1、高三必過關題9 立體幾何一、填空題例1給出下列命題：棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形；用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺；若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直；存在每個面都是直角三角形的四面體；棱臺的側棱延長后交于一點其中正確命題的序號是_ 【答案】： 【提示】考點：空間幾何體的結構特征不正確，根據棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不一定全等；不正確，用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分才是棱臺；正確，若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則三個側面構成的三個平面的面角都是直二面角；正確，如正方體AC中的四棱錐CABC，四個面都是直角

2、三角形；正確，由棱臺的概念可知例2給出下列命題：若平面內的直線與平面內的直線為異面直線，直線是與的交線，那么直線至多與、中的一條相交；若直線與為異面直線，直線與平行，則直線與異面；一定存在平面和異面直線、同時平行；若直線、異面，、異面，則、異面其中正確命題的序號是_【答案】：【提示】考點：空間兩直線的位置關系錯，可以與、均相交；錯，因為與可能相交；對，可以將兩異面直線與平移到空間內任意一點處，確定一個平面，該平面可以與、同時平行，并且這樣的平面有無數多個錯，、的位置關系可以平行、相交、異面。例3與正方體的三條棱、所在直線的距離相等的點有 個 【答案】：無數個【提示】：本題考查了空間想象能力.到

3、三條兩垂直的直線距離相等的點在以三條直線為軸，以正方體邊長為半徑的圓柱面上，三個圓柱面有無數個交點.例4過正方體的頂點A作直線L，使L與棱,所成的角都相等，這樣的直線L可以作 條【答案】：4條【提示】：考查空間感和線線夾角的計算和判斷，重點考查學生分類、劃歸轉化的能力。第一類：通過點A位于三條棱之間的直線有一條體對角線AC，第二類：在圖形外部和每條棱的外角和另2條棱夾角相等，有3條，合計4條。 例5如圖，是平面的斜線段，為斜足若點在平 面 內運動，使得的面積為定值，則動點的軌跡是_(填“圓”“橢圓”“一條直線”“兩條平行直線”)【答案】：橢圓【提示】考點：截面問題及空間想象能力考慮到三角形面積

4、為定值，底邊一定，從而P到直線AB的距離為定值，若忽略平面的限制，則P軌跡類似為以AB為軸的圓柱面，加上后者平面，軌跡為圓柱面與平面的交集，軌跡為橢圓。例6一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側棱上，已知正三棱柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為_【答案】： 【提示】：如圖所示，以為直角頂點,為另兩頂點，作于，作于F，過C作于G，由條件可設，在中，所以2(4)44，解得2，故2.例7棱長為a的正四面體(側棱長等于底面邊長的正三棱錐)ABCD的四個頂點均在同一個球面上，則此球的半徑R_【答案】：a【提示】考點：相關組合體的轉化和計算，借助球內接正方體 例8一個圓臺的母線長為12 c

5、m，兩底面面積分別為4 cm和25 cm，則(1)圓臺的高為 ；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長為 【答案】： ；20【提示】考點：有關柱、錐、臺、球的計算 例9如圖，已知三棱錐ABCD的底面是等邊三角形，三條側棱長都等于1，且BAC30°，M、N分別在棱AC和AD上，則 BMMNNB的最小值為 【答案】： 【提示】考點：多面體(旋轉體)表面上兩點間的最短路徑與展開圖將三棱錐ABCD的側面沿AB展開在同一平面上，如圖所示例10正三棱錐中，分別是棱上的點，為邊的中點，則三角形的面積為 【答案】：【提示】考點：線面垂直關系的應用由為邊的中點得，又得且交于點，另由，可求得為的中點，從而，則的

