1、EME a powerful computational method for the rigoroussolution of optical propagation problems求取光傳播問題精確解的強力運算法Dominic F.G. GallagherThomas P. FeliciPhoton Design, Oxford, United Kingdom簡介 對於由于近 5 到 10 年間通訊電信工業產業的快速成長從最近的 5 到 10 年間,對于需要解決比以往更復雜的電磁問題，以及問題解答的精確性，有更迫切而且更嚴謹的要求和比以往解決電磁問題的解來得更精確。這樣的需求激勵理論科學家

2、們不斷地尋求找更有效率的數值技巧處理這計算方法來解決日趨復雜的問題，其中的代表就是所謂的樣的電磁問題和技巧之一的便是光束傳播法(Beam Propagation Method), 或叫作通稱為 BPM 。實際上, 相對于BPM, 另一種所謂的特征模態延展數值算法EME (Eigen Mode Expansion) 技巧在學術界早負盛名，它也著名存在和微波領域已經有很相當長的時間，而且曾經被廣泛的應用于解決不同的問題。和對許多不同問題已經有廣泛的應用。 然而最初EME以在處理光電子領域遇到問題時一般都認為它缺乏是低效能效率。這篇專文即在章大綱說明作者如何將原本低效率的幫助把它EME數值計算法變成

3、對於處理各式各樣的光學傳播問題的解都有強有力求解廣泛光傳播問題時的一個強力、精確以及高效能的工具, 精確和高度有效的方法。在商用套裝仿真設計工具軟件在商業用途上使用的工具名字叫做FIMMPROP-3D中，就結合了EME數值計算法它已經實現了這樣工作的結果。它本專文也將深入介紹這個方法數值計算法, 應用一些實例說明 它的長處和薄弱的環節缺點。 並且用一些實例說明它。 EME方法大綱概述 首先我們必須開始定義波導的"模態(mode)"的定義或波導的或"特征模態(eigenmode)"。 如果在一個結構中光學的折射率不在隨Z 方向變化, 我們能求解出馬克斯韋爾

4、方程式(Maxwell's Equations)，解的型式如下：(我們在這里假設使用單一波長以及和時間為相依關係的關系函數為)數學上 em(x,y) 和 bm 是所謂的解特征函數和特征值。所以一個模態對Z軸簡單的諧波函數相依關系是有對Z軸相依關係-這個關系使 EME 能迅速和有效率地解決長而緩慢變化的結構。在一個典型的波導中, 存在有一些導引的模態 guided mode(沒有沿著波導傳播的時沒有能量損失傳播) , 但是, 此外還存在無個所謂的輻射模態 radiation mode 是無窮的數目 (輻射將損耗波導中的光功率) 。導引和輻射的模態一起形成一個完整的組合- 換句話說我們能將

5、波導結構中任一區域Maxwell's Equations夠的每一個解，都能表示為按照順向和逆向傳播模態解的迭加的型式 ,在波導中形成Maxwell's Equations的任何解(見 Eqn 2 ) : 注意到這個等式的是為雙向的性特質。 這個等式是在線性介質中Maxwell's Equations的一個精確解。到目前為止我們的技術僅有分析對Z軸為沒有變化不變的結構的技巧。 下面我們將介紹二個波導間的接合(join) -見圖 2。Maxwell's Equations為界定了這些電場而給我們的連續性條件,例如在界面兩邊電場的正切分量(tangential ele

6、ctric fields) 必須相等。正切電場必須在界面兩邊相等。 應用這些邊界條件, 加上稍許的數學運算，並且在數學上我們能夠取得函數系數的係數之間的一個關系式:其中SJ 是用於代表接合的散射散矩陣(scattering matrix)。因此我們能將行進方向遠離接合的場表示成為入射于接合處的場。用於一個平直剖面的散射散矩陣( SWG )是正如下面所顯示的簡單的 :一旦已經找到了特征模態，計算此散色矩陣將極為容易計算起來非常清楚容易。 現在讓我們考慮一個常用的使用在光子的一個常見電組件實例- MMI 耦合器(coupler)-見圖 3 。 這個組件被分成5個矩陣來討論-2個接合矩陣和 3 個傳

7、播矩陣。 一旦我們有這些個別的 S 矩陣, 我們就能夠計算結合的S 矩陣, 例如透過結合 A 和 B 的矩陣而成為AB矩陣 , 直到我們求得對于整個組件的S 矩陣。平滑變化的幾何結構 在早期 EME 被認為不適當的主要原因之一,是由于不能有效地處理連續不斷改變橫截面的結構, 例如錐形結構(taper)。 當橫截面變化時, 所有的模態需要再重新計算，而這會需要到大量的計算。 同樣還有必須介紹由于大量的結合接合面- 引起數值計算錯誤導致數值計算誤差的累積。 FIMMPROP-3D 的特性可以解決兩個這些問題，使得EME得以首次實際的應用，甚至可以應用于三為錐形結構。事實上，經常在 FIMMPROP

