1、新課程背景下小學數學教師本體性知識的缺失及其對策研究 曹培英（上海市靜安區教育學院，上海200040）摘要：在新課改背景下，小學數學教師本體性知識的缺失現象日益顯現。調研與測試表明，小學數學教師本體性知識的缺失，主要集中在概率統計、圖形變換、幾何證明與數論初步等方面。分析研究其原因，一方面是由于學歷教育數學課程內容以及數學素養培養的局限性，另一方面是由于教師思維的“童化”，即伴隨教師重建兒童心智的努力而出現的本體性知識及其思維的退化。相應的對策是：調整、充實職前教育數學課程的內容；改進職前教育數學課程的教學方法；加強職后培訓的針對性，以引起教師自身的關注，并結合教材分析與課例點評，對普遍缺失的

2、本體性知識予以彌補。關鍵詞：小學數學教師；本體性知識中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：C作者簡介：曹培英（1953），上海市靜安區教育學院教學研究室副主任，中學高級教師，上海市特級教師。一、問題的由來與本課題的前期研究課程改革給教師專業發展帶來了新的挑戰。盡管改革的成敗取決于方方面面眾多因素，但教師是其中的關鍵。面對前所未有的挑戰，教師的知識狀況是否適應新的要求？如有不適，怎樣應對？這是我們必須認真加以研究并做出回答的問題。一般認為，教師的知識可以分為三個方面，即教師的本體性知識、實踐性知識和條件性知識。本研究主要針對小學數學教師本體性知識的現狀展開。研究者認為，數學教師的本體性知識，既包

3、括顯性的可言傳數學知識，也包括隱性的默會知識即數學能力、素養，是兩者的統一體。（一）國外關于數學教師本體性知識的研究結論國外有關數學教師本體性知識的研究，影響較大的當數美國“全國數學教師理事會”（NCTM）于20世紀60年代進行的“全國數學能力縱向研究”所得出的相關結論。這里，引用美國學者芬內瑪（Elizabeth Fennema）和弗倫克（Megan Loef Franke）教師的知識及其影響一文中的綜述：“盡管相信數學知識的重要性，盡管有跡象表明一些教師不具備相應的數學知識，但研究工作對教師的數學知識和學生學習之間存在著直接關系的看法并不給以很大支持。”“NLSMA調查者仔細地核實了教師所

4、學過的數學課程的數量，然后測算這些數量和學生學習之間的相關系數，他們沒有發現重要的關系。5年后，艾森伯格（Eisenbeng）重復這一研究，得到了同樣的結論。”1（222）這類研究的明顯不足是對教師所掌握知識的測度不夠合理。顯然，用教師先前學過的數學課程數目作量化指標，難以反映教師對數學知識的理解程度和應用水平。正如芬內瑪和弗倫克針對這類研究中關于知識測試與相關系數計算方面的問題分析后所指出的：“可能是不適當的知識測量與相對有限的研究方法隱蔽了原本存在著的教師知識與學生學習之間的相互關系。”1（223）再者，將教師數學知識的一個自變量對應于學生成績的因變量，使得這類研究“對教師的知識是如何綜合

5、起來的，或在所學大學課程與課堂教學之間是否存在著相互關系，沒有提出多少依據”。2因此，“人們的普遍反應是，我們不應該輕易地去否定數學知識的重要性，而應對這一問題作出更為深入的研究”。3（28）（二）國內關于數學教師本體性知識的研究結論在我國，長期以來，一種根深蒂固的觀念是，教師必須具有足夠的學科知識，才能應付自如地教學。“給學生一杯水，教師自身要有一桶水”便是這一觀念的真實反映。然而，到了20世紀90年代中期，國內也有研究得出與上述NLSMA調查者相類似的結論。如林崇德等人的研究（1996）稱：“我們的研究表明，教師的本體性知識與學生成績之間幾乎不存在統計上的關系。我們認為，教師需要知道一部分

