1、現代數值計算方法習題答案習題一1、解：根據絕對誤差限不超過末位數的半個單位，相對誤差限為絕對誤差限除以有效數字本身，有效數字的位數根據有效數字的定義來求.因此 49×10-2 ： = 0.005； = 0.0102； 2位有效數字. 0.0490 ： = 0.00005； = 0.00102； 3位有效數字. 490.00 ：= 0.005； = 0.0000102；5位有效數字.2、解： = 3.1428 ， = 3.1415 ，取它們的相同部分3.14，故有3位有效數字. = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；= = 0.00041.3、解：的近似值的首位非0數

2、字=1,因此有|< =× 10-4, 解之得n> =5，所以n = 5 .4、證：5、解：(1)因為4.4721 ，又|=| = 0.0021< 0.01, 所以4.47. (2)的近似值的首位非0數字=4,因此有 |< = 0.01 , 解之得n> = 3.所以，4.47.6、解：設正方形的邊長為,則其面積為，由題設知的近似值為= 10 cm.記為的近似值，則< = 0.1， 所以<= 0.005 cm.7、解：因為, 所以.8、解：9、證：由上述兩式易知，結論.10、解：代入求解,經過計算可知第(3)個計算結果最好.11、解：基本原則為：

3、因式分解，分母分子有理化、三角函數恒等變形 （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函數恒等變形.12、解： 因為,所以| < = 于是有 | = | = 10| < =| = | = 10| < = 類推有 | < = 即計算到，其誤差限為，亦即若在處有誤差限為，則的誤差將擴大倍，可見這個計算過程是不穩定的.習題二1、 解：只用一種方法.（1）方程組的增廣矩陣為： , , .（2）方程組的增廣矩陣為： , , .（3）適用于計算機編程計算.2、解：第一步：計算U的第一行，L的第一列，得第二步：計算U的第二行，L的第二列，得第三步：計算U的第三行，L的第三列，得第四步：

4、計算U的第四行，得從而，= 由,解得=（6，-3，23/5，955/370）T. 由,解得=（1，-1，1，1）T.3、（1）解：首先檢驗系數矩陣的對稱正定性，這可以通過計算其各階順序主子式是否大于零來判斷. 3 > 0, = 2 > 0, = 4 > 0,所以系數矩陣是對稱正定的.記系數矩陣為A，則平方根法可按如下三步進行：第一步分解：A = L LT. 由公式計算出矩陣的各元素：因此，L. 第二步 求解方程組LY = b.解得Y = （，）T. 第三步 求解方程組LTX = Y.解得X =（0，2，1）T.（2）解：首先檢驗系數矩陣的對稱正定性，這可以通過計算其各階順序主

5、子式是否大于零來判斷. 3 > 0, = 2 > 0, = 6 > 0,所以系數矩陣是對稱正定的.記系數矩陣為A，則平方根法可按如下三步進行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式計算出矩陣的各元素： 因此， L.第二步求解方程組LY = b.解得Y= （，）T.第三步求解方程組LTX = Y .解得X= （，）T.4、解： 對,； 對 , , , ；對 , , , , ,. 所以數組A的形式為： 求解方程組LY = b.解得Y= （4，7，）T.求解方程組DLTX = Y.解得X= （，）T.5、解：（1）設A = LU = 計算各元素得： ,.求解方程組LY = d.

6、解得Y = （1，）T.求解方程組UX = Y.解得X= （，）T.（2）設A = LU = 計算各元素得： ， ， ，.求解方程組LY = d .解得Y = （17，）T.求解方程組UX = Y.解得X = （3，2，1）T.6、證：（1）（2）相同.因為此方程組的系數矩陣為嚴格對角占優矩陣，所以雅可比迭代法和相應的高斯賽德爾迭代法都收斂.（1）雅可比迭代公式：高斯賽德爾迭代公式：（2）雅可比迭代公式：高斯賽德爾迭代公式：7、(1)證：因為此方程組的系數矩陣為嚴格對角占優矩陣，所以雅可比迭代法和相應的高斯賽德爾迭代法都收斂。 (2)雅可比迭代法： 寫出雅可比迭代法公式：取= （3，1，1）T

