1、教學(xué)重點(diǎn)特殊三角形解題方法教學(xué)難點(diǎn)特殊三角形解題方法 三角形的初步認(rèn)識(shí)知識(shí)要點(diǎn)：1.1認(rèn)識(shí)三角形由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。“三角形” 用符號(hào)“”表示，頂點(diǎn)是ABC的三角形記做“ABC”讀作“三角形ABC”。 由兩點(diǎn)之間線段最短，可以得到如下性質(zhì)：三角形任何兩邊的和大于第三邊。三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。 三角形按角進(jìn)行分類：（注意要著重搞清各類三角形的特征。）銳角三角形三個(gè)角都是銳角。 三角形 直角三角形有一個(gè)角是直角。（記作RtABC）鈍角三角形有一個(gè)角是鈍角。 由三角形一條邊的延長(zhǎng)線和另一條相鄰的邊組成的角，叫做該三角形的外角。 三角形的

2、一個(gè)外角等于和它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和。 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。1.2三角形的平分線和中線在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的三角形的平分線。在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線。1.3三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。銳角三角形的三條高在三角形的內(nèi)部，垂足在相應(yīng)頂點(diǎn)的對(duì)邊上。直角三角形的直角邊上的高分別與另一條直角邊重合，垂足都是直角的頂點(diǎn)。而在鈍角三角形中，夾鈍角兩邊上的高都在三角形的外部，它們的垂足都在相應(yīng)頂點(diǎn)的對(duì)邊的延長(zhǎng)線上。1.4全

3、等三角形能夠重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，能互相重合的頂點(diǎn)叫做全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做全等三角形的對(duì)應(yīng)角。“全等”可用符號(hào)“”來(lái)表示。 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。1.5三角形全等的條件三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。當(dāng)三角形三邊長(zhǎng)確定是，三角形的形狀、大小完全被確定，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性，這是三角形特有的性質(zhì)。有一個(gè)角和夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）。 垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，簡(jiǎn)稱

4、中垂線。線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。有兩個(gè)角和這兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）。 有兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）。 角平分線上的一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。1.6作三角形:在幾何作圖中，我們把用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，簡(jiǎn)稱尺規(guī)作圖。特殊三角形知識(shí)歸納1. 等腰三角形：兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。2. 等腰三角形的“三線合一”性頂角平分線；底邊中線；底邊高【注意】等腰三角線的對(duì)稱軸是“三線”所在的直線，也是底邊

5、的中垂線3. 等腰三角形的畫法（1）任作一線段為等腰三角形的底；（2）分別以此線段的兩端點(diǎn)為圓心，以腰長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)即為三角形的頂點(diǎn)。4. 三角形的分類（1）（2）5. 等腰三角形的性質(zhì)（1）兩腰相等；（2）兩底角相等（等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊）；（3）“三線合一”；（4）軸對(duì)稱；（5）兩腰上的中線相等；（6）兩底角的平分線相等；（7）兩腰上的高相等；（8）底邊的一半腰長(zhǎng)周長(zhǎng)的一半；6. 等腰三角形的判定（1）兩角相等；（2）兩邊相等；（3）兩邊上中線相等；（4）一邊的中線垂直這條邊（平分這條邊的對(duì)角）；（5）一個(gè)角的角平分線垂直于這個(gè)角的對(duì)邊（平分對(duì)邊）；（6）兩個(gè)角的角平分線相等；

6、（7）一邊上的高平分這條邊（平分這條邊的對(duì)角）；（8）兩條高相等；7. 等邊三角形：三邊相等的三角形叫等邊三角形（正三角形）。等邊三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形所有的性質(zhì)。8. 等邊三角形的性質(zhì)（1）三邊相等，三個(gè)角都相等（都為60°）；（2）軸對(duì)稱性；9. 等邊三角形的判定（1）三邊相等；（2）三個(gè)角相等；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形；10. 等邊三角形的作法（1）作線段等于等邊三角形的邊長(zhǎng)；（2）分別以此線段的兩端點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)；（3）分別連此交點(diǎn)與已畫線段的兩端點(diǎn)。11. 直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形。用“Rt”表示。

7、等腰直角三角形：兩條直角邊相等的直角三角形叫等腰直角三角形。12. 直角三角形的性質(zhì)（1）兩銳角互余；（2）30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半（及其逆定理）；（3）斜邊上的中線等于斜邊的一半；（4）勾股定理：13. 直角三角形的判定（1）有一個(gè)角為直角；（2）兩角互余；（3）勾股定理的逆定理；（4）一邊上的中線等于這邊的一半；14. 勾股定理的變形15. 直角三角形全等的判定方法（1）SAS（2）SSS（3）ASA（4）AAS（5）HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。練習(xí)鞏固一選擇題1. 等腰三角形一底角為30°,底邊上的高為9cm,則腰長(zhǎng)為

8、_cm（  ）2. 等腰三角形的一個(gè)角等于20°, 則它的另外兩個(gè)角等于: （  ）A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80° D.20°、80°3. 等腰三角形一腰上的高與底所夾的角等于 A.頂角 B.頂角的 C.頂角的2倍 D底角的4. 如圖已知: ABACBD, 那么1與2之間的關(guān)系滿足（  ）A.122 B.212180°C.132180° D.312180°5.等腰三角形中的一個(gè)角等于

