1、習題二(A類)1.設 a i = (1 , 1 , 0) , a 2 = (0 , 1 , 1) , a 3= (3 , 4, 0).求 a 1- a 2及3 a i+2 a 2- a 3. 解：a 1- a 2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3a 1+2 a 2- a 3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)10) , a 32. 設3( a 1- a)+2( a 2+ a )= 5( a3+ a )，其中a 1 = (2 , 5, 1 , 3) , a2 =(10 , 1, 5,=(4 , 1, -1 ,1).求 a .解：由 3 (a 1-a

2、) +2( a 2+a )=5(a 3+ a )1 1整理得：a =6(3 a 計2 a 2-5 a 3),即a =6 (6,12,18,24)=(1,2,3,4)3. ( 1)X(2)X(3)V(4)X(5)X4. 判別下列向量組的線性相關性.(1)a 1=(2,5),a2=(-1,3);a 1=(1,2),a 2=(2,3),a 3=(4,3)；a 1=(1,1,3,1),a 2=(4,1,-3,2),a 3=(1,0,-1,2)；a 1=(1,1,2,2,1),a 2=(0,2,1,5,-1),a 3=(2,0,3,-1,3),a 4=(1,1,o,4,-1).解：（1）線性無關；（2）

3、線性相關；（3）線性無關；（4 ）線性相關5.設a 1, a 2, a 3線性無關，證明：a 1 , a 1 + a 2, a 1+ a 2 + a 3也線性無關證明:設k1 1k2( 12)k3( 123)0,即(k1k2k3)1( k2k3)2k3 30.由172 73線性無關，有k1k2k30,k2k30,k30.所以k1k2k30,即仆12,123線性無關.6. 問a為何值時，向量組111(1,2,3)', 2 (3, 1,2)', 3 (2,3, a)線性相關，并將3用132A213解：32a仆2線性表示.7（5 a）,當a=5時,7. 作一個以(1 , 0, 1,

4、0)和(1 , -1 , 0, 0)為行向量的秩為4的方陣.解：因向量(1,0,0,0) 與(1,0,1,0 )和(1,-1,0,0) 線性無關,所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個行向量，因(1,0,0,1 )與(1,0,1,0)，( 1,-1，0，0)，( 1,0，10 101 1 0 010 0 00，0)線性無關，所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個行向量所以方陣可為 1001 .8.設 仆2丄，s的秩為r且其中每個向量都可經仆2丄，r線性表出.證明：仆2丄，r為1! 2丄，s的一個極大線性無關組.【證明】若1, 2丄,r(1)線性相關，且不妨設1, 2丄，t( t <r)(

5、2)是(1)的一個極大無關組，則顯然(2)是11 2丄,s的一個極大無關組， 這與 “ 2丄，S的秩為r矛盾，故2丄,r必線性無關且為1,2丄，s的一個極大無關組9.求向量組1:=(1,1,1,k),2=(1,1, k,1),3=(1,2,1,1)的秩和一個極大無關組【解】把1,2,3按列排成矩陣A,并對其施行初等變換.111111 11 1111112001 00 10k 10A1k10k 10 0k 10001k1101 k1 k001 k000當k=1時，11 2，3的秩為2> 1> 3為其一極大無關組.當kz 1時，仆2，3線性無關，秩為3，極大無關組為其本身.10確定向量

6、 3(2, a,b),使向量組 1(1,1,0), 2(1-1'1)' 3與向量組 1=(0,1,1),2 :=(1,2,1),3=(1,0,1)的秩相同，且3可由仆2，3線性表出解由于011120A(1, 2,3)120011 ;111000112112B(1, 2,3)11a01b ,01b00 a2而R(A)=2,要使 F(A)=F(B)=2,需a 2=0,即a=2,又1 ,2 ,3,3)1要使3可由n 213線性表出，需ba+2=0,故a=2, b=0時滿足題設要求，即 3 =(2,2,0).11.求下列向量組的秩與一個極大線性無關組(1) a !=(1,2,1,3),

7、 a 2=(4,-1,-5,- 6), a 1 = (6 , 4 , 1 , -1 , 2) , a 2= (1 , 0 , -1 , 3)；(3) a 1 = (1 , -1 , 2 , 4) , a 2= (0 , 3 , =(2 , 1 , 5 , 6).解: (1)a 3=(1,-3,-4,-7);0 , 2 , 3 , -4) , a 3= (1 , 4 , -9 , -6 , 22) , a 4= (7 , 1 ,1 , 2) , a 3= (3 , 0, 7, 14) , a 4= (1 , -1 , 2 , 0), a 5把向量組作為列向量組成矩陣A,應用初等行變換將A化為最簡

