1、線性規劃問題的新思路本文以2014 年高考數學廣東卷一道線性規劃試題為反思載體，說明線性規劃問題有不下四種求解途徑1常規解法的呈現作為不等式的應用，中學教材必修5介紹了線性規劃問題，這不僅體現了數學建模與優化思想，而且參透了數形結合的思想，函數與方程的思想等又由于線性規劃與不等式、方程、函數等知識直接聯系，而且還可以延伸到解析幾何、向量、數列、概率等眾多知識模塊中去，這正好成為新課程高考命題“在知識網絡交匯處設計試題，促進學科知識的交融和滲透”的切入口與求新點因此，在各地的高考試題中，線性規劃問題幾乎成了“必考”的熱點下面是2014 年全國高考數學廣東卷一道常規線性規劃試題例1 （2014 年

2、高考數學廣東卷（理科）第3題）若變量滿足約束條件 且的最大值和最小值分別為和，則（A）8 （B）7 （C）6 （D）5講解 本題來源于教材的練習（見文1 第91頁）：求的最大值，使滿足約束條件 新的高考題在保留題目數式與整體結構的同時，增加了兩步運算：求最小值，求最大值與最小值的差這主要表現為運算量的增加，思維強度與課本大體持平，應該屬于簡單題解法1 根據約束條件作出可行域如 圖1中的陰影，然后平移直線，并觀察直線在軸上的截距：當直線通過點時取到最大值，；當直線通過點時取到最小值，； 所以選（C） 圖1這個線性規劃解法的基本步驟是：步驟1 （由數到形的溝通）將“線性約束條件”（代數不等式組）轉

3、化為“可行域”（圖形）；還用到了聯立方程求邊界角頂點的坐標步驟2 （由數到形的溝通）將“目標函數”（代數等式）轉化為通過可行域的“直線”步驟3 （數形結合的尋找）在“可行域”內平移“直線”（目標函數），找出“最優解”（通常在邊界角頂點達到）可見，這主要是“數形結合”中一個“由數到形”的過程，也是一個“由條件到結論”的綜合法過程對這兩個基本過程作反思可以導致更多思路的解放2反思導致多思路（1）反思由數式到圖形的單向性如所周知，數形結合是“由數到形”與“由形數到”的雙流向溝通，當線性規劃解法把數式轉化為圖形的同時，圖形也必定會同步反饋出代數信息，因而，“線性規劃問題”的圖形解法，通常都會有相對應的

4、代數解法表現為不等式的放大縮小事實上，“當直線通過點時取到最大值”就等于告訴我們，取到最大值在不等式的公共端點處取到，把表示為，則的最大值就可以通過不等式的放大而求得同樣，“當直線通過點時取到最小值”就等于告訴我們，取到最小值在不等式的公共端點處取到，把表示為，則的最小值就可以通過不等式的縮小而求得把幾何信息還原回代數信息，有解法2 由待定系數法可得 在中取，由約束條件及，有，當時取到最大值，；在中取，由約束條件及，有，當時取到最小值，；所以選（C）這個解法的基本步驟是：步驟1 將“目標函數”表示為“約束條件”的相應不等式（通常用待定系數法）步驟2 將相應不等式放縮為常數；步驟3 驗證常數可以

5、取到，找出“最優解”可見，這個解法無非是在定義域內（代數不等式組）求二元函數的值域（當然，中學教材不出現二元函數），這只不過是代數題的本義我們認為，對“數形結合”只說“由數到形”會給學生造成單流向的誤解，選擇時機補上對應的“代數解法”有助于學生獲得完整的“數形結合”認識、形成優化的認知結構 （2）反思由條件到結論的單一性如所周知，解題方法既有綜合法（由因索果）又有分析法（執果索因），只要有可能，都應該提供綜合與分析的雙向溝通在線性規劃問題上，如果我們著眼于“執果索因”，那么目標函數就會向我們呈現兩個前景：其一是“數形結合”的，即把轉化為向量的數量積，然后在“可行域”上找數量積的最值（參見解法3

6、）；其二是純代數的，即把改寫為參數式代入的約束條件得關于的不等式（組），由此可以確定的范圍，進而求出的最值（參見解法4）解法3 作向量，記向量的夾角為（），則向量在向量上的投影為由于，所以，求的最值只需計算動向量在定向量上投影的最值根據約束條件作出可行域如圖2中的陰影，在可行域上旋轉動向量，可見：當位于處時投影取到最大值， 當位于處時投影取到最小值，所以選（C） 圖2這個的解法基本步驟是：步驟1 （由數到形的溝通）將“線性約束條件”（代數不等式組）轉化為“可行域”（圖形）；還用到了聯立方程求邊界角頂點的坐標步驟2 將“目標函數”（代數等式）轉化為“兩向量的數量積” 步驟3 （數形結合的尋找）在

7、“可行域”內找動向量在定向量上投影的最值，從而得出的最值可見，這個解法與解法1中“數形結合”的基本過程是一樣的，不同在于第2步把直線變為了數量積，從而第3步把直線的平移變為了動向量的旋轉解法4 把化為代入約束條件（消去），有 得 由、有， 可解得，計及得 把代入（或、）分別有，當時，；，當時，所以選（C）這個的解法基本步驟是：步驟1 將“目標函數”改寫為參數式 步驟2 代入“約束條件”（消去）得關于的不等式步驟3 確定的范圍，進而求出的最值 可見，這個解法與解法2一樣，都是用代數方法求二元函數的值域，不同在于解法2用定義域的數式來表示函數，直接對二元變量進行放縮，而解法4卻把函數式代入定義域的數式中去，消元后對一元變量進行放縮，與此相適應，解法2用了待定系數法，解法4用了參數方程以上，呈現了線性規劃問題的四個思路，它