流體力學彭杰清華大學航天航空學院第二章流體運動學采用數學分析和幾何描述的方法研究流體運動的規律，不研究運動產生和變化的原因2023/4/621.描述流體運動的兩種方法2.流場的幾何描述3.流體微團運動分析4.流場的旋度5.給定流場散度和旋度求速度場§2.1描述流體運動的兩種方法在流體力學中主要采用兩種方法來描述流體的運動拉格朗日法：

以流場中個別質點的運動作為研究出發點，從而進一步研究整個流體的運動，這種方法是質點系力學研究方法的自然延續。歐拉法：

以流體流過空間某點時的運動特性作為研究的出發點，從而研究流體在整個空間里的運動情況。2023/4/63Joseph-LouisLagrangeLeonhardEuler§2.1描述流體運動的兩種方法拉格朗日法格朗日法通過兩個方面來描述流場：某一運動的流體質點各種物理量隨時間的變化(時間)；相鄰質點間這些物理量的變化（空間）。拉格朗日法實現的關鍵是建立識別每個質點的標記方法。流體質點初始時刻的坐標與流體質點一一對應可用來標記流體質點2023/4/64§2.1描述流體運動的兩種方法2023/4/65以質點在時刻的坐標作為標記在時刻質點的位置其中為常數，表明研究的是質點§2.1描述流體運動的兩種方法2023/4/66對任意質點，在任意時刻的位置其中為自變量，稱為拉格朗日變量稱為流體質點的位移函數固定：表示某個確定質點的運動軌跡固定：表示時刻各質點的位置§2.1描述流體運動的兩種方法2023/4/67位移函數的兩個基本性質：1、在初始時刻，歐拉變量與拉格朗日變量的轉換2、任意時刻和是一一對應的連續函數意義：§2.1描述流體運動的兩種方法2.歐拉法

歐拉法通過以下兩個方面來描述整個流場：在空間固定點上流體物理量隨時間的變化（時間）；在相鄰空間點上這些物理量的變化（空間）。 空間點上的物理量指占據這些位置的各個流體質點的物理量，在不同時刻由不同流體質點占據，從而引起空間點上物理量的變化。2023/4/68§2.1描述流體運動的兩種方法2023/4/69在歐拉法中，流動物理量是時間和空間坐標的函數其中為自變量，稱為歐拉變量歐拉法是一種場的描述方法定常流場：與時間無關的歐拉速度場§2.1描述流體運動的兩種方法2023/4/6103.歐拉描述與拉格朗日描述的相互轉換1）拉格朗日描述變為歐拉描述

？§2.1描述流體運動的兩種方法2023/4/611例：給定拉格朗日的位移表達式其中為常數，為拉格朗日變量，求歐拉速度場由拉格朗日的位移表達式求拉格朗日速度表達式由位移表達式求反演代入拉格朗日速度表達式定常流動§2.1描述流體運動的兩種方法2023/4/6122）歐拉描述變為拉格朗日描述

？§2.1描述流體運動的兩種方法2023/4/613例：已知歐拉速度場求質點位移和速度的拉格朗日表達式由初始條件§2.1描述流體運動的兩種方法2023/4/6144.質點導數(MaterialDerivative)定義：流體質點的物理量對于時間的變化率稱作該物理量的質點導數在拉格朗日描述中，的質點導數

