給過程信號“注入”足夠的不確定性來建立一個簡單的可以產生可接受結果的過程模型。為了提高濾波器的性能，通常要按一定標準進行系數的選擇與調整。基本卡爾曼濾波（KF）器限定在線性的條件下，在大多數的非線性情形下，使用擴展的卡爾曼濾波（EKF）器來對系統狀態進行估計。隨著卡爾曼濾波理論的發展，一些實用卡爾曼濾波技術被提出來，如自適應濾波，次優濾波以及濾波發散抑制技術等逐漸得到廣泛應用。其它的濾波理論也迅速發展，如線性離散系統的分解濾波（信息平方根濾波，序列平方根濾波，UD 分解濾波），魯棒濾波（H 波）。第三章 時變隨機信號及其測量過程數學模型的

32、建立3.1 隨機信號簡介隨機信號又稱為不確定信號，是指無法用確定的時間函數來表達的信號。一般這類信號的頻域是連續的，而函數信號為斷續的。隨機信號是不能用確定的數學關系式來描述的，不能預測其未來任何瞬時值，任何一次觀測只代表其在變動范圍中可能產生的結果之一，其值的變動服從統計規律。它不是時間的確定函數，其在定義域內的任意時刻沒有確定的函數值12。3.2 一維時變隨機信號的數學模型對每一確定的取樣時刻k，x（k）是一個隨機變量。當取樣時刻的時標k變化時，我們就得到一個離散的隨機過程，即隨機系列x（k）。假設待估隨機信號的數學模型是一個由白噪聲系列w（k）驅動的一階自遞歸過程，其動態方程為： （3-

33、1）式中：參數（3-1）式中的稱為過程噪聲或動態噪聲。當時標k變化時，它將構成一個白噪聲序列，其統計特性可用以下數字特診來描述：均值： （3-2）方差： 常數 （3-3）自相關序列： （3-4）由式（3-1）式所決定的信號x（k），當時標k變化時，將構成一個平穩隨機x（k），其統計特性可用以下數字特性來描述：1.均值： （3-5）2.方差： 常數 （3-6）3.自相關序列 當取樣時刻的時標k變化時，取樣時刻時標相差j的x（k）的兩樣值間的自相關序列為 （3-7）3.3 信號測量過程的數學模型信號測量過程的數學模型，可用如下的測量方差給出 （3-8）式中：為k時刻的信號值。為該時刻對進行測量所得

34、到的信號測量樣值。為此時在測量過程中所引入的量測噪聲，可將其視為獨立的附加白噪聲。當k變化時，將組成一個隨機信號序列，將組成一個測量樣值序列，而將組成一個附加白噪聲序列。C為量測參數，它是一個由測量系統和測量方法所確定的不隨時間變化的常數。因為量測噪聲序列是一個白噪聲序列，故其統計特性可用如下的數字特征描述：均值： （3-9）方差： 常數 （3-10）自相關序列： （3-11） 又因量測噪聲序列與隨機信號序列互不相關，故 所以，我們可以看到一維時變隨機信號及其測量過程的數學模型，見圖3-1.圖3-1 一維時變信號及其測量過程的數學模型第四章 向量卡爾曼濾波和預測的一般方法4.1 標量卡爾曼濾波

35、器的基本內容一維隨機信號的遞歸型估計器的一般表達式： （4-1）在信號數學模型為（3-1）式、測量過程的數學模型為（3-2）的條件下，以均方根估計誤差最小為準則對估計器的加權系數和進行最優化，并推導出標量卡爾曼濾波器的最有估計的遞推算法。由（3-1）式表達的遞歸型估計器在k時刻對信號的估計誤差為 （4-2） 均方估計差為： （4-3） 若將（3-1）式代入（4-3）式，可得 （4-4） 若令對呵的偏導數為零，即 （4-5） （4-6）則由（4-5）式和（4-6）式中解出和將保證該遞歸型估計器的均方估計誤差為最小。根據統計理論中的正交原理，我們也可將（4-5）式和（4-6）式分別寫成正交方程的形

36、式，即 （4-7） （4-8）由（4-5）式，我們可得 （4-9）再由（4-9）式出發，經過一系列的代換可求出 （4-10）此式為經過最優化得到的表達式。式中：是最優遞歸型估計器的一個時變增益，它將隨時標k的改變而變化。a是信號模型中反映一階自遞歸過程惰性大小的參數，只要信號模型確定后，它就是一個常數。顯然，和a是兩個意義完全不同的量。我們還可以看出，由于式中還包含另一個未知的時變增益，因此它實際上只是一個和的關系式。要想最終確定，還必須求出。最優遞歸型估計器對信號的均方估計誤差可寫成 （4-11）由正交公式（4-7）式和（4-8）式可知，上式等號右側的后兩項為零，故 （4-12） 由測量方程

