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文檔簡介

1、高三必過關題9 立體幾何一、填空題例1給出下列命題:棱柱的側棱都相等,側面都是全等的平行四邊形;用一個平面去截棱錐,棱錐底面與截面之間的部分是棱臺;若三棱錐的三條側棱兩兩垂直,則其三個側面也兩兩垂直;存在每個面都是直角三角形的四面體;棱臺的側棱延長后交于一點其中正確命題的序號是_ 【答案】: 【提示】考點:空間幾何體的結構特征不正確,根據(jù)棱柱的定義,棱柱的各個側面都是平行四邊形,但不一定全等;不正確,用平行于棱錐底面的平面去截棱錐,棱錐底面與截面之間的部分才是棱臺;正確,若三棱錐的三條側棱兩兩垂直,則三個側面構成的三個平面的面角都是直二面角;正確,如正方體AC中的四棱錐CABC,四個面都是直角

2、三角形;正確,由棱臺的概念可知例2給出下列命題:若平面內的直線與平面內的直線為異面直線,直線是與的交線,那么直線至多與、中的一條相交;若直線與為異面直線,直線與平行,則直線與異面;一定存在平面和異面直線、同時平行;若直線、異面,、異面,則、異面其中正確命題的序號是_【答案】:【提示】考點:空間兩直線的位置關系錯,可以與、均相交;錯,因為與可能相交;對,可以將兩異面直線與平移到空間內任意一點處,確定一個平面,該平面可以與、同時平行,并且這樣的平面有無數(shù)多個錯,、的位置關系可以平行、相交、異面。例3與正方體的三條棱、所在直線的距離相等的點有 個 【答案】:無數(shù)個【提示】:本題考查了空間想象能力.到

3、三條兩垂直的直線距離相等的點在以三條直線為軸,以正方體邊長為半徑的圓柱面上,三個圓柱面有無數(shù)個交點.例4過正方體的頂點A作直線L,使L與棱,所成的角都相等,這樣的直線L可以作 條【答案】:4條【提示】:考查空間感和線線夾角的計算和判斷,重點考查學生分類、劃歸轉化的能力。第一類:通過點A位于三條棱之間的直線有一條體對角線AC,第二類:在圖形外部和每條棱的外角和另2條棱夾角相等,有3條,合計4條。 例5如圖,是平面的斜線段,為斜足若點在平 面 內運動,使得的面積為定值,則動點的軌跡是_(填“圓”“橢圓”“一條直線”“兩條平行直線”)【答案】:橢圓【提示】考點:截面問題及空間想象能力考慮到三角形面積

4、為定值,底邊一定,從而P到直線AB的距離為定值,若忽略平面的限制,則P軌跡類似為以AB為軸的圓柱面,加上后者平面,軌跡為圓柱面與平面的交集,軌跡為橢圓。例6一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側棱上,已知正三棱柱的底面邊長為2,則該三角形的斜邊長為_【答案】: 【提示】:如圖所示,以為直角頂點,為另兩頂點,作于,作于F,過C作于G,由條件可設,在中,所以2(4)44,解得2,故2.例7棱長為a的正四面體(側棱長等于底面邊長的正三棱錐)ABCD的四個頂點均在同一個球面上,則此球的半徑R_【答案】:a【提示】考點:相關組合體的轉化和計算,借助球內接正方體 例8一個圓臺的母線長為12 c

5、m,兩底面面積分別為4 cm和25 cm,則(1)圓臺的高為 ;(2)截得此圓臺的圓錐的母線長為 【答案】: ;20【提示】考點:有關柱、錐、臺、球的計算 例9如圖,已知三棱錐ABCD的底面是等邊三角形,三條側棱長都等于1,且BAC30°,M、N分別在棱AC和AD上,則 BMMNNB的最小值為 【答案】: 【提示】考點:多面體(旋轉體)表面上兩點間的最短路徑與展開圖將三棱錐ABCD的側面沿AB展開在同一平面上,如圖所示例10正三棱錐中,分別是棱上的點,為邊的中點,則三角形的面積為 【答案】:【提示】考點:線面垂直關系的應用由為邊的中點得,又得且交于點,另由,可求得為的中點,從而,則的