例如：加速度是速度的質點導數§2.1描述流體運動的兩種方法2023/4/615在歐拉描述中時刻質點的物理量時刻質點的物理量時間內該質點物理量的增量的質點導數§2.1描述流體運動的兩種方法2023/4/616歐拉描述中物理量的質點導數局部導數，由流場的非定常性引起遷移導數，由流場的非均勻性引起質點的加速度=局部加速度+遷移加速度第二章流體運動學采用數學分析和幾何描述的方法研究流體運動的規律，不研究運動產生和變化的原因2023/4/6171.描述流體運動的兩種方法2.流場的幾何描述3.流體微團運動分析4.流場的旋度5.給定流場散度和旋度求速度場§2.2流場的幾何描述2023/4/6181.跡線(Pathline,Trajectory)定義：流體質點運動的軌跡稱為跡線方程：拉格朗日描述歐拉描述§2.2流場的幾何描述2023/4/619例：已知流體的速度場在直角坐標中為求時位于的質點的軌跡由初始條件跡線的參數方程或§2.2流場的幾何描述2023/4/6202.流線(streamline)定義：流線是速度場的向量線，它是某一固定時刻的空間曲線，該曲線上任意一點的切線方向與在該點的流體速度方向一致。直角坐標系中流線方程：說明與比較：跡線是同一質點在不同時刻的運動軌跡，跡線方程中是自變量；流線是同一時刻不同質點上的速度場向量線，流線方程中是參變量，積分時做為常數。§2.2流場的幾何描述2023/4/621例：已知流體的速度場在直角坐標中為求時通過的流線方程所求的流線方程為§2.2流場的幾何描述2023/4/622流線的性質：一般情況下流線不能相交，同一時刻通過一點只有一根流線； 三個例外：駐點（速度為零），奇點（速度為無限大），相切流場中每一點都有流線通過，由這些流線形成流譜；垂直于流線方向的速度分量為零；流線形狀與選定的坐標系有關；定常流動中，流線與跡線重合。源匯§2.2流場的幾何描述2023/4/623例：已知流體的速度場在直角坐標中為求流線和跡線方程流線：跡線：消去：流線和跡線相同§2.2流場的幾何描述2023/4/624跡線：基本的拉格朗日幾何描述方法流線：基本的歐拉幾何描述方法§2.2流場的幾何描述2023/4/625脈線（streakline）和時間線（timeline）：實驗上易于實現§2.2流場的幾何描述2023/4/6263.流管（stream-tube）在給定瞬時，通過任一非流線的曲線上各點作流線，這些流線組成的曲面稱為“流面”在給定瞬時，通過任一非流線的封閉曲線上各點作流線，由這些流線構成的管狀曲面稱為“流管側面”,該曲面包圍的空間稱為“流管”流管的性質：流管側面不可能有流體通過；流管不可能在流場內部中斷：流管只能始于或終于流場邊界、或成環形、或伸展到無窮遠處§2.2流場的幾何描述2023/4/6274.光滑流體線與光滑流體面的保持性流體線：同一時刻由確定的一組連續排列的流體質點所組成的線，稱為流體線處處連續且可微的流體線稱為光滑流體線。流體面：同一時刻由確定的一組連續排列的流體質點所組成的面，稱為流體面處處連續且可微的流體面稱為光滑流體面。光滑流體線（面）的保持性：光滑流體線（面）在運動過程中始終保持為光滑流體線（面），且其上流體質點的排列順序不隨時間變化，因此處于流體線兩端的流體質點始終處于兩端，處于流體面邊界上的流體質點始終位于流體面邊界上。§2.2流場的幾何描述2023/4/628數學描述：設光滑流體界面的方程為由于流體運動，界面也隨之運動，在時刻，它的方程為因為它是光滑流體面且具有保持性，對上式進行Taylor展開第二章流體運動學采用數學分析和幾何描述的方法研究流體運動的規律，不研究運動產生和變化的原因2023/4/6291.描述流體運動的兩種方法2.流場的幾何描述3.流體微團運動分析4.流場的旋度5.給定流場散度和旋度求速度場§2.3流體微團運動分析2023/4/6301.幾何分析正交微元六面體經過微小時間間隔將變成斜平行六面體平行移動：六面體整體平移到新位置；線變形：六面體經過O點的三條正交流體線伸長或縮短，引起六面體體積膨脹或壓縮；角變形：過O點有三個正交流體面，每個正交流體面的兩正交流體線之間角度的變化，引起六面體形狀變化；轉動：六面體象剛體一樣轉動。§2.3流體微團運動分析2023/4/6312.線變形率單位時間內流體線的相對伸長，稱為線變形速率流體微團的體積在單位時間內的相對變化，稱為流體微團體積膨脹速率流體微團體積膨脹速率=三個方向線變形速率之和

