1、條件概率及其應用摘 要概率論與數理統計就是研究隨機現象的統計規律的一門學科，由于在生產生活等等各個方面隨機現象具有普遍性，使得概率論與數理統計具有極其廣闊的應用。概率論是對隨機事物的現象進行統計規律演繹的研究，而數理統計又是對隨機事物現象進行統計規律歸納的研究。并且條件概率這個概念有是概率論與數理統計的一個重要的內容和一個基本的工具。本文從條件概率的定義、性質、定理、應用這四個方面來解釋、探討、分析條件概率。近年來，由于一方面它為科學技術、工農業的生產等的現代化作出了極其重要的貢獻；另一方面，廣泛的應用也促進概率論與數理統計有了非常大的發展。本文從條件概率的定義、性質、定理這三個方面來解釋、探

2、討、分析條件概率。并從應用的角度對條件概率進行系統全面的闡述，把目前應用和后繼發展進行兼顧考慮，隨著科學技術、工農業的生產等的現代化的發展，該課題還存在大量的后續研究工作。關鍵詞：條件概率；全概率公式；貝葉斯公式；應用引言或緒論等（內容略）第一章條件概率的定義和性質條件概率是概率論中的一個基本工具，在中產生活中有著重要作用。在現實的世界里很少存在單一的不受別的事件影響的情況，由于事件的概率經常會由于其他時間的影響而發生改變，所以這里我們引入條件概率這一概念。這樣我們就能了解在事件B已經發生的情況下時間A發生的概率，這樣也就解決了無條件概率不能解決的問題例1、設在N只雞的總體中，有條是白雞而且有

3、條是母雞的。若事件A及事件B表示隨機選取一條是白雞及是母雞，則P(A)= P(B)=現在，以所有母雞組成的子總體代替總體的位置，我們來計算從母雞中隨機選出的一只雞是白雞的概率。這概率就是/，其中是白色母雞的數目。在研究某個特定的子集的時候，我們需要用一個新的符號來表達。一般所采用的符號是P(A|B)，可讀為“在事件B（所選出的雞是母雞的）發生的假定條件下，時間A（白雞）發生的概率”。采用數學符號P(A|B)=很顯然，每一個子集本身總可以被考慮為一個總體。為了表達上的方便，我們說一個子集時，意思是說這個子集背后還有一個較大的總體。從上面的例子可以看出P(A)一般是與P(A|B)不同的。再來看一個

4、例子。例2、從標號為1、2、3、4的四個球中，等可能地任取一個球，那么事件A：“得標號為4”的概率P(A)=0.25 ；如果已知事件B：“得標號為偶數”已經出現，那么這時只剩下兩種可能，或得2號或得4號，所以P(A|B)=0.5 在一般情況下，應該怎么樣定義P(A|B)呢？由于頻率與概率有很多類似的性質，先從頻率的討論開始。設A、B為任一個隨機試驗E中的兩個事件，每次試驗結果。不外是下列四種情況中的一種。（1）A出現 ，B不出現 （2）B出現，A不出現 （3）A,B都出現 （4）A,B都不出現。現在把E重復做n次，分別以n1、n2、n3、n4記下四種情況出現的次數，顯然=n 。而且 B的頻率為

5、（B）=， AB的頻率為（AB）= ， 在B已經出現的條件下，A的頻率為（A|B）=，根據這些式子，得（AB）=（A|B）（B）。因此，如（B）>0 就有（A|B）=這個式子告訴我們，如何去定義P(A|B)。我們就得到如下定義定義 設（,F,P）為概率空間，AF,BF,設P(B)>0 。在事件B已出現的條件下，事件A出現的概率P(A|B)定義為P(A|B)=對于古典類型的隨機試驗，設B含有m個不同的基本事件，m>0 ，AB含有k個，以n表示中總共不同的基本事件的個數，則P(A|B)=類似的可以知道，對于幾何隨機試驗，例如F(B)>0 ，我們有這樣的式子P(A|B)=容易

6、驗證，條件概率具有概率定義中的三個基本性質：如果P(B)>0 ,那么P（A|B）作為A的集函數是F上的概率；即（1）對每個AF，有1 P（A|B）0 ；（2）P（|B）=1 ；（3）如F，m=1，2，. ，兩兩互不相容，則有現在對上面的三個性質進行證明：證（1）因 ，>0 ，故由（3）知1 P（A|B）0（2）=1（3）=第二章條件概率的三定理現在對條件概率來證明三條重要的定理，這就是：概率的乘法定理，全概率公式與貝葉斯（Bayes）公式。這些定理在概率的計算中起著重要的作為。2.1 概率的乘法定理定理1 設，.，為n個事件，n2，滿足>0 ；則=上式稱為乘法公式。它的直觀意