6、學科知識，以達到某種水平，但并非本體性知識越多越好。”4由于沒有報告研究的方法與過程，因此無從對“幾乎不存在統計上的關系”作出評估。就結論而言，可以認為只是陳述了一個眾所周知的判斷：教師擁有一定的知識，對于搞好教學是必要的，但不具充分性。由此得出的推論是，從某種意義上說，教學的中心任務就是對學科作出教育學的解釋，并把學科知識“心理學化”，以便學生接受與理解。進一步的研究，有一項是以北京97名小學數學教師為調查對象，對其職業知識進行的調查分析。該調查“根據教師的三種知識類型，結合對9名有經驗的一線小學數學教師的訪談”分別編制問卷。對于學科知識，主要從小學數學的基本概念、公式的運用及應用題等方面予

7、以考查。“從教師對數學學科知識的掌握情況來看，小學數學教師在學科知識基本概念的理解、公式的運用以及應用題等方面的答對率（題目得分/總分）都在85%以上，說明當前小學數學教師對學科知識的掌握是比較好的”，但“對條件性知識與實踐性知識的掌握都不能令人滿意”。5這里，透視“觀念結論”的變遷，不難發現，它實際上反映了對教學的關注，從學科知識向學科知識與學生認知整合的轉移，同時也折射出教學的價值取向，從追求知識傳授向追求學生更廣泛發展的傾斜。這無疑是一種發展、進步，應當加以肯定。問題在于，首先，為了實現新的追求，教師的本體性知識應達到何種水平，才能保證在對學科知識作教育學的解釋和心理學的加工時不至于出現

8、知識性、科學性的偏差。可以說，這一直是一個懸而未決的問題。誠然，要對本體性知識的“某種水平”作出泛學科的、較為一般的具體刻畫是困難的，特別是中小學課程內容的不斷更新，進一步加大了從理論上作出這一刻畫的難度。但是，對現階段任教某一學段、某一學科的教師，如小學數學教師，他們所擁有的本體性知識水平，是否適應目前正在推行的課程改革的要求，通過調研作出具體判斷，卻應該是可行的，也是課改推進的實踐所十分需要的。其次，用“小學數學的基本概念、公式的運用及應用題”等小學生應該掌握的內容，作為小學數學教師本體性知識的測度項目，是否有失偏頗？換句話說，用“給學生的一杯水”來測量“教師的一桶水”合適嗎？那么，又如何

9、來測量教師的一桶水呢？是測量它的量，還是測量它的質？有鑒于上述國內外從量的視角，以靜態測度研究數學教師本體性知識所存在的局限性，本研究擬從質的視角，動態考察小學數學教師本體性知識的狀況。首先從課堂觀察與現象分析入手，發現調研測試的素材，然后從課改推進中的教學需要著眼，確定測量內容，力求使質的測度具有一定的代表性和充分的現實意義，進而輔以訪談與個案研究，使研究更為動態化。（三）新一輪課改實施以來聽課觀察中發現的問題在近兩年來聽課觀察與對話交流的過程中發現，近一半的課后分析或多或少涉及學科知識的紕漏或對學科知識理解的偏差。其中除了教師教錯了之外，還有兩類反映教師本體性知識缺失的現象：一是學生提出疑

10、問，教師難以解惑；二是按似是而非地理解加工教學內容。下面各舉一例。案例1引入平角、周角等概念后，一位青年骨干教師讓學生自己提出問題。他把學生的問題板書在黑板上，差不多寫了半黑板。可見學生的學習積極性被充分調動起來了。接著，教師讓學生小組討論，看哪些問題自己能解答。隨后交流，大家認為滿意了，就把該問題擦掉。最后還剩下一大半問題，學生無法解答或有學生試圖解答，但其他同學不認可。于是教師說：這些問題，以后進一步學習數學時會明白的。遺留下來的問題中有兩個是：0°角與周角有什么區別？有沒有大于360°的角？課后，教師坦率地承認，之所以這樣處理，是因為自己不知道該如何解釋，才能使學生明

11、白。案例2教學被除數是0的除法，其中涉及除數不能為0，教師認為：“除數不能為0。這是一個深奧的數學問題，對于二年級學生而言，要理解其意思是有困難的”，就借助了一個情境來幫助學生理解。“小巧每天去森林給小動物分蘋果。讓我們一起去看看小巧是怎么給小動物分蘋果的。”“森林的小屋里住著幾只小動物。第一天，小巧帶去了6個蘋果，出來了3只小動物，平均每只可以得到幾個蘋果？算式怎么寫？”（學生匯報，教師板演，找數量關系）“第二天，小巧沒有帶去蘋果，3只小動物等著小巧。可是怎么分呢？誰來說算式？”“第三天，小巧特地帶了6個蘋果早早來到小屋。可是等了很長時間，沒有小動物出來。（教師板演6÷0=）沒有小