8、形矩陣B,則111810可知：R(A) 同的線性組合關系, 組.(2)=R (B)故與B對應的A的第=2,959 B00B的第1 , 2列線性無關，由于A的列向量組與1,B的對應的列向量有相2列線性無關，即a 1, a 2是該向量組的一個極大無關61 170 -1 1 5571 2 -9 040 4108 4010 - 11 55 712 -9012 -900 -8 40 113 -6105 -15 -10 5 -15-124 22308 40 10 0 0 01 2 -900 1 -57» -1 2 -9010 0 0同理,-5 00 1 0 00 10 0 0 -0 010 00

9、 0 1 011450 0 101124110 0 0 0可知R( A )=R(B)=4, A的4個列向量線性無關，即a 1, a 2, a 3, a 4是該向量組的極大無關組 同理，1 0 3 1 21 03 1 21 03 1 21 03 1 2-1 3 0 -1 10 33 0 30 11 0 10 11 0 12 1 7 2 50 11 0 10 00 -4 -40 00 1 142 14 060 22 -4 -20 00 0 00 00 0A可知R( A )=R(B)=3,取線性無關組a 1, a 3, a 5為該向量組的一個極大無關組12.求下列向量組的一個極大無關組(1)解：,并

10、將其余向量用此極大無關組線性表示=(-1,1,-1,3), a 3=(5,-2,8,-9), a 4=(-1,3,1,7);a 2=(1,- 1,1,1), a 3=(1,3,3,5),a 4=(4,- 2,5,6), a :a 1=(1,1,3,1), a 2a 1=(1,1,2,3), a 2=(1,- 1,1,1), a 3=(1,3,3,5),a(1)以向量組為列向量組成A ,應用初等行變換化為最簡形式5=(-3,-1,-5,-7).1-1 5 -111 -2 33 -1 8 11 3 -9 71 -1 5 -11 -1 5 -10 2 -7 40 2 -7 40 4 -14 8X1X

11、25XX223為X283設 a 3=X1 a 1+X2 a2,即X13x29解得X1,X22XX21XX233%X21設 a 4=X3 a 1+X4 a2,即X3x27解得,x11,x2237a3Ta1a2,a4a12a2.所以221 11 4 -311 1 4 -31 - 13 -2-10 -2 2 -6 2A2 13 5 -50 -1 1 -3 1可知,a 1,7235 6 -70 -2 2 -6 21aa1、(2)同理,可知，a 2為向量組的一個極大無關組2可作為A的一個極大線性無關組，令a1X2可得:X2可得:X2X23即 X1=2,X 2=-1,令 a 4=X3 a 1+X4 a 2

12、,42即 X1 = 1,X 2=3,令 a 5=X5 a 1+X6 a 2,270 1 -20 0 0 03=X1 a2 1 -2-1 3 -11+X2 a 2x1 x23可得：Xx21 即 X1=-2,X 2=-1,所以 a 3=2 a 1- a 213. 設向量組 1, 2,L , m 與 證明 1, 2 ,L , m 與 1, 2 ,L【解】設向量組1, 2,L , m與向量組1, 2,L , s的極大線性無關組分別為1, 2,L , r和1, 2,L , r由于（ 1）可由（ 2）線性表出， 表出，即1，2丄，s秩相同且 1，2丄，m能經1, s 等價 .（1）（2）（3）（4）那么（

13、 1）也可由（ 4）線性表出，從而（ 3）2,L , s 線性表出可以由（ 4）線性aij jj1(i 1,2,L ,r).a 4= a i+3 a 2, a 5=-2 a 1- a 2因（4）線性無關，故（3）線性無關的充分必要條件是| |豐0,可由（*）解出j（ j 1,2丄，r）, 即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價，再由它們分別同（ 1），（2）等價， 所以（1）和（2） 等價14. 設向量組a 1, a 2,a s的秩為r 1,向量組B 1, 3 2,3 t的秩為r 2,向量組a 1, a 2,a s, 3 1, 3 2,3 t的秩為r 3,試證：maxr 1,r 2 <

14、 r3< r1+r 2.證明：設a s1,，Sr1為a 1, a 2,，a s的一個極大線性無關組，3 “，3 t2,tr2為3 1,3 2,3 t的一個極大線性無關組 .1,，r：3為a 1, a 2,，a s, 3 1,3 2,，3 t的一一個極大線性無關組，則as1,，和3 t1，3 tr2可分別由1 1，r3線性表示，所以，r1<r3, r2<3即maxm,r 2 < r3，又1 1,，r3可由 a s1,，a 訥，3“，3 催線性表示及線性無關性可知：r3< n+r2.15. 已知向量組 a1=（1,a,a,a）' , a 2=（a,1,a, a