8、-3D 比起其它近似技術花更少的時間，求解決一個 3D錐形結構比的問題近似的技術花較少時間。周期性架構 使用EME方法能很有效率的計算包含重復周期的結構，因為對每一個周期的S-matrix都是一樣的。因此周期性結構的計算幾乎與直線性波導的計算一樣快。為什么使用 EME ? 那麼你為什么你會想要使用 EME ? 盡管讀者可能認為作者有所偏頗偏見 , 我們還是將盡力會對EME的優缺點，提供強力而客觀的評估和EME較薄弱的地方。優點 :l 這個方法首先和以及最重要的是EME法所求得的是基於Maxwell's Equations的一個嚴格的精確解，而非近似解。 在理論上如果我們在展延把中使用無

9、窮的無限模態數目的模態用於我們的展延, ,我們就能夠獲得一個精確解。 當然在練習方面實際上, 我們必須限制展延時使用模態的數目和，而且在運算執行中將有數值的錯誤誤差, 例如這是在任何數值技巧計算中無法避免的。 為了獲得更高的精確度, 我們只須能夠簡單增加更多的模態數目。 這種方法能夠精確地求解問題計算,這也是其它技巧計算方法所不及之處是不能的。l EME算法固有地本質上是雙向的。 該算法已經考慮到所有的反射都在 方法中被考慮到情況。l S 矩陣技巧方法為提供了所有輸入提供的解! 那麼例如：如果你們做全部執行一個全向量的模擬, 經過單一計算后，你們將給會同時得到輸入TE和輸入TM的輸入找到這個的

10、響應解。l 之前先前的特性允許一次建立類似一個部分的組件的框架- 像可以計算某一組件的一部分的S 矩陣的結構一樣,然后可在許多不同環境條件下重復使用再次用于許多不同環境條件。l 當僅僅改變一個組件的一部分時, 只有該那個一部分的S 矩陣需要再次計算重新計算。 在圖 3 , 假如改變輸入波導的對準位置改變調整, 僅有矩陣 B 需要再次計算重新計算。 FIMMPROP-3D 完全利用到這樣的優點。事實上， 程序不使用中并無所謂的"計算"鈕,因為程序總會知道什么地方已經改變，還有什么和任何時候需要再次計算重新計算。 使用者僅須需要要求一些計算結果，程序就能並且自動地開始任何所需要

11、的計算。l 廣角度能力-這個算法能夠模擬任何角度的光的傳播, 即使是對傳播軸呈 90 度夾角, 也能僅由而且能夠容易地增加更多模態的數目式來完成。 上面所述性質的結合允許計算一個廣寬泛種類的組件，計算相對于其它計算方法，EME還特別地迅快速比其他技巧。 一般, 通常計算具有相對地小的橫截面的結構能夠在若干秒而非分鐘或小時的時間內完成，比其它技術計算更快快速許多。 缺點 :l 這個演算方法對于具有很大橫截面的結構對這個演算方法是并不合適,因為計算時間浪費在立方體的計算,例如橫截面的寬度。l 這個算法寫起來非常復雜- 例如確保要確認一個模態是否 從基本設定中沒有錯誤, 這遺漏是很困難的。l EME

12、 不是一個"黑盒子"技巧- 使用者必須努力了解這個演算法方法才能充分地使用利用它的優點。l 諸如使用BPM的有限差分方法在 BPM 的有限差分法中比EME方法更容易定義所謂的要將透明邊界條件完全定義出來, 比在 EME 中容易許多。 (最近然而, 此點在Photon Design以及光子設計和在大尺度的一些科學領域團體最近的研究成果中也被提出來。)應用 參考一些具體的實例子來能說明 EME 的特特點。 這邊這里我們給所提出的是利用 1GHz Pentium III 計算機得到的計算時間,是利用 1GHz Pentium III 得到的。MMI 耦合器 上面圖 3顯示一個MM