7、，迭代到18次達到精度要求,= （3.999，2.999，1.999）T.高斯賽德爾迭代法： 寫出高斯賽德爾迭代法公式：取= （3，1，1）T，迭代到8次達到精度要求,= （4.000，2.999，2.000）T.8、SOR方法考試不考。9、證明：雅可比法的迭代矩陣為： , 解得,所以雅可比迭代法不收斂. 高斯-賽德爾法的迭代矩陣為： , 求得，則,所以高斯-賽德爾迭代法不收斂.10、證明：雅可比法的迭代矩陣為： , 求得，則 ,所以雅可比迭代法不收斂. 高斯-賽德爾法的迭代矩陣為： , 求得，則 , 所以高斯-賽德爾迭代法收斂.11、證明：當 - 0.5 < a < 1 時，由

8、= 1 - a2 > 0 , = (1 - a)2(1 + 2a) > 0 , 所以A正定. 雅可比迭代矩陣BJ ，所以， | = = 所以， , 故當-0.5 < < 0.5 時，雅可比迭代法收斂。12、解： max 0.6+0.5,0.1+0.3 = 1.1； max 0.6+0.1,0.5+0.3 = 0.8；= 0.8426；ATA = = | = = 0.71 0.0169 0所以(ATA) = 0.685，所以 = 0.83.13、證明：(1)由定義知, 故 (2)由范數定義知,故 習題 三1、解：在區間0.3,0.4上，故在區間0.3,0.4上嚴格單調減少

9、，又，所以方程在區間0.3,0.4上有唯一實根。令（0.40.3）/ < =,解得k > = 4 ,即應至少分4次,取開始計算,于是有: 當k = 1 時,x1 = 0.35 , ,隔根區間是, 當k = 2 時,x2 = 0.325 , ,隔根區間是,當k = 3 時,x3 = 0.3375 , ,隔根區間是,當k = 4 時,x4 = 0.34375 , ,隔根區間是.所以(0.3375 + 0.34375)/2 0.341.2、解：在區間1,2上，故在區間1,2上嚴格單調增加，又，所以方程在區間1,2上有唯一實根.令< =,解得k > = 13.3 ,即應至少分1

10、4次.3、解：作圖,判斷根的數目、找隔根的區間. (1)有唯一實根,隔根區間0,收斂迭代公式:. (2)有唯一實根,隔根區間1,2,收斂迭代公式:.4、解：取的鄰域1.3,1.6來考察.(1)當1.3,1.6時,1.3,1.6 ,|<= 0.522 = L<1,所以，在1.3,1.6上收斂.(2)當1.3,1.6時,1.3,1.6 ,|<= 0.91= L<1,所以，在1.3,1.6上收斂.(3)當1.3,1.6時,1.3,1.6 ,| = L>1,所以，在1.3,1.6上發散.(4)當1.3,1.6時,1.3,1.6 ,所以，在1.3,1.6上發散.取開始計算,

11、于是有：= 1.481448 , = 1.472705 , = 1.468817 , = 1.467047 , = 1.466243 , = 1.465876 .由于| <,故可取= 1.466.5、解：方程的等價形式為=,迭代公式為. 作函數和的圖像,可知其正根區間為0.5,1.5. 當0.5,1.5時,0.5,1.5 ,|<= 0.3 = L<1,所以，在0.5,1.5上收斂.取開始計算,于是有：= 0.93114992, = 1.0249532 , = 1.04141516 , = 1.04419321, = 1.0446673 , = 1.04474582,= 1.0

12、4475903, = 1.0447613 , = 1.04476123.由于| <,故可取= 1.04476.6、解：當0,0.5時,0,0.5 ,|<= 0.825 = L<1,所以在區間0,0.5上收斂.取開始計算,于是有：= 0.10000000, = 0.08948290 , = 0.09063913 , = 0.09051262, = 0.09052647 , = 0.09052495.由于| <,故可取= 0.0905.7、解：由于在根附近變化不大,=-0.607 = q. 迭代-加速公式為取開始計算,于是有：= 0.5662917, = 0.5671223