37、（3-2）式，我們可得 （4-13）代入（4-12）式，因為信號與測量噪聲不相關，（k-1）時刻的信號估計值與k時刻的量測噪聲也補相關，故 （4-14） 我們還可以把最優遞歸型估計器對信號的均方估計誤差寫成 （4-15）再利用和的關系式（4-10）式 （4-16）因為、和互不相關，它們的交叉乘積項的均值都為零，故 （4-17）將（4-13）式代入（4-15）式，經整理后求解得 （4-18）此式即經過最優化所得到的的表達式。4.2 最優遞歸型估計器的構成 由（3-1）式 （4-19） 所表述的遞歸型估計器，當其時變增益和經過最優化，即分別有（4-11）式和（4-16）式給出時，就是一個最優遞歸型

38、估計器，其均方估計誤差最小。利用（4-11）式，我們可從（3-1）式中消去，得到 （4-20）由（4-20）式，可構成一個最優遞歸型估計器-標量科爾曼濾波器，其框圖如圖4-1.圖4-1 標量卡爾曼濾波器框圖對（4-20）式物理意義的說明：在尚未獲得k時刻的新測量樣值以前，我們只能從（k-1）時刻對信號所作出的估計出發，根據由信號數學模型所確定的規律來對k時刻的信號進行預測。由于信號數學模型中的動態噪聲的確切數值無從得知，故對的預估值只能取作。可見，（4-20）式等號右側的第一項就是在未獲得任何新信息的情況下，根據以往的測量數據對k時刻的信號所做的預估。在k 時刻的新測量樣值尚未得到之前，我們還

39、可對k時刻的將要測得的新測量樣值進行預估。但是，此時我們只能從對k時刻的信號的預估值出發，根據量測方程來對k時刻將要測得的作出預估。由于量測噪聲的確切數值無從得知，故對的預估值只能取作 （4-21）當我們測得k時刻的新測量樣值后，若所測得的值與其預估值 之差不為零，就說明k時刻的新測量樣值中包含有前（k-1）次測量中所沒有的新信息。若與其預估值之差為零，則說明k時刻的新測量樣值中不包含任何新信息。因此，我們把k時刻的信號實測值與其預估值之差稱為第k 次測量中的新信息。顯然，當我們測得k時刻的新測量樣值之后，可利用第k次測量中的新信息乘上一個比例系數作為修正項，對未測得前對信號給出的預估值進行修

40、正，從而得到k時刻對信號的估計值。可見，（4-20）式等號右側的第二項即為對信號預估值的修正項。4.3 標量卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波的基本算法是預估加修正，而公式（4-20）式、（4-21）式和（4-13）式就構成了標量卡爾曼濾波器在信號及其測量過程的數學模型分別為和)時對信號進行最優估計的一套完整的遞推算法。（4-6）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻k對信號的估計值，即 （4-22）（4-20）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻k的時變濾波增益，即 （4-23）（4-13）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻k的均方估計誤差，即 （4-24） 為了便于將標量卡爾曼濾波器的

41、遞推算法直接推廣到向量隨機信號（即多維隨機信號）的卡爾曼濾波中去，給出如下的一套完整的遞推算法：濾波估計方程 （4-25）濾波增益方程 （4-26）式中：均方誤差濾波方程： （4-27）4.4 標量卡爾曼預測器假設待測量隨機信號的數學模型為一階自遞歸過程，即 （4-28）信號測量過程的數學模型為 （4-29）線性遞歸型預測估計器可用如下的遞推方程來表述： （4-30）為使（4-30）式表述的線性預估其成為一個最優線性預估器，就必須依據最小均方誤差準則對（4-30）式中的時變預測增益和進行最優化。用上節類似的方法，可以求得經最優化后的和的表達式以及相應的均方預測誤差的表達式，即 （4-31） （

42、4-32） （4-33）其中：根據（4-31）式，可由推算出；再根據（4-32）式又可由推算出。只要選定了初值，這一遞歸過程就可以不斷的進行下去。將（4-31）式代入（4-30）式，可得 （4-34） 根據（4-34）式，可以構成一個標量卡爾曼預測器，其框圖如圖4-2所示。圖4-2 標量卡爾曼預測期框圖圖3-2所示的標量卡爾曼預測器的一套完整的遞推算法有（4-31）式、（4-32）式、（4-33）式組成。但為了便于將這組公式直接推廣到向量隨機信號（即多維隨機信號）的卡爾曼遞推預測中去，當變量隨機信號及其測量過程的數學模型分別為和時，將（4-33）式作下改寫，即利用（4-32）式消去（4-33）

