1、第1課時(shí)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程核心必知1預(yù)習(xí)教材，問(wèn)題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P45P48的內(nèi)容，回答下列問(wèn)題(1)觀察教材P45圖2.21，思考下列問(wèn)題：在點(diǎn)M移動(dòng)的過(guò)程中，的值發(fā)生變化嗎？提示：不變.|FF2|動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？提示：雙曲線(2)利用教材P46圖2.22所建立的坐標(biāo)系，類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，思考怎樣求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？提示：設(shè)M(x，y)，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，由2a，可得1，令b2c2a2，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)2歸納總結(jié)，核心必記(1)雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的

2、軌跡叫做雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上a，b，c的關(guān)系c2a2b2問(wèn)題思考(1)雙曲線的定義中強(qiáng)調(diào)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值為常數(shù)，若沒有絕對(duì)值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？提示：雙曲線的一支(2)在雙曲線的定義中，必須要求“常數(shù)小于|F1F2|”，那么“常數(shù)等于|F1F2|”，“常數(shù)大于|F1F2|”或“常數(shù)為0”時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什

3、么？提示：如果定義中常數(shù)等于|F1F2|，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(包括端點(diǎn))如果定義中常數(shù)大于|F1F2|，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在如果定義中常數(shù)為0，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線(3)如何判斷方程1(a>0，b>0)和1(a>0，b>0)所表示雙曲線的焦點(diǎn)位置？提示：若x2的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上，若y2的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在y軸上(4)方程1表示哪種曲線呢？提示：當(dāng)mn>0時(shí)表示圓；當(dāng)m>n>0或n>m>0時(shí)表示橢圓；當(dāng)mn<0時(shí)表示雙曲線(5)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的a，b，c之間的關(guān)系有什么區(qū)

4、別？提示：在橢圓中a2b2c2，在雙曲線中c2a2b2課前反思(1)雙曲線的定義是：；(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：；(3)如何由雙曲線方程確定焦點(diǎn)的位置？思考要求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)確定哪些條件？名師指津：(1)確定焦點(diǎn)的位置；(2)確定a和b的值講一講1根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，Q； (2)c，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，2)，焦點(diǎn)在x軸上嘗試解答(1)法一：若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，由于點(diǎn)P和Q在雙曲線上，所以解得(舍去)若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，將P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得解得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：

5、設(shè)雙曲線方程為1(mn<0)P、Q兩點(diǎn)在雙曲線上，解得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)法一：依題意可設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)依題設(shè)有解得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.法二：焦點(diǎn)在x軸上，c，設(shè)所求雙曲線方程為1(其中0<<6)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，2)，1，5或30(舍去)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y21.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相似，可以先根據(jù)其焦點(diǎn)位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求出a，b的值若焦點(diǎn)位置不確定，可按焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過(guò)程復(fù)雜，注意到雙曲線過(guò)兩定點(diǎn)，可設(shè)其方程為mx2ny21(mn<

6、0)，通過(guò)解方程組即可確定m、n，避免了討論，實(shí)為一種好方法練一練1求滿足下列條件的雙曲線方程：(1)焦點(diǎn)在y軸上，且過(guò)點(diǎn)(3，4)和；(2)與雙曲線1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3，2)解：(1)由已知可設(shè)所求雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則解得雙曲線的方程為1.(2)法一：設(shè)雙曲線方程為1.由題意易求得c2.又雙曲線過(guò)點(diǎn)(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求雙曲線的方程為1.法二：設(shè)雙曲線方程為1(4<k<16)，將點(diǎn)(3，2)代入得k4，所求雙曲線方程為1.講一講2如圖，若F1，F(xiàn)2是雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等

7、于16，求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離；(2)若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1|·|PF2|32，試求F1PF2的面積嘗試解答雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，故a3，b4，c5.(1)由雙曲線的定義得2a6，又雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，假設(shè)點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于x，則|16x|6，解得x10或x22.故點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10或22.(2)將2a6，兩邊平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|·|PF2|362×32100.在F1PF2中，由余弦定理得cos F1PF20，F(xiàn)1PF2

8、90°，SF1PF2|PF1|·|PF2|×3216. (1)求雙曲線上一點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離時(shí)，若已知該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求結(jié)果；若已知該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離，則根據(jù)2a求解，注意對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行必要的驗(yàn)證(負(fù)數(shù)應(yīng)該舍去，且所求距離應(yīng)該不小于ca)(2)在解決雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要注意定義中的條件2a的應(yīng)用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用練一練2已知雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，若雙曲線上一點(diǎn)P使得F1PF260°，求F1PF2的面積解：由

9、1，得a3，b4，c5.由定義和余弦定理得|PF1|PF2|±6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60°，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|64，則SF1PF2|PF1|·|PF2|·sinF1PF2×64×16.講一講3如圖，在ABC中，已知|AB|4，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sin Asin C2sin B，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程嘗試解答以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，

10、則A(2，0)，B(2，0)由正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R為ABC的外接圓半徑)因?yàn)?sin Asin C2sin B，所以2ac2b，即ba，從而有|CA|CB|AB|2<|AB|.由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點(diǎn))因?yàn)閍，c2，所以b2c2a26，即所求軌跡方程為1(x>) (1)求解與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，常見的方法有兩種：列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)得到方程；尋找?guī)缀侮P(guān)系，由雙曲線的定義，得出對(duì)應(yīng)的方程(2)求解雙曲線的軌跡問(wèn)題時(shí)要特別注意：雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；檢驗(yàn)所求的軌跡對(duì)應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支練一練3如圖所示，已知