12、動物在，分就沒有什么意義了。”6這確實是一個富有童趣的問題情境：小動物上了一次當，下一次就不來了，由此引出除數是0。頗具藝術性的教學設計。但是，數學中“除數不能為0”是一種規定。要解釋它的合理性，通常依據除法的定義，分被除數是0或不是0兩種情況加以說明，這超出了小學生的認知能力。然而，當教師采用這個教案教學時，學生很自然地由數量關系類推出：小巧沒帶蘋果，蘋果數是0；小動物沒來，小動物數為0，于是得出6÷0，那么6÷0等于多少呢？有的說等于6，理由是小動物沒來，6只蘋果還在；有的說等于0，理由是誰也沒有分到蘋果。最后還是教師硬性規定“除數為0沒有意義”。課后，與幾個很會發言的

13、學生繼續這一話題，其中就有一個學生提出疑問：“為什么小巧沒帶蘋果可以用0表示，小動物沒來，用0表示就沒有意義了呢？”看來，“教材把握不好，或者把握偏了，方法越高明，越會南轅北轍。錯了、偏了，還有什么藝術可言呢？”7類似問題，在數學課程標準新增內容的教學中，顯得更加突出。這些問題，至少在中國的文化背景下，在大多數人看來，是不能聽之任之的。由此可見，在人們普遍認為當前教師主要缺失條件性知識和實踐性知識并全力予以彌補的背景下，在教師的注意力完全集中在教育理念的學習與落實的傾向下，被掩蓋著的另一種傾向教師的本體性知識的缺失，不能不引起我們的關注。盡管有研究表明，中國小學數學教師在數學概念和計算方法的理

14、解方面，明顯優于美國小學數學教師。3（310311）但這只是說明，我國小學數學教師的本體性知識有一些強項。因為該項比較研究所采用的四個測試題，分別涉及退位減法、三位數乘法、分數除法、長方形周長和面積計算，這些歷來是我國小學數學教學的強勢內容，而且恰恰是新一輪課改認為“基礎過剩”，應當降低教學要求或者已經刪去的內容。二、小學數學教師本體性知識缺失狀況的調研（一）問卷調查及其結果基于上述由情報研究、案例研究所得出的調研設想，同時也考慮到小學數學教師的學歷已經普遍提高，上海地區40歲以下的教師已基本達到大專及以上學歷。教師本體性知識的數量，相對于小學數學的“一杯水”來說，已夠得上“一桶水”的標準。因

15、此，我們的調研，試圖探明“這桶水”的“水質”如何，其中還缺少哪些“微量元素”。為此，設計了兩種問卷。A卷的內容是小學數學的基本概念、公式及應用題，題目難度控制在至少有20%的小學畢業班學生能答對的水平上；B卷著重考查教師能否應用所擁有的數學知識為小學生釋疑解惑，能否較深入地把握小學數學的教學內容，因此試題都以聽課過程中發現的、教師易犯的知識性錯誤或紕漏為原型加工而成。從試題編制的角度看，這些源于課堂、帶有教學情境的數學題幾乎都具原創性。兩份問卷均經過試測、修改。調研樣本為上海市兩個區（中心城區、城鄉結合區各一個）的部分小學數學教師。樣本的教齡分布、學歷分布與兩區小學數學教師整體的教齡、學歷分布

16、大致相同。A卷的平均答對率（題目得分/總分，下同）90.5%表明，用小學生的較高標準來衡量，教師對本體性知識的掌握是不錯的。這一結果與申繼亮、李瓊（2000）的同類測試結果（答對率都在85%以上）基本一致。B卷的平均答對率38.8%表明，用“能為小學生釋疑解惑”“能較深入地把握小學數學教學內容”的要求來衡量，則現狀與需要的差距較大。兩卷分不同教齡組、不同學歷組的統計表明，平均分略有差異，但經檢驗，組際差異均不顯著。這說明小學數學教師本體性知識的狀況，受教齡長短（即脫離職前教育的時間長短）、學歷高低的影響都不具有統計意義上的差異。也就是說，教師本體性知識方面的問題，至少是在測試內容所涉及的范圍內