6、面積為。例11已知正四棱錐中，那么當該棱錐的體積最大時，則高為 【答案】：2【提示】考點：函數思想解決最值問題考察錐體的體積，考察函數的最值問題.設底面邊長為a，則高所以，設，則，當y取最值時，解得或時，體積最大，此時。例12已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱的體積最大（柱體體積=底面積高）時，其高的值為 【答案】：【提示】考點：截面圖的應用及函數思想解決最值問題以正六棱柱的最大對角面作截面，如圖。設球心為，正六棱柱的上下底面中心分別為,則是的中點。設正六棱柱的底面邊長為，高為，則。正六棱柱的體積為，即，則，得極值點，不難知道這個極值點是極大值點，也是最大值點。故當正

7、六棱柱的體積最大，其高為。例13 圓錐的全面積為，側面展開圖的中心角為，則該圓錐的體積為 【答案】：【提示】考點：展開圖及相關公式運用的考查 例14將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使BDa， 則三棱錐D-ABC的體積為_【答案】：【提示】考點：圖形的翻折和錐體體積的計算 例15如圖，在多面體中，已知是邊長為1的正方形，且均為正三角形，=2，則該多面體的體積為 【答案】：【提示】考點：空間幾何體體積的計算過兩點分別作垂直于，垂足分別為、，連結、，可證得、，多面體分為三部分，多面體的體積為，作NH垂直于點H，則H為BC的中點，則， ， ，例16如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊ABC

8、D為正方形，E、F分為PA、PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結論：直線BE與直線CF是異面直線；直線BE與直線AF是異面直線；直線EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正確結論的序號是_【答案】：【提示】考點：空間點線面的位置關系結合圖形的翻折進行考查 由EFADBC，知BE、CF共面，錯；正確；正確；錯 例17已知是三個不同的平面，命題“”是真命題如果把中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有 個 【答案】: 2【提示】考點：空間線面關系的考查 例18設m，n是平面內的兩條不同直線；，是平面內的兩條相交直線，有下列四個命題：m且 ； m且n；m且n ；

9、m且n. 其中是成立的充分而不必要條件的命題的序號是_【答案】： 【提示】考點：面面平行的位置關系結合充要條件的考查 例19設m、n是異面直線，則(1)一定存在平面，使m且n； (2)一定存在平面，使m且n；(3)一定存在平面，使m、n到的距離相等；(4)一定存在無數對平面與，使m，n，且. 上述4個命題中正確命題的序號為_【答案】：【提示】考點：點、線、面位置關系相關知識點的考查 例20.如圖，在三棱錐中，三條棱兩兩垂直，且>>,分別經過三條棱作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為則的大小關系為 【答案】：【提示】考點：棱錐的結構特征和轉換思想通過補形，借助長方體驗證結論，特

10、殊化，令棱長為1，2，3，得結論二、解答題例21如圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點(1)若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的長；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線【提示】考點：空間線面關系及反證法(1)取的中點，連結， 因為ABCD，DCEF為正方形，且邊長為2，所以MGCD，MG2，NG.因為平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF.可得MGNG.所以(2)證明：假設直線ME與BN共面，則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN. 由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF,又ABCD，所以AB平面DC

11、EF而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以ABEN. 又ABCDEF，所以ENEF，這與ENEFE矛盾，故假設不成立所以ME與BN不共面，它們是異面直線例22如圖，為空間四點在中，等邊三角形以為軸運動（）當平面平面時，求；（）當轉動時，是否總有？證明你的結論【提示】考點：面面垂直的性質及空間想象能力（）取的中點，連結,，因為是等邊三角形，所以當平面平面時，因為平面平面，所以平面，可知由已知可得，在中，（）當以為軸轉動時，總有證明如下（）當在平面內時，因為，所以都在線段的垂直平分線上，即（）當不在平面內時，由（）知又因，所以又為相交直線，所以平面，由平面，得綜上所述，總有 例23如圖，四

