1、不定積分第四章 定積分與不定積分重難點解析（一）.關于原函數與不定積分概念的幾點說明 1. 原函數與不定積分是兩個不同的概念，它們之間有著密切的聯系。對于定義在某個區間上的函數f（x），若存在函數F（x），使得該區間上的每一點x處都有F/（x）=f（x），則稱F（x）是f（x）在該區間上的原函數。而表達式F（x）+C（C為任意常數）稱為f（x）的不定積分。2. f（x）的原來函數若存在，則原函數有無限多，但任意兩個原函數之間相差某個常數。因此求f（x）的不定積分f（x）dx時，只需求出f（x）的一個原函數F（x），再加上一個任意常數C即可，即f（x）dx = F（x）+C。3. 原函

2、數F（x）與不定積分f（x）dx是個體與全體的關系，F（x）只是f（x）的某個原函數，而f（x）dx是f（x）的全部原函數，因此一個原函數只是加上任意常數C后，即F（x）+C才能成為f（x）的不定積分。例如x2 + 1，x2-3，x2+12都是2x的原函數，但都不是2x的不定積分，只有x2 + C才是2x的不定積分（其中C是任意常數）。4. f（x）的不定積分f（x）dx中隱含著積分常C，因此計算過程中當不定積分號消失后一定要加上一個任意的常數C。5. 原函數存在的條件：如果函數f（x）在某區間上連續，則在此區間上f（x）的原函數一定存在。由于初等函數在其定義域區間上都是連續的，所以初等函數在

3、其定義區間上都有原函數，值得注意的是，有些初等函數的原函數很難求出來，甚至不能表為初等函數，例如下列不定積分 dx  都不能“積”出來，但它們的原函數還是存在的。 （二）換元積分法的幾點說明換元積分法是把原來的被積表達式做適當的換元，使之化為適合基本積分公式表中的某一形式，再求不定積分的方法。1.     第一換元積分法（湊微分法）：根據一階微分形式的不變性，若 dF（u）=f（u）du 則 dF（u（x）=f（u）du利用不定積分與微分的互逆關系，可以把它轉化為不定積分的換元公式：fu（x）du（x）= f（u）du （ 令u = u（x）

4、= F（u）+ C （ 求積分） = F（u（x）+ C （ 令 u = u（x） 在具體問題中，湊微分要根據被積函數的形式特點靈活運用。 2.     第二換元積分法：令x=（x），常用于被積函數含 或 等形式。3. 同一個不定積分，往往可用多種換元方法求解，這時所得結果在形式可能不一致，但實質上僅相差一常數，這可通過對積分結果進行導運算來驗證。（三）關于積分形式不變性如果f（x）dx=F（x）+C，那么有f（u）du=F（u）+C，其中u =（x）是x的可微函數。這個道理說明：（1）.積分變量x無論是自變量，還是中間變量，積分公式的形式不變，這一特性

5、叫做積分形式不變性。 （2）.根據這個定理，基本積分公式中的x既可以看作是自變量，也可以看作是函數（可微函數），因此基本積分公式中的公式應用范圍就擴大了。 （四）分部積分法設u=u（x），v=v（x）是可微函數，且u/（x）v（x）或u（x）v/（x）有原函數，則有分部積分公式：u（x）v/（x）dx=u（x）v（x）-v（x）u/（x）dx或 udu = uv - vdu當被積分函數是兩個函數的乘機形式時，如果用以前的方法都不易計算，則可考慮用分部積分法求解。顯然，用分部積分法計算不定積分時，關鍵是如何恰當的選擇誰做u，誰做v/。如果選擇不當，就有可能求不出積分的結果或者計算很困難

6、，一般說來選擇u和v/的原則是：1. 根據v/容易求出v； 2. vu/dx要比u v/dx容易計算。 （五）關于定積分的定義9 由定積分的定義可以看出，定積分是一個數值，這個數值與被積函數f（x）及積分區間a，b有關，與區間a，b的分法和點的取法無關，而且與積分變量用什么字母也無關，所以有f（x）dx= f（t）dt = f（u）du函數f（x）在a，b上可積的條件與f（x）在a，b上連續或可導的條件相比是最弱的條件，即f（x）在a，b上有以下關系： 可導 連續 可積反之都不一定成立 （六）有關定積分的性質 在定積分的性質中，除了類似于不定積分的線性性質以外，還要記住下列基本公式：