17、早已存在，而且沒有因為現階段教師學歷的提高發生根本性的改變。（二）本體性知識缺失的內容分析1.概率統計在小學通常用“可能性”替代數學術語“概率”。將“可能性大小”的初步認識引進小學數學是數學課程改革的趨勢之一。B卷中涉及這一知識的試題，平均答對率34.1%。在新增的概率統計內容中，還有中位數、眾數的初步認識。B卷內有關中位數、眾數的試題，答對率更低，為23.8%。2.圖形變換指平面圖形的全等變換。原來，在小學階段只介紹軸對稱，現在趨向于在小學就引進平移、旋轉。如教育部的數學課程標準將感知軸對稱、平移、旋轉的內容提前到了第一學段（13年級）。8上海市數學課程標準的“征求意見稿”9中，在35年級也

18、安排了軸對稱、平移、旋轉的初步認識，到“試行稿”10該年段只保留了軸對稱的初步認識。B卷中有關平面圖形全等變換的試題，平均答對率為32.5%。其中答對率相對較高的是下面的題：兩個完全一樣（全等）的梯形ABCD和A'B'C'D'，重疊在一起，經過怎樣的幾何變換（只允許平移、旋轉），可以拼成一個平行四邊形？請寫清楚變換的過程：如平移使與重合，以為旋轉中心旋轉度。該題源于小學數學推導梯形面積的常用方法。教師演示時，通常讓學生看清兩張梯形紙片完全重合后，就非常隨意地拿在手上把它們拼成平行四邊形，很少考慮按圖形變換來操作。測試表明，42.0%的被試知道經過怎樣的變換可以拼

19、成平行四邊形，但能準確敘述的只有21.5%。3.幾何證明雖說小學數學不要求證明，但教學中常會遇到一些問題，需要教師判斷其結論的正確性，或者判斷某些特殊的結果是否具有一般性。諸如此類的情況在幾何教學中比較多見。B卷中涉及幾何證明的試題，平均答對率38.1%。4.數論初步指數的整除性。它作為學習分數知識的必要基礎，歷來是小學數學的教學內容。B卷中涉及這方面知識的試題，平均答對率為38.3%。（三）本體性知識缺失的原因分析首先，如前所述，教師本體性知識的缺失至少是在測試內容所及范圍內早已存在，之所以現在暴露得比較明顯，并引起我們的重視，其最主要的背景就是新一輪課程改革的實施。除了數學課程標準內容更新

20、的力度較大之外，更主要的原因是學生的主體性被激活了。本來，教師忠實執行教材，照本宣科，學生的思維相對狹窄，課前預設方案周到些，通常足以應付。現在，課改理念在課堂上得到了體現，學生學習的積極性、主動性不斷增強，加上學生知識的來源渠道更為豐富多樣。于是，學生質疑問難、節外生枝的頻率與教師本體性知識缺失的顯露同步增長。這一原因，實際上也是本研究的現實意義之一。具體而言，以上述調研分析查明的缺失內容分類為線索，通過進一步的深入訪談，以及對近10位不同類型教師的個案研究，我們發現，造成小學數學教師本體性知識缺失的原因主要來自以下幾方面。1.學歷教育數學課程內容的局限性有關資料顯示，概率統計是原中等師范學

21、校數學課程所沒有的內容。20世紀末，小學教師的職前教育由中師提升到了大專、本科。相應的數學課程體系正在逐步形成。前些年，一些學校就是開設概率統計或同類課程，也由于當時的小學數學課程中沒有“可能性”的內容，就連初中數學都不見概率的影子，所以大多以教育統計為主，概率論的教學不被重視。圖形變換在以往的數學課程中，主要是在解析幾何討論坐標變換時出現。原來中等師范學校的數學課程一般不系統講授解析幾何。隨著中師升格大專，有了解析幾何的內容，但一般只講坐標軸的平移。坐標軸的旋轉、極坐標系與極坐標方程（討論圖形旋轉的有力工具之一），常常遭到刪簡。目前小學教師的大專及本科學歷，大多通過在職進修獲得。他們在中師階

