1、空間向量、極坐標與導數計算單元測驗一、選擇題(每題4分，共40分)1柱坐標對應的點的直角坐標為 A. B. C. D. 2已知直線與曲線切于點（1，3），則b的值為A3B3C5D53已知, ，且與互相垂直，則k的值是 A. 1 B. C. D.4 在同一坐標系中，將曲線y = 2sin3x變為曲線y=sinx的伸縮變換是 A B. C. D. 5. 在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數是A3 B2 C1 D06若與在上都是減函數，對函數的單調性描述正確的是 A. 在上是增函數 B. 在上是增函數 C. 在上是減函數 D. 在上是增函數，在上是減函數-22O1-1-11

2、7極坐標系內曲線上的動點P到定點Q的最近距離等于 A. B. C.1 D. 8已知函數的圖象如右圖所示(其中是函數的導函數)，下面四個圖象中的圖象大致是O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD9已知，則的值為（ ）A、4 B、0 C、4 D、810若OA、OB、OC兩兩垂直，則下列各式中不成立的是 AB CD 請將選擇題答案填在下列表格內：12345678910二、填空題（每題4分，共16分）11若直線的極坐標方程為,則極點到這條直線的距離是 .12在空間直角坐標系中，已知A(1,1,0), B(2,1,3), C( 2, -1, 1)，點A在

3、直線BC上的射影點為E，則點E的坐標為 .13過原點作曲線yex的切線，則切點的坐標為 ，切線的斜率為 14三棱錐O-ABC中, OA=8,AB=6,BC=5,AC=4,ÐOAC=45°,ÐBAO=60°,則異面直線OA與BC所成角的余弦值為 .三、解答題（共44分）15（本題共10分）在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系。設橢圓的長軸長為10，中心為(3,0), 一個焦點在直角坐標原點. (1)求橢圓的直角坐標方程，并把它化為極坐標方程；(2)當橢圓的過直角坐標原點的弦的長度為時，求弦所在直線的直角坐標方程.·xyO

4、16（本題共10分）如圖1，已知ABCD是上下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2.（）證明：ACBO1；（）求二面角OACO1的余弦值.圖1 圖217（本題共12分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ÐACB=90°，側棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是DABD的重心。(1) 求底面等腰三角形的腰長;(2) 求A1B與平面ABD所成角的大小；(3) 求點A1到平面AED的距離.18（本題共12分）定義F(x,y)=(1+x)y, x,y Î (0,+¥)

5、.(1)令函數f(x)=F1,log2(x3 3x )的圖象為曲線C1，求與直線4x+15y-3=0垂直的曲線C1的切線方程；(2)令函數g(x)=F1,log2(x3 +ax2+bx+1 )的圖象為曲線C2，若存在實數b使得曲線C2在點P（x0，y0）處切線的斜率為-8，x0 Î (1,4), 求實數a的取值范圍；(3)當x,y Î N*,且x<y時，證明：F(x,y)>F(y,x).(注：解答做在背面)參考解答12345678910AADBDCACAC1112（）13(1, e); e1415解 (1)設橢圓的長半軸,短半軸半焦距分別為a,b,c則a= 5,

6、 c =3,所以b = 4所求橢圓可以看作是由橢圓向右平移3個單位得到故所求橢圓的直角坐標方程為代入x= rcosq , y=rsinq , 得 (2) 設過坐標原點的弦的傾斜角為q ,弦的兩個端點分別P1(r1, q) ,P2(r2, q+p) 有, 由于r1+r2 = , 所以+= Û cosq =ABOCO1Dxyzq = 所求直線的直角坐標方程為y = 16解（I）證明 由題設知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O為原點，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖3，則相關各點的坐標是A（3，0，0）

7、，B（0，3，0），C（0，1，）圖3O1（0，0，）.從而所以ACBO1. （II）因為所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一個法向量.設是0平面O1AC的一個法向量，由 得. 設二面角OACO1的大小為，由、的方向可知，>，所以cos，>=17. 解 以C為原點,射線CA、CB、CC1分別為x, y, z的非負半軸建立空間直角坐標系C-xyz,設底面等腰三角形的腰長為a，則A（a, 0, 0）, B(0,a,0), D(0, 0, 1), A1(a,0,2) (1) G是三角形ABD的重心，所以G(a,a,), 又E(a, a, 1), 又由

8、EG平面ABD Þ EGAD Þ Þ Û a=2故底面等腰三角形的腰長為2. (2) G(,), 又E(1, 1, 1), GE = 又B（0，2，0）， BE=設A1B與平面ABD所成角為q ，則sinq = Þ q =arcsin故A1B與平面ABD所成角為arcsin (3) 設平面AED的一個法向量為, 取x =1，得,又A1到平面AED的距離d = =18.解 (1) f(x) = , 由log2(x3 3x)>0 Û x3 3x>1, 設此不等式解集為A，則函數f(x)定義域為A 設所求切線的切點坐標為(x0,

9、y0) 則K切線= = Û x02 = Û ,代入x3 3x>1檢驗 符合要求，于是f(x0) = , 故所求切線方程為y = (x +), 即15x 4y +27 = 0 (2) g(x) = 由log2(x3 +ax2+bx+1)>0 Û x3 +ax2+bx>0, 設此不等式解集為B，則函數g(x)定義域為B 存在實數b, 使得3x02+2ax0+b = -8在x0 Î (1,4)有解.又x03 +ax02+bx0>0 消去b得2x02+ax0+8<0 Û -a >2(x0+),此不等式在x0 Î (1,4)上有解 令h(x0)= 2(x0+)，容易知道此函數在x0 Î (1,4)上的值域為 -a > 8 Û a < -8， 即實數a的取值范圍是(-¥, -8) (3) 要證F(x, y) >F(y, x)，只要證 (1+x)y > (1+y)x 即證 yln(1+x) >