6、面積為。例11已知正四棱錐中,那么當該棱錐的體積最大時,則高為 【答案】:2【提示】考點:函數(shù)思想解決最值問題考察錐體的體積,考察函數(shù)的最值問題.設底面邊長為a,則高所以,設,則,當y取最值時,解得或時,體積最大,此時。例12已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上,當正六棱柱的體積最大(柱體體積=底面積高)時,其高的值為 【答案】:【提示】考點:截面圖的應用及函數(shù)思想解決最值問題以正六棱柱的最大對角面作截面,如圖。設球心為,正六棱柱的上下底面中心分別為,則是的中點。設正六棱柱的底面邊長為,高為,則。正六棱柱的體積為,即,則,得極值點,不難知道這個極值點是極大值點,也是最大值點。故當正

7、六棱柱的體積最大,其高為。例13 圓錐的全面積為,側面展開圖的中心角為,則該圓錐的體積為 【答案】:【提示】考點:展開圖及相關公式運用的考查 例14將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起,使BDa, 則三棱錐D-ABC的體積為_【答案】:【提示】考點:圖形的翻折和錐體體積的計算 例15如圖,在多面體中,已知是邊長為1的正方形,且均為正三角形,=2,則該多面體的體積為 【答案】:【提示】考點:空間幾何體體積的計算過兩點分別作垂直于,垂足分別為、,連結、,可證得、,多面體分為三部分,多面體的體積為,作NH垂直于點H,則H為BC的中點,則, , ,例16如圖是一幾何體的平面展開圖,其中四邊ABC

8、D為正方形,E、F分為PA、PD的中點,在此幾何體中,給出下面四個結論:直線BE與直線CF是異面直線;直線BE與直線AF是異面直線;直線EF平面PBC;平面BCE平面PAD.其中正確結論的序號是_【答案】:【提示】考點:空間點線面的位置關系結合圖形的翻折進行考查 由EFADBC,知BE、CF共面,錯;正確;正確;錯 例17已知是三個不同的平面,命題“”是真命題如果把中的任意兩個換成直線,另一個保持不變,在所得的所有新命題中,真命題有 個 【答案】: 2【提示】考點:空間線面關系的考查 例18設m,n是平面內的兩條不同直線;,是平面內的兩條相交直線,有下列四個命題:m且 ; m且n;m且n ;

9、m且n. 其中是成立的充分而不必要條件的命題的序號是_【答案】: 【提示】考點:面面平行的位置關系結合充要條件的考查 例19設m、n是異面直線,則(1)一定存在平面,使m且n; (2)一定存在平面,使m且n;(3)一定存在平面,使m、n到的距離相等;(4)一定存在無數(shù)對平面與,使m,n,且. 上述4個命題中正確命題的序號為_【答案】:【提示】考點:點、線、面位置關系相關知識點的考查 例20.如圖,在三棱錐中,三條棱兩兩垂直,且>>,分別經(jīng)過三條棱作一個截面平分三棱錐的體積,截面面積依次為則的大小關系為 【答案】:【提示】考點:棱錐的結構特征和轉換思想通過補形,借助長方體驗證結論,特

10、殊化,令棱長為1,2,3,得結論二、解答題例21如圖,已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內,M,N分別為AB,DF的中點(1)若CD2,平面ABCD平面DCEF,求MN的長;(2)用反證法證明:直線ME與BN是兩條異面直線【提示】考點:空間線面關系及反證法(1)取的中點,連結, 因為ABCD,DCEF為正方形,且邊長為2,所以MGCD,MG2,NG.因為平面ABCD平面DCEF,所以MG平面DCEF.可得MGNG.所以(2)證明:假設直線ME與BN共面,則AB平面MBEN,且平面MBEN與平面DCEF交于EN. 由已知,兩正方形不共面,故AB平面DCEF,又ABCD,所以AB平面DC

11、EF而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線,所以ABEN. 又ABCDEF,所以ENEF,這與ENEFE矛盾,故假設不成立所以ME與BN不共面,它們是異面直線例22如圖,為空間四點在中,等邊三角形以為軸運動()當平面平面時,求;()當轉動時,是否總有?證明你的結論【提示】考點:面面垂直的性質及空間想象能力()取的中點,連結,,因為是等邊三角形,所以當平面平面時,因為平面平面,所以平面,可知由已知可得,在中,()當以為軸轉動時,總有證明如下()當在平面內時,因為,所以都在線段的垂直平分線上,即()當不在平面內時,由()知又因,所以又為相交直線,所以平面,由平面,得綜上所述,總有 例23如圖,四