22、段獲得的數學知識，無論在數量上，還是質量上，都難與高中畢業生相提并論。以致在職學歷進修選修文科的人數是理科的3倍左右（實際畢業人數更升至4倍左右）。當然還有其他原因，如文科的考試較易及格等，但教師已有數學基礎與大專、本科學習起點之間的差距，是一個非常客觀的重要原因。即使選擇了理科，多數學員主要是依靠死記硬背與模仿解題通過考試的。他們對所學數學知識的理解及其長期效應，可想而知。這也可以作為A、B兩卷不同學歷組的平均分差異不顯著之原因的一種解釋。基于以上分析，可以認為，概率統計與圖形變換知識的缺乏，主要原因是“先天不足”。換句話說，主要是學歷教育數學課程內容的局限性造成的。當然，這是特定時期小學師

23、資職前、職后學歷教育的歷史局限性。2.學歷教育數學素養培養的局限性如果說有些知識缺乏是因為沒有系統學習，那么學過的知識為什么出現大面積缺失呢？特別是某些數學結論遺忘了，作為數學素養保留下來的數學能力，如推理、論證能力為什么亦難以表現出來？這種能力主要是在職前教育階段，在數學課程的學習中形成的。教師的數學能力，從數學教育對學生的培養目標來看，通常認為主要是四種，即計算能力、空間想象能力、應用數學知識解決實際問題的能力以及邏輯思維能力。前三種能力教師在A卷的回答中有不錯的表現。分析B卷的應答情況，就數學能力而言，教師最為缺失的是邏輯思維能力。主要表現為數學知識的理解水平較低，應用數學知識分析、推理

24、、論證能力較弱。可以說B卷絕大多數試題的應答都反映了這兩個問題。在隨后的深入訪談中也得到了印證。進一步分析發現，數學素養的不盡如人意也是教師本體性知識學了等于沒學的重要原因之一。這在教師的課堂教學中也經常有所反映。舉一案例。教師提問：有沒有最大的正整數、最小的負整數？為什么？一個學生回答：沒有，因為再大的正整數，加1還有更大的，再小的負整數，減1還有更小的。教師不置可否，繼續讓其他學生回答。為什么一個從不吝嗇表揚的教師，面對如此出色的回答卻無動于衷呢？因為教師在學生的回答里覺察不到極限思想、序數理論的影子。這里，導致教師教學表現大失水準的原因，與其說是由于某幾個具體數學知識的缺失，不如說是由于

25、數學素養的不足。公允地說，數學能力、素養重視不夠，培養不力，是我國數學教育的老問題，當然師范教育也不例外。3.教師思維的“童化”分析造成教師本體性知識缺失的職后原因，首先進入我們視野的是學習的遺忘。這恐怕是幾何證明與數論初步知識缺失的主要原因。因為相對于概率統計和圖形變換兩個內容來說，幾何證明是初中數學的必學內容，數論初步是師范學校算術基礎理論的重要內容，不存在沒學或精簡、淡化處理的問題。記憶的客觀規律是，遺忘總會發生，甚至可以說沒有遺忘就沒有記憶。問題是與教學內容有關的、不該遺忘的數學知識遺忘了。這里，僅僅是由于長期不用等自然原因，出現了正常的遺忘嗎？分析教師的成長歷程，剛踏上講臺，兒童語言

26、貧乏，也不了解兒童思維。為了搞好教學，經過幾年的努力，豐富了兒童語言，熟悉了兒童思維。表現在備課時、課堂上，能自然而然地想兒童所想了。這是教師勝任小學教育的必由之路。的確，要想深入了解兒童的文化，真正成為他們的學習伙伴，就要進入兒童的世界，像兒童那樣思維，在自己的頭腦里重建兒童的心智。與此同時，教師自身的思維也有可能被兒童同化而“童化”。而且鉆得越深，童化的可能性就越大。11有大量案例支持以上分析。由此我們認為教師本體性知識缺失的職后原因，除了自然遺忘，更重要的是教師思維的“童化”，即伴隨教師重建兒童心智的努力而出現的本體性知識及其思維的退化。類似地，教師數學能力的缺失，除了“先天不足”，也有