13、, = 0.56714277.由于| <,故可取= 0.5671.8、解：埃特金加速公式為：取開始計算,于是有:= 1.32489918, = 1.32471796, = 1.32471637.由于| <,故可取= 1.3247.9、解：對于,因此牛頓迭代法為 ,0,1,2,3,對于,因此牛頓迭代法為 ,0,1,2,3,因為 所以，對于, .對于, .10、解：在區間1,2上,，,，.又因為，所以收斂且以作初值。取,用牛頓迭代法,計算得 = 1.8889, = 1.8794, = 1.8794,由于| <,故可取= 1.879.11、解：設 ,則 ，.牛頓法迭代公式為：0,1

14、,2,3, 當時,， , 當時,，. 因此,對于,當時,牛頓序列收斂到. 當時, 所以,因此,從起 ,牛頓序列收斂到 . 對于,當時,牛頓序列收斂到. 當時, 所以,因此,從起 ,牛頓序列收斂到 . 當時,迭代式變為 . 該迭代對任何均收斂,但收斂速度是線性的.取開始計算,于是有：= 1.66666667 , = 1.23111111 , = 1.48053039 , = 1.44323083 , = 1.44225024 , = 1.44224957 ,= 1.44224957 .由于| <,故可取= 1.442250 .12、解：令,取,開始計算,經過4次計算可以得到 = 0.510

15、98 .習題五1、解：.2、解：.3、解：.(直接代入數據，因較復雜，省略)4、證：（1）當（2）中的時，即可得結論. （2）函數及均為被插值函數的關于互異節點的不超過次的插值多項式，利用插值多項式的唯一性可知結論.5、證：以和為插值點，建立的不超過一次的插值多項式：應用插值余項公式有：，因此可得結論。6、解：選，為節點，計算得：.7、解：.8、解：（略）9、證：設，. 將差商（均差）用函數值表示，則有： 取得結論（1），取得結論（2）.10、證：.11、解：制造向前查分表：0123012312176411547143218由題意，.當時，.將查分表上部那些畫橫線的數及代入公式，有.當時，.將

16、查分表下部那些畫橫線的數及代入公式，有.12、解：制造向前查分表：0123-1012-2-1121211-1-2 由于其根在-1,2之間，故采用牛頓后插公式， 計算得 ，所以.13、證：采用差分的定義來證明.14、解：方法同第11題.15、解：以，和為插值節點的插值多項式的截斷誤差，則有，式中 ， 則 令得.習題 六1、解：由題意得 , , 所以 , .又 , 所以 .2、解：設擬合曲線為一次多項式: . 計算各元素:, 故法方程組為=,解得 ,.所以.二次多項式擬合曲線與一次多項式擬合曲線類似(略).3、解：設擬合曲線為二次多項式: . 計算各元素:, 故法方程組為=,解得 ,.所以.4、解

17、：經描圖發現和符合二次曲線.設擬合曲線為二次多項式: . 計算各元素:, , 故法方程組為=,解得 , , .所以.5、略.6、解：對公式兩邊取常用對數有 . 令,則得線性模型 .計算各元素:, 故法方程組為=,解得 ,得,. 所以 .7、解：對公式兩邊取常用對數有 . 令,則得線性模型 .計算各元素:, 故法方程組為=,解得 ,得,. 所以 .8、解：令,則 .計算各元素:,故法方程組為=,解得 ,所以.習題 七1、解：利用梯形公式: . 利用辛普森公式: .計算誤差:.5、解：利用復化梯形公式:. 利用復化辛普森公式:6、解：由 , 得 又,解出,故用復化梯形公式至少取671,即需672個節點.7、解：計算如下:01230.77174330.72806990.71698280.71420020.71351210.71328700.71327260.71327200.71327170.7132717 故.習題 八1、