12、邊形ABCD為矩形,BC平面ABE,F(xiàn)為CE上的點,且BF平面ACE(1)求證:AEBE;(2)設點M為線段AB的中點,點N為線段CE的中點,求證:MN /平面DAE【提示】:考點:線面垂直、線面平行的性質和判定的應用(1)因為BC平面ABE,AE平面ABE,所以AEBC,又BF平面ACE,AE平面ACE,所以AEBF,又BFBC=B,所以AE平面BCE,又BE平面BCE,所以AEBE(2)如圖所示,取DE的中點P,連結PA,PN,因為點N為線段CE的中點所以PN/DC,且,又四邊形ABCD是矩形,點M為線段AB的中點,所以AM/DC,且,所以PN/AM,且PN=AM,故四邊形AMNP是平行四

13、邊形,所以MN/AP,又AP平面DAE,MN平面DAE,所以MN/平面DAE例24如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC,AB=,CE=EF=1()求證:AF/平面BDE;()求證:CF平面BDE【提示】:考點:面面垂直的性質和判定、線面平行的判定()設AC于BD交于點G。因為EFAG, 且EF=1,AG=AC=1 所以四邊形AGEF為平行四邊形, 所以AFEG,因為EG平面BDE, AF平面BDE, 所以AF平面BDE()連接FG,因為EFCG,EF=CG=1, 且CE=1, 所以四邊形CEFG為菱形。所以CFEG. 因為四邊形ABCD為正方形,所以BDAC.又因

14、為平面ACEF平面ABCD, 且平面ACEF平面ABCD=AC,所以BD平面ACEF. 所以CFBD.又BDEG=G, 所以CF平面BDE.例25如圖甲,直角梯形ABCD中, 的中點,在上,且已知,現(xiàn)沿把四邊形折起如圖乙,使平面平面 (1) 求證:平面;(2) 求證:平面;(3) 求三棱錐的體積 【提示】:考點:借助平面的翻折考察線面平行與垂直(1)由題意知,面,同理,面又,面, 面,面面面 面 (2)在圖甲中,,所以在圖乙中 .平面平面,平面平面平面ABEF,又平面(3)平面平面,,平面,AF為三棱錐A-CDE的高且,又AB=CE=2, ,例26如圖,四邊形ABCD中,ADBC,ADAB,B

15、CD45°,BAD90°,將ABD沿對角線BD折起,記折起后點的位置為P,且使平面PBD平面BCD,如圖.(1)求證:平面PBC平面PDC;(2)在折疊前的四邊形ABCD中,作AEBD于E,過E作EFBC于F,求折起后的圖形中PFE的正切值【提示】考點:借助平面的翻折考察面面垂直的性質和判定(1) 證明:折疊前,在四邊形ABCD中,ADBCADAB,BAD90°,所以ABD為等腰直角三角形又BCD45°,所以BDC90°.折疊后,因為面PBD面BCD,CDBD,所以CD面PBD.又因為PB 面PBD,所以CDPB.又因為PBPD,PDCDD,所

16、以PB面PDC.又PB面PBC,故平面PBC平面PDC.(2) AEBD,EFBC,折疊后的位置關系不變,所以PEBD.又面PBD面BCD,所以PE面BCD,所以PEEF.設ABADa,則BDa,所以PEaBE.RtBEF中,EFBE·sin45°a×a; RtPFE中,tanPFE例27(理)如圖所示,在正方體ABCDABCD中,E是棱DD的中點(1)求直線BE和平面ABBA所成的角的正弦值;(2)在棱CD上是否存在一點F,使BF平面ABE?證明你的結論【提示】考點:利用空間向量求空間角及存在性問題設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1.如圖所示,以為單位正

17、交基底建立空間直角坐標系(1)依題意,得B(1,0,0),E(0,1,),A(0,0,0),D(0,1,0),所以(1,1,),(0,1,0)在正方體ABCDA1B1C1D1中,因為AD平面ABB1A1,所以是平面ABB1A1的一個法向量,設直線BE和平面ABB1A1所成的角為,則sin.即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為.(2)依題意,得(0,0,1),(1,0,1),(1,1,)設(x,y,z)是平面A1BE的一個法向量,則由·0,·0,得所以xz,yz. 取z2, 得(2,1,2)設F是棱C1D1上的點,則F(t,1,1)(0t1),又B1(1,0,1),所以(t1,1,0)而B1F平面A1BE,于是B1F平面A1BE·0(t1,1,0)·(2,1,2)02(t1)10tF為C1D1的中點這說明在棱C1D1上存在點F (C1D1的中點),使B1F平面A1BE例28(理)

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