27、后天“童化”的原因。三、小學數學教師本體性知識缺失的若干對策（一）調整、充實職前教育數學課程的內容隨著對小學教師學歷要求的提高，師范教育在課程體系、教學內容等方面也進行了一系列改革，但改革的深度和速度似乎仍滯后于基礎教育改革和發展的需要。從教育部2003年頒布的三年制大專小學教育專業課程方案（試行）看，數學課程只有列入專業必修課的“大學數學”（90課時），以及作為數學與科學專業方向選修課的“高等數學基礎”（180課時）和“現代數學概論”（72課時）三門。沒有數學史、數學思想方法論等方面的課程。四年制本科小學教育專業尚無部頒課程方案，各院校的課程設置差異較大。從上海師范大學小學教育系理科方向開設

28、的數學課程看，有“大學數學”（280課時）、“概率與數理統計”（72課時）、“初等數論”（36課時）、“數學史”（36課時），比三年制大專略多一些。其中明顯缺失的是有關幾何的知識，只有“大學數學”第一章“空間解析幾何”講到空間平面為止。這顯然是不夠的。比如，講立體圖形表面的展開，不知道還有包括球面在內的大量曲面是“不可展”的；又如，教學圖形的觀察，滲透三視圖的內容，卻沒有一丁點兒的射影幾何基礎知識。而現實需要是，面對小學數學課程內容的更新與學習要求的變化，只有具備比較寬廣厚實的數學知識基礎，才有可能在以后的教學中“取之左右逢其源”，滿足學生強烈的求知欲和好奇心。為此，一方面，必須基于小學數學新

29、增內容的“一杯水”，調整、充實師范院校數學課程的內容，幫助師范生儲備一桶甚至一缸水。另一方面，為了適應從學科視角高屋建瓴、深入淺出地駕馭小學數學教學內容，以及指導學生進行自主探究學習的需要，還應添加數學思想方法論、數學史、數學文化等方面內容。考慮到目前四年制本科小學教育專業的特殊性，既要兼顧學術性和師范性（這是各種師范專業都要面對的問題），又要適應小學教學工作的實際需要，以致專業方向的學科邊界比其他師范專業更為模糊（這是小學教育專業特有的問題），這些內容不一定都分別開設課程，可以整合到原有的數學課程中去，或者增設一門“高觀點下的小學數學”專業課，將數學思想與方法、數學歷史與文化融入其中。這是一

30、個只需有限課時即可滿足需要的簡捷對策。（二）改進職前教育數學課程的教學方法以往，高師數學教學的普遍現象是關注學術性而輕視師范性。它表現在很多方面。例如，基本沿用綜合大學數學系的基礎課程體系，只作刪簡，缺乏整合；注重數學理論的系統性和結論的嚴謹性，忽視學生的真正理解與意義建構。其必然結果是不少學生學習時一知半解，學習后很快遺忘。現在，經過整合后的“高等數學”“大學數學”，內容精簡了、易學了，但伴隨而來的是數學分支的體系不見了，內容顯得支離破碎。這對學生深入理解所學內容，提高整體把握數學知識結構的能力影響很大。除了需要教材編寫加以改進之外，更多地有賴于教師的教學處理，揭示某一章節內容的局部與整體的關系。作為數學科學，從原名到定義，從公理到定理，一般都是演繹呈現的。它簡練、嚴謹、純粹，顯示了數學的學術形態。作為數學課程，為使學生能夠理解教材內容，必須進行教學法加工，使之轉化成為易于認知的“教學形態”。所謂“師范性”，就是要培養和鍛煉未來的數學教師，學習并善于完成這種轉化工作。這是學術性與師范性統一的重要體現。如果在師范院校的課堂上，教師既重視數學知識的演繹，又不忘數學思想方法的歸納，觀察、實驗、猜想、探索與推理、證明兼顧，則對培養學生的數學眼光，幫助他們形成數學觀點，提高分析問題和解決問題的能力，都將大有裨益。因為榜樣的力量是無窮的，學生耳濡目染，日后自己踏上講臺，就會師