12、邊形ABCD為矩形，BC平面ABE，F為CE上的點，且BF平面ACE(1)求證：AEBE；(2)設點M為線段AB的中點，點N為線段CE的中點，求證：MN /平面DAE【提示】：考點：線面垂直、線面平行的性質和判定的應用(1)因為BC平面ABE，AE平面ABE，所以AEBC，又BF平面ACE，AE平面ACE，所以AEBF，又BFBC=B，所以AE平面BCE，又BE平面BCE，所以AEBE(2)如圖所示，取DE的中點P，連結PA，PN，因為點N為線段CE的中點所以PN/DC，且，又四邊形ABCD是矩形，點M為線段AB的中點，所以AM/DC，且，所以PN/AM，且PN=AM，故四邊形AMNP是平行四

13、邊形，所以MN/AP，又AP平面DAE，MN平面DAE，所以MN/平面DAE例24如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=,CE=EF=1（）求證：AF/平面BDE；（）求證：CF平面BDE【提示】：考點：面面垂直的性質和判定、線面平行的判定（）設AC于BD交于點G。因為EFAG, 且EF=1，AG=AC=1 所以四邊形AGEF為平行四邊形， 所以AFEG，因為EG平面BDE, AF平面BDE, 所以AF平面BDE（）連接FG，因為EFCG,EF=CG=1, 且CE=1, 所以四邊形CEFG為菱形。所以CFEG. 因為四邊形ABCD為正方形，所以BDAC.又因

14、為平面ACEF平面ABCD, 且平面ACEF平面ABCD=AC,所以BD平面ACEF. 所以CFBD.又BDEG=G, 所以CF平面BDE.例25如圖甲，直角梯形ABCD中， 的中點，在上，且已知,現沿把四邊形折起如圖乙，使平面平面 (1) 求證：平面;(2) 求證：平面;(3) 求三棱錐的體積 【提示】：考點：借助平面的翻折考察線面平行與垂直（1）由題意知,面,同理，面又,面, 面,面面面 面 (2)在圖甲中，,所以在圖乙中 .平面平面,平面平面平面ABEF,又平面（3）平面平面,，平面,AF為三棱錐A-CDE的高且,又AB=CE=2, ,例26如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，B

15、CD45°，BAD90°，將ABD沿對角線BD折起，記折起后點的位置為P，且使平面PBD平面BCD，如圖.(1)求證：平面PBC平面PDC；(2)在折疊前的四邊形ABCD中，作AEBD于E，過E作EFBC于F，求折起后的圖形中PFE的正切值【提示】考點：借助平面的翻折考察面面垂直的性質和判定(1) 證明：折疊前，在四邊形ABCD中，ADBCADAB，BAD90°，所以ABD為等腰直角三角形又BCD45°，所以BDC90°.折疊后，因為面PBD面BCD，CDBD，所以CD面PBD.又因為PB 面PBD，所以CDPB.又因為PBPD，PDCDD，所

16、以PB面PDC.又PB面PBC，故平面PBC平面PDC.(2) AEBD，EFBC，折疊后的位置關系不變，所以PEBD.又面PBD面BCD，所以PE面BCD，所以PEEF.設ABADa，則BDa，所以PEaBE.RtBEF中，EFBE·sin45°a×a； RtPFE中，tanPFE例27（理）如圖所示，在正方體ABCDABCD中，E是棱DD的中點(1)求直線BE和平面ABBA所成的角的正弦值；(2)在棱CD上是否存在一點F，使BF平面ABE？證明你的結論【提示】考點：利用空間向量求空間角及存在性問題設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1.如圖所示，以為單位正

17、交基底建立空間直角坐標系(1)依題意，得B(1,0,0)，E(0,1，)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以(1,1，)，(0,1,0)在正方體ABCDA1B1C1D1中，因為AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一個法向量，設直線BE和平面ABB1A1所成的角為，則sin.即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為.(2)依題意，得(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1，)設(x，y，z)是平面A1BE的一個法向量，則由·0，·0，得所以xz，yz. 取z2， 得(2,1,2)設F是棱C1D1上的點，則F(t,1,1)(0t1)，又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BE·0(t1,1,0)·(2,1,2)02(t1)10tF為C1D1的中點這說明在棱C1D1上存在點F (C1D1的中點)，使B1F平面A1BE例28（理）