15、）' , a3=（a, a,1, a）' , a4=（a, a, a,1）'的秩為 3,試確定a的值.解：1以向量組為列向量,組成矩陣A,用行初等變換化為最簡形式：aaa1aaa13a a aaa1aaa-11 a 0 001-a 00aa1aa-10 1- a0001-a0aaa1a-10 0 1-a000 1-a1由秩A=3.可知az 1,從而1+3a=0,即a=- 3 .16.求下列矩陣的行向量組的一個極大線性無關組2531174311221759453132021517594541342031325322048 ；(2)11041(1)123【解】(1)矩陣的行

16、向量組4的一個極大無關組為2，3；123(2)矩陣的行向量組4的一個極大無關組為11 2, 4.17.集合 V = ( X1，X2丄,Xn)| X1,x2 丄 1 Xn R且 X1 x2 LXn =。是否構成向量空間？為什么？【解】由(0,0,0 ) V 知 V 非空，設(X1,X2 丄，Xn)(y1,y2 丄，yn) V2,k R)則(X1 y1,X2 Y2,L ,Xn Yn)k(kXj,kx2,L ,kxn).因為(X1%)(X2 Y2)L(XnYn)(X1X2LXn)(Y1Y2LYn)0,kx1kx2LkXnk(x1X2LXn)0所以V1,kV1,故V1是向量空間18. 試證：由1(1,

17、1,0), 2 (1,0,1), 3(0,1,1),生成的向量空間恰為R3.【證明】把 1- 2, 3排成矩陣A=( 1- 2, 3),貝U110A1012 0011所以1! 2, 3線性無關，故 仆2, 3是戌的一個基，因而仆2, 3生成的向量空間恰為 R5.19. 求由向量 1(1,2,1,0), 2(1,1,1 2), 3 (3,4,3, 4), 4(1,1,2,1), 5(4,5,6, 4)所生的向量空間的一組基及其維數.【解】因為矩陣A ( 1, 2, 3, 4, 5)1131411314113142141501213012131132600012000120241402414000

18、00. 1 , 2 ,4 是一組基，其維數是3維的.20. 設 1(1,1,0,0),2 (1,0,1,1),1(2,1,3,3),2(0,1,1,1),證明:L( 1, 2)L(1, 2) .解】因為矩陣A ( 1,12,11,22)0112010110131,01310000,01310000由此知向量組1,2 與向量組1,2的秩都是 2，并且向量組 1, 2可由向量組 1, 2線性表出由習題 15知這兩向量組等價，從而1,2 也可由 1, 2 線性表出 . 所以L( 1, 2) L( 1, 2) .321.在R中求一個向量，使它在下面兩個基(1) 1 (1,0,1), 2 ( 1,0,0

19、) 3 (0,1,1) (2) 1 (0, 1,1), 2 (1, 1,0) 3 (1,0,1) 下有相同的坐標 .【解】設在兩組基下的坐標均為( x1,x2,x3) ，即x1x1( 1,2,3) x2(1, 2,3) x2 ,x3x3110x1011x1001x2110x2101x3101x3即121x1111x20,000x3求該齊次線性方程組得通解x1k,x22k,x33k (k為任意實數)Xi 1X2 2 X3 3(k,2k, 3k).2(9,8, 13)用這個基線性表示.解:】設A(1,2,3 ),B ( 1,2),又設1X11 1X212X31 3,2X12 1X222X3235即

20、X11X12(1,2 )(1, 2,3) X21X22 ,X31X32記作B=AX則1 23 5912359(AMB)1 11 0118r2 "034s15170 32 713031271312359100222.驗證 1(1, 1,0), 2(2,1,3), 3(3,1,2)為 R3的一個基，并把1(5,0,7),03 27130103>00 2240 0 1 1因有AE,故1,2 ,3為R5的一個基,且23(1,2)(1 , 2,3) 33 ,12即121323, 23 13 22 3r2 r3r2 r332(B類)1. A2. B3. C4. D5. a=2, b=46. abcz 0 7.設向量組a 1, a 2, a 3線性相關，向量組a 2, a 3, a 4線性無關，冋：(1) a 1能否由a 2, a 3線性表示？證明你的結論. a 4能否由a 1, a 2, a 3線性表示？證明你的結論.解： 由向量組a 1 ,a 2,a 3