43、式中的。經過改寫后得到卡爾曼預測器對此信號進行遞推預測的一套完整的遞推算法，公式如下：預測估計方程 （4-35） 預測增益方程 （4-36）均方預測誤差方程 （4-37）4.5 向量卡爾曼濾波和預測與標量情況類似，可用向量表示k時刻對隨機信號向量的最優線性濾波估計值，用向量表示在k時刻對（k+1）時刻的隨機信號向量的最優線性預測估計值。 對向量卡爾曼濾波來說，標量情況下的濾波誤差此時將變成一個濾波誤差向量 （4-38）標量情況下的均方濾波誤差，此時將變成一個濾波誤差的協方差矩陣 （4-39）同樣，對向量卡爾曼預測來說，其預測誤差向量為 （4-40）其預測協方差矩陣為 （4-41）所謂向量卡爾曼

44、濾波器或預測器，實際上就是一種能對向量隨機信號進行最優線性濾波或預測的遞歸型濾波器。“最優”的含義，是指能使每個信號分量的均方估計誤差同時為最小。 考慮到向量卡爾曼濾波器或預測與標量卡爾曼濾波器或預測無論條件上（即信號及其測量過程的數學模型）還是在要求上（即“最優”的含義）都完全相似，因而，可以直接把標量卡爾曼濾波或預測的遞推公式推廣到向量情況。 在直接引用標量卡爾曼濾波或預測的遞推公式時，除了應把標量形式的信號、信號估計值和測量樣值表述成向量形式，把系統參數a和量測參數c表述成系統矩陣（或稱系統的狀態轉移矩陣）A和量測矩陣C，把均方估計誤差和有關噪聲和方差表述成相應的協方差矩陣外，還應根據表

45、3-1將遞推公式中的標量運算變換成相應的矩陣運算。表4-1 從標量運算到矩陣運算的轉換表注意：在使用表4-1時必須使變換后的沒一步矩陣運算都能進行下去，并使等號兩側最終得到的矩陣在階數上保持一致。我們可以從標量卡爾曼濾波的遞推算法（4-26）（4-29）式直接得到向量卡爾曼濾波的遞推算法：濾波估計方程： （4-42）濾波增益方程： （4-43）式中： 濾波協方差方程： （4-44） 和標量卡爾曼濾波器一樣，向量卡爾曼濾波器也是以預測加修正作為其遞推濾波的基本算法的。卡爾曼濾波器的這一特性，使得很容易用計算機來實現對信號的實時濾波，為此，可采用軟件方案來實現卡爾曼濾波。 在向量卡爾曼濾波的一整套

46、遞推算法中，（4-42）式可構成向量卡爾曼濾波的主程序算法， 圖4-3給出了主程序算法的框圖。圖 4-3 向量卡爾曼濾波的主程序算法框圖從圖4-3中可以看出，向量卡爾曼濾波的主程序算法主要分三步來進行。 第一步：在已知（k-1）時刻對信號向量的估計值的條件下，用系統矩陣A乘以，得到在（k-1）時刻對k時刻信號向量的預測值。 第二步：用量測矩陣C乘以，得到在（k-1）時刻對k時刻的測量數據向量的預測值；再用的實測值減去預測值，得到殘差（新信息）；最后用濾波增益矩陣乘以，得到修正量。 第三步：把對信號的預測值加上修正量，得到信號的濾波估計值。 值得注意的是：在上述運算過程中，所用的濾波增益矩陣并不是在主程序中計算出來的，而是從向量卡爾曼濾波的子程序算法中計算出來的。上述運算過程中所得到的值應存儲起來，以供下一次遞推時使用。只要確定了信號估計值的初值，例如設，則隨著時間的推移，可在測得后算出，在測得后算出，依次類推。在從（k-1）時刻到k時刻這段時間內，只需把存儲起來。隨著遞推的不斷進行，再對它不斷更新。當然，如果系統矩陣和量測矩陣是時變的，就需把和也存儲起來。 向量卡爾曼濾波的子程序算法是由（4-41）（4-44）式構成的，其算法框圖由圖4-4所示。 從圖4-4中可以看出，向量卡爾曼濾波的子程序算法也分三步來進行。 第一步：在以知和,的條件下，