9、 ，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為（  ）（A） ，     （B） ， （C） ，     （D） ， 或 ，6.在下列命題中，正確的是（  ）（A）等腰三角形是銳角三角形 （B）等腰三角形兩腰上的高相等（C）兩個(gè)等腰直角三角形全等 （D）等腰三角形的角平分線是中線7已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為 ，另一邊長(zhǎng)為 ，則它的周長(zhǎng)為（  ）（A）   （B）     （C）    （D） 或 8在 中， ，若 的周長(zhǎng)為24，則 的取值范圍是（  ）（A

10、）      （B） （C）     （D） 9在 中， ，若 的周長(zhǎng)為24，則 的取值范圍是（  ）（A）     （B） （C）    （D） 10.等腰三角形底邊長(zhǎng)為 ，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為 .則腰長(zhǎng)為（  ）（A）   （B） （C） 或     （D）以上答案都不對(duì)二填空題1.等腰三角形的腰長(zhǎng)是底邊的，底邊等于12cm，則三角形的周長(zhǎng)為 cm2. P為等邊ABC所在平面上一點(diǎn),且P

11、AB,PBC,PCA都是等腰三角形,這樣的點(diǎn)P有_個(gè).3. 在等腰ABC中, ABAC, ADBC于D, 且ABACBC50cm, 而ABBDAD40cm, 則AD_cm.4. 如圖已知ACB90°, BDBC, AEAC, 則DCE_度. 第4題 第8題5.如果 中， ，它的兩邊長(zhǎng)為 和 ，那么它的周長(zhǎng)為_(kāi).6.如果等腰三角形的三邊均為整數(shù)且它的周長(zhǎng)為 ，那么它的三邊長(zhǎng)為_(kāi).7.在等腰三角形中，如果頂角是一個(gè)底角的2倍，那么頂角等于_度；如果一個(gè)底角是頂角的2倍，那么頂角等于_度.8.如圖，在 中，D是AC上的一點(diǎn)，且 ， ，則 _， _， _.三解答題1. 如圖,ABC中,D在B

12、C延長(zhǎng)線上,且AC=CD,CE是ACD的中線,CF平分ACB,交AB于F,求證:(1)CECF;(2)CFAD.2.如圖，已知：在 中， ， ， ，求 的度數(shù). 3.如圖，已知：在等邊三角形ABC中，D、E分別在AB和AC上，且 ，BE和CD相交于點(diǎn)P.求： 的度數(shù). 4.如圖，已知：在 中， ， ，點(diǎn)O在 內(nèi)，且 ，求： 的度數(shù). 5.如圖，已知：在 中， ， ， ， .求： 的度數(shù). 7.已知:如圖，BDE是等邊三角形，A在BE延長(zhǎng)線上，C在BD的延長(zhǎng)線上，且AD=AC。求證：DE+DC=AE。8. 已知：在ABC中，ABC=90°，點(diǎn)E在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D

13、，且點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，連接BM，DM（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段AB上，探究線段BM與DM及BMD與BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你得到的結(jié)論；（2）如圖2，若點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明；（3）若點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，請(qǐng)你根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形，并直接寫出線段BM與DM及BMD與BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系 9. (1) 如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點(diǎn)O,AOF90°. 求證：BECF.圖1(2) 如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H,F,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于點(diǎn)O,F

14、OH90°, EF4.求GH的長(zhǎng).圖2(3) 已知點(diǎn)E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點(diǎn)O,FOH90°,EF4. 直接寫出下列兩題的答案：如圖3,矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成,求GH的長(zhǎng)；如圖4,矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成,求GH的長(zhǎng)(用n的代數(shù)式表示). 圖3圖410如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn),P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是DCP的平分線上一點(diǎn)若AMN=90°，求證：AM=MN下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明證明：在邊AB上截取AE

15、=MC，連ME正方形ABCD中，B=BCD=90°，AB=BCNMC=180°AMNAMB=180°BAMB=MAB=MAE （下面請(qǐng)你完成余下的證明過(guò)程）若將中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)AMN=60°時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由若將中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCDX”，請(qǐng)你做出猜想：當(dāng)AMN=_°時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立（直接寫出答案，不需要證明）11.如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

16、60°得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最小； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說(shuō)明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng). 課后作業(yè)1已知等邊ABC的邊長(zhǎng)為a，則它的面積是（ ）Aa2 Ba2 Ca2 Da22在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，若AC平分DAB，AB=AE，AC=AD那么在下列四個(gè)結(jié)論中：（1）ACBD；（2）BC=DE；（3）DBC=DAB；（4）ABE是正三角形，其中正確的是（）A（1）和（2） B（2）和（3） C（3）和（4） D（1）和（4）3.如圖，等腰三角形ABC中，B

17、AC=90°，在底邊BC上截取BD=AB，過(guò)D作DEBC交AC于E，連接AD，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（） A1 B2 C3 D44.如圖，三角形紙片ABC中，B=2C，把三角形紙片沿直線AD折疊，點(diǎn)B落在AC邊上的E處，那么下列等式成立的是（）AAC=AD+BD BAC=AB+BD CAC=AD+CD DAC=AB+ CD 5（2019鎮(zhèn)江）邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如圖），按此方式依次操作，則第6個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為（）A. B C D