1、泊松過程及其在排隊論中的應用 摘要：敘述了泊松過程的基本定義和概念，并列舉了泊松過程的其他等價定義和證明并分析了泊松過程在排隊論中的應用，討論了完成服務和正在接受服務的顧客的聯合分布。 關鍵詞：泊松過程；齊次泊松過程；排隊論1. 前言 泊松分布是概率論中最重要的分布之一，在歷史上泊松分布是由法國數學家泊松引人的。近數十年來，泊松分布日益顯現了其重要性而將泊松隨機變量的概念加以推廣就得到了泊松過程的概念。泊松過程是被研究得最早和最簡單的一類點過程，他在點過程的理論和應用中占有重要的地位。泊松過程在現實生活的許多應用中是一個相當適合的模型，它在物理學、天文學、生物學、醫學、通訊技術、交通運輸和管理

2、科學等領域都有成功運用的例子。2. 泊松過程的概念定義3.2 ：設計數過程 X(t)，t 0滿足下列條件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是獨立增量過程; (3) 在任一長度為t 的區間中，事件A發生的次數服從參數的泊松分布，即對任意是s, t 0，有， 則稱計數過程 X(t)，t 0為具有參數的泊松過程。注意，從條件(3)知泊松過程是平穩增量過程且，由于，表示單位時間內事件A發生的平均個數，故稱為此過程的速率或強度。從定義3.2中，我們看到，為了判斷一個計數過程是泊松過程，必須證明它滿足條件(1)、(2)及(3)。條件(1)只是說明事件A的計數是從t = 0時開始的。條件(2)

3、通常可從我們對過程了解的情況去驗證。然而條件(3)的檢驗是非常困難的。為此，我們給出泊松過程的另一個定義。定義3.3 ：設計數過程 X(t)，t 0滿足下列條件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是獨立平穩增量過程;(3) X(t)滿足下列兩式：則稱計數過程 X(t)，t 0為具有參數的泊松過程。定義中的條件(3)說明，在充分小的時間間隔內，最多有一個事件發生，而不能有兩個或兩個以上事件同時發生。這種假設對于許多物理現象較容易得到滿足。3. 齊次泊松過程定理1 假設事件E的發生形成強度為的齊次泊松過程，如果每一發生的事件僅以概率p被記錄到，以M表示被記錄到的事件序列，那么過程M是強

4、度為的齊次泊松過程。 證明：根據前面的等價定義，只需證明對于任意長度b的可表為有限多個互不相交區間之并的集合B。在B中被記錄到的事件數M(B)有參數為的泊松分布。事實上，記q=1 - p，則對于任意 基于這個定理，我們還可以證明如下的齊次泊松過程分解定理。定理2 設N是強度為的齊次泊松過程，p是任意介于0和1之間的常數，則N可以分解為兩個互相獨立的齊泊松過程M和M ，它們的強度分別為和，這里q = 1- p。證明：我們可以這樣想象，過程N的點事件以概率p被記錄，而且各點事件是否被記錄是互相獨立的，于是，由上面的定理知道，N中被記錄的事件序列M是強度為的齊次泊松過程。而沒有被記錄的事件序列M 則

5、形成一強度為的齊次泊松過程。顯然有N=M+M 。下面證明M和M 的獨立性。為此只需證明對任愈非負整數m和n，以及任意可表為有限多個互不相交區間之并的集合有：這里b是集合B的總長度。因為事件等價于事件故 容易看出，上面的論斷可以推廣到r個獨立過程的情形，這里r是任意大于2的整數。于是我們有如下的推論。推論1 2 設N是強度為的齊次泊松過程。對于任意整數和任意r個滿足條件的整數可以把N分解為r個強度分別為的互相獨立的齊次泊松過程。下面進一步研究選取概率不是一常數而是隨時間變化的情形。假設強度為的泊松過程的事件可以分為兩類：第一類和第二類，并且假設以事件發生的時間把事件的概率分為第一類。假設如果一個

6、事件發生的時間為t,而且與其他事件獨立，于是他可以看成是概率為P(s)的第一類事件，也可以看成是概率為1-P(s)的第二類事件。利用定理1我們能夠證明下面的命題。定理3 如果表示的是到時間t為止發生的第i類事件的數量(i = 1,2),和分別表示的是參數為和的獨立泊松隨機變量，其中： 證明：在N(t)已知的條件下，計算和的聯合分布。 現在考慮在區間內的任一事件，如果事件發生的時間為s，那么它是概率為P(s)的一類事件，因而利用定理1知道這個事件發生在均勻分布(0,t)上的某個時間，那么它必然是概率為的第一類事件，并且與其他事件來說是獨立的。因而剛好表示的是在n+m次獨立的實驗中有n次成功，m次

7、失敗，用p表示每次成功的概率，那么： 也就是： 這就證明了定理的論斷。4. 排隊論中應用舉例例1 設在上午8時到下午8時運送乘客到達飛機場的小汽車形成強度為(輛/時)的齊次泊松過程。如果每輛車載有1,2,3,4個乘客的概率分別為0.1，0.2，0.4，0.3。求在一小時內有小汽車送到機場的乘客的平均數。解：用表示在一小時內運送i個乘客到達機場的小汽車數目，則由推論1知道是參數分別為3，6，12，9的泊松分布。因此，分別等于對應的分布參數值，所以欲求的乘客的平均數為 = 3 +12 + 36 + 36= 87 例2 假設顧客到達服務站的人數服從強度為的泊松過程，到達的顧客很快就可以接受服務，并且

8、假設服務時間是獨立的并且服從一個普通的分布，記為G。解：為了計算在時刻t已完成服務和正在接受服務的顧客的聯合分布，把在時刻t 完成服務的顧客稱為第一類，在時刻t未完成服務的顧客稱為第二類顧客，現在，如果第一個顧客到來的時間為，如果他的服務時間少于t - s，那么他就是第一類顧客，并且因為服務時間服從G分布，所以服務時間少于t - s的概率為G(t - s)因而，P(s) = G(t -s); S t。利用定理2我們得到的的分布。到時間t為止，已完成服務的顧客的數目服從泊松分布，其參數為： 同理，到時刻t 仍然在接受服務的顧客的數目也是服從泊松分布，其參數為：，由此可見和是獨立的。5. 總結 泊松過程是被研究得最早和最簡單的一類點過程。它在現實生活的許多應用中是一個相當適合的模型。除了本文中所講到的在排隊