13、I 耦合器, 和以及由FIMMPROP-3D所計算出來在 MMI 耦合器中光強度的分布被 FIMMPROP-3D計算出來。 這對EME 是很普通的簡易的應用 - 我們僅需要計算 3 個組模態, 針對每一個唯一橫截面計算一組模態,總共只需要計算 3 組模態。計算型式: 半向量, 3D, 雙向橫截面: 20mm x 2.6mmm.模態數目:8計算時間:27秒 在圖 4 方面我們描繪畫出設計曲線掃描的設計結果。程序從 0毫微米 到 3毫微米執行分50個步驟改變使輸入波導的對準位置做調整。 做執行所有的 50 個模擬步驟僅需要 94s , 每個每次模擬所花時間都在 2s 以下-請記住這是全部都在完全

14、3D下的計算!錐形錐核光纖波導(tapered fibre) 在這里我們透過核心半徑從 12毫米逐漸減小 縮小到 0.5毫米的光纖，計算光場在核心半徑中的傳播,計算光場在核心半徑逐漸減小的光纖中的傳播。 在下面顯示這些計算細節。計算型式: 全向量, 3D, 雙向橫截面: 38mmm x 38mmm模態數目:6計算時間:159s 圖 5 顯示計算的結果。 注意到我們為何對它模擬- 僅需要 6個極少的模態即可進行模擬。 這是因為大多數的光對Z 軸僅有小角度的移動夾角。 設計者將需要瞭解這樣的錐形波導設計的會面臨的關鍵性問題之一是"多久它才能達到例如 98% 的效率?" EME

15、技巧方法能夠很迅速的解決這個問題-改變錐形波導的長度而不改變其模態 ,我們才能因而能夠花最少計算時間做許多不同長度的模擬。 圖 6 計劃繪出使用 50 個步驟在錐形波導上做進行改變長度改變掃描的結果。 50 個步驟的模擬，每個模擬僅花了 323s 的計算時間- 換言之每個每次模擬僅花 6.5s的計算時間 。EME 有一個特別有價值的特性,是它經常能顯示出給出在組件中內部詳細的物理現象分析圖- 而非僅僅顯示輸入和輸出的分析圖值。 眾所皆知, 在一個近乎絕熱的結構中, 在有相似的傳播常數條件下，模態之間會出現最大的耦合出現在他們有相似的傳播常數。圖 7 顯示一個 100um 長的組件中以隨Z 軸位

16、置變化當做一個函式,顯示在之錐形波導中模態的有效折射率的變化。 圖中顯示基本模態在錐形波導長度 ( 90um ) 90% 的地方變得很靠近更高階的模態。 如此我們可以期望更多的幅射出現在這個點- 這的的確確切地是我們觀察的結果。 曲線告訴我們, 我們應該減少對錐形波導的末端減少對這個錐形斜率改變的速度。n雙向耦合器EME 技術方法的散射散矩陣基礎對于周期性的結構是很合適的,， 這類問題的計算速度大約會有10倍、100倍甚至更高的提升若將 10個, 100個 或者更多的週期性結構做分解則會加快運算速度。 EME算法先計算一個周期的S-matrix，,然后再將在每個周期中重復使用該的S-matri

17、xS-matrix做矩陣相乘- 結果是計算所花的時間與周期數目呈現對數的關系。圖 8 說明我們在歐洲 COST240 項目的一部分中利用 EME設計一個典型周期性的組件,其中可以利用 EME 作為的實例歐洲 COST240 設計的一部分。這個組件設計能使光從最頂端的波導,與在下面薄層的基本模態做耦合。 這個結構已經被提出作為一個實用的光束擴大器使用。環形共振器 能像仿真近軸問題依樣有效率地模擬廣角度甚至是 全方向 (omni-direction)問題的能力能量的描述和 能充分闡釋EME 演算方法的靈活性是指當它在近軸時,它能有效地模擬廣角度和處理 omni-directional 問題的能力和

18、其強大功能。 圖 9 顯示光場由 FIMMPROP-3D 所計算的在一個環形共振器中的光場計算。這些計算細節顯示在下如下面顯示這些計算細節。計算型式: 全向量, 2D, 雙向計算窗口: 6mm x 6mm6mm x 6mm模態數目:60計算時間:(S-matrix)58s對于廣角度的計算需注意, 在這種情況下我們需要提供更多的模態來做模擬-此種情況下模態數目為60。BPM 的技巧方法, 由于它光近軸近似假設的近似基本上不能在無法模擬這裡模擬這樣的一個結構,。另一個不同于這裡我們選擇 EME的選擇 和是 FDTD 的技術。 FDTD 有自己的其分析能力強的環節和薄弱的環節的優點與缺點。 例如像這樣的一個共振器的結構, FDTD 算法在的時間領域本質的性質意味著它必須花較長時間的運算才會呈現精確穩定的狀態。 相對地, 頻率領域本質的 EME算法沒有辦法反覆在不須重復的遞回運算及能傳送精確的波長響應。光子晶體設計