7、義是：，.，同時出現的概率，等于出現，在出現的條件下出現，在，出現的條件下出現，各自的概率的乘積。證 由于>0，故=右方出現的條件概率都有意義；由條件概率的定義有例1 設箱子內有a（a2）個白球b個黑球，在其中接連取三次，每一次取出一個球，取球后不還原，問三個取出來的求都是白球的概率是多少？解 以表示“第i次取得白球”這一個事件，i=1、2、3、要求的是 。因為故可用=。顯然 。如已知第一次取得白球，箱內只剩下a-1個白球b個黑球，可見 ，類似得= 。于是由概率的乘法公式得注：這個例子中隨機試驗是復合的：= 。共含有a+b個，共含有a+b-1個，共含有a+b-2個，=（白球，球，球），=

8、（球，白球，球），=（球，球，白球），這里“球”不論是白或者黑均可。事件對第一次試驗的結果加了條件， 。如已知出現，那么由a-1個白球b個黑球組成，所以 。如已知前二次都是得到的白球，則由a-2個白球b個黑球構成，所以= 。 注意到隨機試驗依賴于隨機試驗后的結果，隨機試驗依賴于隨機試驗和隨機試驗的結果，所以說、 、 都是相依的隨機試驗。例2 設一批產品總共有N件，其中有M件產品是次品，不放回地抽取三件，試求第三件猜抽到的是正品的概率。解 令=抽到的第i件是正品， i=1、2、3于是表示抽到的第i件是次品，故所求的概率是注：上例中的概率也可以直接用古典方法求得，但是不如使用乘法公式簡單方便。這個

9、公式中的條件概率不要從定義出發來求，而應從該條件所限制的一個較小樣本空間內來求古典概率。2.2概率的全概率公式定理2 設，為有窮或者可列多個互不相容的事件，=1，>0，（n=1，2，3，），則對任何一個事件，有.上面的式子稱為全概率公式。證明 ：由于=1得到=0 。因為互不相容，故也互不相容，n=1，2，3，于是由條件概率的乘法公式；帶入上面的式子得到例1 設甲盒子中有a個白球b個黑球，a>0，b>0，乙盒子中有c個白球d個黑球，自甲盒子中任意取一球放入乙盒子中，然后再從乙盒子中任取一球，試求事件A：“從乙盒子中取得的球為白球”的概率。解 以表事件“自甲盒子中取出的球為白（黑

10、）球”，顯然=，所以=1，又>0 >0 ，由全概率公式。但是如出現，那么乙盒子中有c+1個白球，d個黑球，所以= ；類似得到=。代入中便得到例2 某個工廠有四條流水線生產同一種產品，該四條流水線的產量分別占產量的15%、20%、30% 和35%，又這四條流水線的不合格品率依次為0.05、0.04、0.03以及0.02 。現在從出廠產品中任意取一件產品，問恰好抽到不合格品的概率為多少？又若該工廠規定，處了不合格的產品要追究有關流水線的經濟責任，現在在出廠產品中任意取一件，結果為不合格品，但是該件產品是哪一條流水線生產的標志已經脫落，問廠方如何處理這件不合格品比較合理？比方說，第一條（

11、或者第二條、第三條、第四條）流水線應該承擔多大的責任？解 令A=任取一件，恰好抽到不合格品 B=任取一件，恰好抽到第i條流水線的產品 （i=1、2、3、4）于是由全概率公式得到=0.0315=3.15%其中，分別為0.05、0.04、0.03、0.02 。這是題目中告訴我們的。在實際問題中，這些數據可以從過去的生產的產品中統計出來。下面來解決下面的問題。從概率論的角度考慮可以按的大小來追究第i條（i=1、2、3、4）流水線的經濟責任。例如，對于第四條流水線，由條件概率的定義知在前面的計算當中，已經利用全概率公式來求得=0.0315=3.15%而于是有由此可知，第四條流水線應該負有22.2%的責

12、任。這個結果是容易理解的，雖然第四條流水線的產量占總產量的35%，但是他的不合格率卻不是很高，他生產的不合格品只占總不合格品的22.2% ，所以在來計算下、和由此可知，第一條流水線應該負有23.8%的責任。由此可知，第二條流水線應該負有25.4%的責任。由此可知，第三條流水線應該負有28.6%的責任。上面的計算中實際上已經建立了一個非常有用的公式常常稱為貝葉斯公式。2.3概率的貝葉斯公式定理3 設，為有窮或者可列多個互不相容的事件，=1，>0，（n=1，2，3，），則對任何一個事件A，>0 ， 有上面的式子稱為貝葉斯公式證明 ：由條件概率的定義及全概率公式得到例子 設甲乙丙三個盒子