=流體散度不可壓縮流體§2.3流體微團運動分析2023/4/6323.流體旋轉角速度過同一點的任意兩條正交微元流體線，在它們所在的平面上的旋轉角速度的平均值，稱為該點流體的旋轉角速度在垂直該平面方向的分量§2.3流體微團運動分析2023/4/6334.角變形率微元平面上兩垂直線段夾角在單位時間內減小量之半稱為該面的角變形率，用表示，下標表示線段所在的平面。§2.3流體微團運動分析2023/4/634線變形率角變形率旋轉角速度上述物理量是相互獨立的，從中可以有如下9個獨立控制量§2.3流體微團運動分析2023/4/6355.流體的速度梯度張量流體微團上任一點的速度由參考點的速度和線變形率、角變形率以及旋轉角速度控制流體的速度梯度張量（二階張量）§2.3流體微團運動分析2023/4/636流體的速度梯度張量(二階張量)可分解為一個對稱張量和一個反對稱張量變形率張量二階對稱張量，6個獨立分量旋轉張量二階反對稱張量，3個獨立分量§2.3流體微團運動分析2023/4/6376.海姆霍茲速度分解定理某參考點附近任一點上的速度可以分為三個部分與參考點相同的平移速度；變形在該點引起的速度；繞參考點轉動在該點引起的速度。有旋流動和無旋流動流動無旋流動有旋流體微團的運動=平動+變形+轉動有旋與無旋分開聯系變形率與應力§2.3流體微團運動分析2023/4/638流動有旋：流體微團自身旋轉例：分別求以下兩個流場中流體質點的跡線和準剛體旋轉的角速度流場定常，流線和跡線重合(a)(b)第二章流體運動學采用數學分析和幾何描述的方法研究流體運動的規律，不研究運動產生和變化的原因2023/4/6391.描述流體運動的兩種方法2.流場的幾何描述3.流體微團運動分析4.流場的旋度5.給定流場散度和旋度求速度場§2.4流場的旋度2023/4/640渦量場的向量線稱為渦線；給定瞬間，通過某一曲線（非渦線）的所有渦線構成的曲面稱為渦面；

渦面對于渦量具有不可穿透性管狀渦面的內域稱為渦管。1.渦量場及其性質定義：速度場的旋度稱為渦量。性質：渦量場是管式場（散度為零）。渦線、渦面和渦管§2.4流場的旋度2023/4/641通過某一開口曲面的渦量總和稱為渦通量在給定瞬間，沿渦管各截面上的渦通量大小相等，并將該渦通量的絕對值稱為渦管強度渦通量和渦管強度推論：在流場中渦管不能消失，只能兩端延伸到無窮遠、或形成封閉渦環、或中止于物面及其它邊界上§2.4流場的旋度2023/4/6422.速度環量定義：在速度場中，速度沿封閉周線的線積分稱為繞該周線的速度環量定理：速度環量等于張在封閉周線上任意曲面的渦通量，其中曲面法向與的方向由右手規則確定對于無旋流動,一定存在一個標量函數，使得,稱為速度勢3.無旋流動和速度勢流動無旋速度有勢2023/4/643引入流線坐標系，流線單位矢導數流動沿密切面而行，渦量在副法線方向投影渦量在流動密切面法向分量的分解2023/4/644曲率渦量和切變渦量從運動學的角度，流線彎曲和速度切變梯度是出現渦量的兩要素渦量在流動密切面法向分量的分解2023/4/645例3

平面泊肅葉流,流線是直線

與例1相同

與例1大小相等，符號相反

渦量在流動密切面法向分量的分解第二章流體運動學采用數學分析和幾何描述的方法研究流體運動的規律，不研究運動產生和變化的原因2023/4/6461.描述流體運動的兩種方法2.流場的幾何描述3.流體微團運動分析4.流場的旋度5.給定流場散度和旋度求速度場§2.5給定流場散度和旋度求速度場2023/4/6471.由速度場的散度和旋度確定速度場的唯一性定理定理：已知域內速度場的散度和旋度以及邊界上的法向速度，則可唯一確定域內的速度場。給定則的解是唯一的。速度場的求解可分為三個部分：

是無旋有散的一個解

是無散有旋的一個解

是無散無旋滿足邊界條件的一個解§2.5給定流場散度和旋度求速度場2023/4/6482.由速度場的散度求速度場§2.5給定流場散度和旋度求速度場2023/4/649設速度場的散度為函數例：點源誘導的速度場為包含的任意體積點源球坐標中§2.5給定流場散度和旋度求速度場2023/4/6503.由速度場的旋度求速度場散度方程自動滿足令1）若選擇使得，則畢奧-薩法爾公式（渦誘導速度公式）§2.5給