7、 f（x）dx = - f（x）dx  f（x）dx=0 1dx = b- a 定積分關于積分的區間的 可加性是一個很重要并且在計算定積分時常用的性質，即， f（x）dx + f（x）dx = f（x）dx  （七）關于牛頓- 萊布尼茨公式  牛頓-萊布尼茨公式不僅在定積分這部分內容中，而且在整個微積分學中都是一個重要的結論，主要表現在以下方面：1. 當被積函數連續時定積分的計算可通過求原函數來進行：若F（x）是f（x）的一個原函數，則 f（x）dx =F（b）- F（a） 因此這個公式揭示了定積分與不定積分的本質聯系。這種本質的聯系還可以由下

8、列兩個公式來闡明：  f（x）dx = f（x） f（t）dt = f（x） （八） 換元積分法的運用  定積分的換元法與不定積分的換元法類似，差別在于：在定積分的換元積分法中，每進行一次變量替換，同時要將定積分的上下限做相應的改變，而在關于新的積分變量的原函數求出后，不要將新的變量解換成舊積分變量。 （九） 定積分的應用 定積分的幾何應用：記住面積、弧長和旋轉體積的計算公式。對于面積的問題，選擇合適的積分變量，有時可簡化計算；對于弧長問題，要先計算 ；對 于旋轉體積問題，要分清是繞軸OX還是繞OY軸旋轉。 （十）關于廣義的

9、積分 廣義積分是定積分的推廣，以無窮積分為例，我們知道  f（x）dx = f（x）dx 要記住 的收斂性。  在計算收斂的廣義積分時也有類似于牛頓-萊布尼茨公式的計算式，即若F（x）是f（x）的一個原函數，則  f（x）dx = F（x） = F（+）- F（a） 其中F（+）表示極限 F（b），如果此極限存在，則廣義積分收斂，且即可由此求出其值，如果此極限不存在，則廣義積分發散。在求廣義積分的值時，也有與定積分類似的換元積分法和分部積分法。三角函數求導公式  (sinx)' = cosx(cosx)' = - si

10、nx(tanx)'=1/(cosx)2=(secx)2=1+(tanx)2-(cotx)'=1/(sinx)2=(cscx)2=1+(cotx)2(secx)'=tanx·secx(cscx)'=-cotx·cscx(arcsinx)'=1/(1-x2)1/2(arccosx)'=-1/(1-x2)1/2(arctanx)'=1/(1+x2)(arccotx)'=-1/(1+x2)(arcsecx)'=1/(|x|(x2-1)1/2)(arccscx)'=-1/(|x|(x2-1)1/2)(si

11、nhx)'=coshx(coshx)'=sinhx(tanhx)'=1/(coshx)2=(sechx)2(coth)'=-1/(sinhx)2=-(cschx)2(sechx)'=-tanhx·sechx(cschx)'=-cothx·cschx(arsinhx)'=1/(x2+1)1/2(arcoshx)'=1/(x2-1)1/2(artanhx)'=1/(x2-1) (|x|<1)(arcothx)'=1/(x2-1) (|x|>1)(arsechx)'=1/(x(1-

12、x2)1/2)(arcschx)'=1/(x(1+x2)1/2) 21、兩角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB   sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB   cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB  tan(A+B) =tanAtanB-1tanBtan

13、A+    tan(A-B) =tanAtanB1tanBtanA+- cot(A+B) =cotAcotB1-cotAcotB+    cot(A-B) =cotAcotB1cotAcotB-+ 2、倍角公式 tan2A =Atan12tanA2-    Sin2A=2SinACosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 3、

14、半角公式 sin(2A)=2cos1A-   cos(2A)=2cos1A+ tan(2A)=AAcos1cos1+-   cot(2A)=AAcos1cos1-+   tan(2A)=AAsincos1-=AAcos1sin+ 4、誘導公式  sin(-a) = -sina    cos(-a) = cosa sin(2p-a) = cosa&#

15、160;   cos(2p-a) = sina    sin(2p+a) = cosa  cos(2p+a) = -sina sin(-a) = sina   cos(-a) = -cosa   sin(+a) = -sina   cos(+a) = -cosa tgA=tanA =aacossin 5、萬能公式 sina=2)2(tan12tan2aa+    cosa=22)2(tan1)2(tan1aa+-    tana=2)2(tan12tan2aa- 6、其他非重點三角函數 csc(a)