13、中 甲盒子中有 個白球 個黑球 乙盒子中有 個白球 個黑球 丙盒子中有 個白球 個黑球 ,現在任意取出一盒子，再從這個盒子當中取出來一個球，結果發現這個球為白球。試在事件A“此球為白球”的條件下，求事件“這個球是屬于甲盒子的”條件概率。解 這里，這里分別表示“這個球屬于甲盒子”“這個球屬于乙盒子”“這個球屬于丙盒子”，這三個互不相容的事件，所以;又由全概率公式>0所以可以用貝葉斯公式得到=貝葉斯公式通常用在下列實際問題中：設只可能出現共有有窮個或者可列多種不同的情況，而事件A只能伴隨著這些情況之一發生。如今A已經出現的情況下，試求發生了情況的條件概率。例子 有朋自遠方來，他乘坐火車來的概

14、率是 ，乘船來，或者乘坐汽車來，或者乘坐飛機來的概率分別是， ， ，如果他乘坐火車來，遲到的概率是 ；如果他乘坐船或者乘坐汽車，那么遲到的概率分別為 ， ； 如果乘坐飛機來便不會遲到（因而。這時遲到的概率為0）。結果他是遲到了，試問在此條件下，他乘坐的是火車的概率是多少？解 以事件A表示“遲到”，分別表示“乘坐火車”“乘船”“乘坐飛機”，這樣于是注意與是不同的。類似的，如果以事件A的對立事件 （不遲到）代替上面式子中的A ，就得到2.4概率的三定理的綜合應用下列中各個例子可以說明上述定理的聯合應用例1 設甲乙二人在裝有a個白球和b個黑球的盒子中任意取出一個球，從甲開始然后輪流取球。每次取后不還

15、原，試求甲(或者乙)先取出的是白球的概率（或者）。解 為了使甲先取出一個白球，必須也只須或者甲第一次就取出的球是白球（記為“白”），或者甲第一次取出的球是黑球，乙第二次取出的球是黑球，甲第三次取出的球為白球（記為“黑、黑、白”）因而事件“甲先取出的球是白球”可以表示為互不相容的事件“白”、“黑、黑、白”、“黑、黑、黑、黑、白”的和，然而事件“白”的概率為 ，事件“黑、黑、白”的概率可用概率的乘法公式 =來計算得出 ，事件“黑、黑、黑、黑、白”的概率任然可以用概率的乘法公式來計算出，所以同樣得到注意，由于b是有窮數，故上面兩個式子右方中自某一項起全為0，又因為甲、乙二人中，總有一個人先取出白色的

16、球，故。以、的值代入并且簡化后，得到等式于是我們附帶地用概率的方法證明了上面的恒等式。用概率的方法來證明一些關系或者解決其他一些數學分析中的問題。是概率論中的重要研究方向之一。例2 從裝有a個白球和b個黑球的盒子中同時取出n個球，試求至少取出一白球的概率p 。解 先求對立事件的概率，事件B：“取出的全部是黑球”的概率是所以還可以用另一個讓發求得p ：同時取出n個球可以看成不還原地連續取出n次，每次取出一個球。為了使n次中至少取出一白球，必須也只須或者第一次就得到白球（概率為），或者第一次取出的是黑球第二次取出的是白球（概率為），這些事件互不相容，所以比較上面的兩個式子，可見它們右方的值相等，于

17、是又得到恒等式：當a>0時第三章條件概率的應用在前面的內容中我們認識的大多概率都是在樣本空間中的。并且只是計算了一些條件概率，許多的實驗都是用某些特定的條件概率來描述。在理論上這意味著：樣本空間中的概率可由給定的條件概率中推到出來。下面來介紹幾個條件概率的應用3.1用條件概率所定義的概率波利亞罐子模型罐子模型。一個罐子中包括b個黑球與r個紅球。隨機地抽取一個球。看了顏色再放，并且還要另外加進去c個與抽出來的球具有同樣顏色的球和d個相反顏色的球（這個時候罐子里面就有r+b+c+d個球了），這種過程反復地進行，其中c和d是任意的整數。C和d可以取為負數，不過在這種情形下經過有限次取球之后會因

18、為沒有了球而停止。特別的，取c=-1，d=0，則我們的抽樣就變成了無放回的抽樣，它在r+b次以后就結束現在我們轉向數學描述，注意一點就是，某些基本的概率可以通過它所確定的條件概率來計算。對應于n次抽取的樣本空間的典型的描述法是用n個字母B和R的序列來代表其樣本點。事件“第一次取出的球是黑的”（即是第一個字母是B的全部序列所構成的集合）的概率為。如果第一個球是黑色的球，則第二次取出的球的顏色任然為黑色的概率是因此黑黑的概率為黑黑黑的概率為顯然這樣的方法可以計算出每一個樣本點的概率概率的顯式表達式不是很容易得到的，除非在下面介紹的一個重要的而且著名的特殊情形：波利亞管子模型，其特征是d=0，c>0。每次抽取后，這時候與取出來的球有