11、定圓F1：(x5)2y21，定圓F2：(x5)2y242，動(dòng)圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程解：圓F1：(x5)2y21，圓心F1(5，0)，半徑r11；圓F2：(x5)2y242，圓心F2(5，0)，半徑r24.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，則有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|3<10|F1F2|.點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a，c5，于是b2c2a2.動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為1.課堂歸納·感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，難點(diǎn)是雙曲線定義的應(yīng)用2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，見講1；(

12、2)利用雙曲線的定義解決與焦點(diǎn)有關(guān)的三角形問(wèn)題，見講2；(3)求與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題，見講3.3雙曲線定義中2a(2a<|F1F2|)不要漏了絕對(duì)值符號(hào)，當(dāng)2a|F1F2|時(shí)表示兩條射線在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，a>b不一定成立要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別在橢圓中a2b2c2，在雙曲線中c2a2b2.這是本節(jié)課的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（九） 即時(shí)達(dá)標(biāo)對(duì)點(diǎn)練題組1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1雙曲線1的焦距為()A3 B4 C3 D4解析：選D由雙曲線1可知，a，b，c2a2b212.c2，焦距為2c4.2已知雙曲線的a5，c7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1C.1或 1D.0或 0解析

13、：選C由于焦點(diǎn)所在軸不確定，有兩種情況又a5，c7，b2725224.3若方程1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(1，3) B(1，)C(3，) D(，1)解析：選B依題意，應(yīng)有m1>0，即m>1.4焦點(diǎn)分別為(2，0)，(2，0)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax21 B.y21Cy21 D.1解析：選A由雙曲線定義知，2a532，a1.又c2，b2c2a2413，因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.題組2雙曲線定義的應(yīng)用5已知F1(8，3)，F(xiàn)2(2，3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|PF2|10，則P點(diǎn)的軌跡是()A雙曲線 B雙曲線的一支C直線 D一條射線解析：選DF

14、1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，且|F1F2|10，所以滿足條件|PF1|PF2|10的點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為一條射線6雙曲線 1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，雙曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離是12，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離是()A17 B7 C7或17 D2或22解析：選D依題意及雙曲線定義知，10，即12|PF2|±10，|PF2|2或22，故選D.7若橢圓1(m>n>0)和雙曲線1(s，t>0)有相同的焦點(diǎn)F1和F2，而P是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的值是()Ams B.(ms)Cm2s2 D.解析：選A不妨設(shè)點(diǎn)P是兩曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，由題意得解得則|P

15、F1|·|PF2|()()ms.題組3與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題8已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)B(4，0)，且和定圓(x4)2y216相切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.1(x>0) B.1(x<0)C.1 D.1解析：選C設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，依題意有|MB|r，另設(shè)A(4，0)，則有|MA|r±4，即|MA|MB|±4，亦即動(dòng)圓圓心M到兩定點(diǎn)A、B的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)4，又4<|AB|，因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線，且c4，2a4，a2，a24，b2c2a212，故軌跡方程是1.9ABC的一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)B(a，0)，C(a，0)(a>0)，另兩邊的斜

16、率之積等于m(m0)求頂點(diǎn)A的軌跡方程，并且根據(jù)m的取值情況討論軌跡的圖形解：設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，則kAB，kAC.由題意，得·m，即1(y0)當(dāng)m>0時(shí)，軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(兩頂點(diǎn)除外)；當(dāng)m<0且m1時(shí)，軌跡是中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓(除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn))，其中當(dāng)1<m<0時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m<1時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m1時(shí)，軌跡是圓心在原點(diǎn)，半徑為a的圓(除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn))能力提升綜合練1雙曲線8kx2ky28的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，則k的值是()A1 B1 C. D解析：選B原方程可化為1

17、，由焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)可知c3，且焦點(diǎn)在y軸上，k<0.c29，k1.2橢圓1與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，則a的值是()A. B1或2 C1或 D1解析：選D由于a>0，0<a2<4，且4a2a2，所以可解得a1，故選D.3已知定點(diǎn)A，B且|AB|4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|3，則|PA|的最小值為()A. B. C. D5解析：選C如圖所示，點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上的點(diǎn)，當(dāng)P在M處時(shí)，|PA|最小，最小值為ac2.4已知雙曲線中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F1(，0)，點(diǎn)P位于該雙曲線上，線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，則該雙曲線的方程是()A.y21 Bx2

18、1C.1 D.1解析：選B由題意可設(shè)雙曲線方程為1，又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P(，4)，1，解得a21.5已知方程1表示的曲線為C.給出以下四個(gè)判斷：當(dāng)1<t<4時(shí)，曲線C表示橢圓；當(dāng)t>4或t<1時(shí)， 曲線C表示雙曲線；若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1<t<；若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則t>4.其中判斷正確的是_(只填正確命題的序號(hào))解析：錯(cuò)誤，當(dāng)t時(shí)，曲線C表示圓；正確，若C為雙曲線，則(4t)(t1)<0，t<1或t>4; 正確，若C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4t>t1>0.1<t<； 正確，若曲線

19、C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則t>4.答案：6若雙曲線x24y24的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過(guò)F2的直線交右支于A、B兩點(diǎn)，若|AB|5，則AF1B的周長(zhǎng)為_解析：由雙曲線定義可知|AF1|2a|AF2|4|AF2|；|BF1|2a|BF2|4|BF2|，|AF1|BF1|8|AF2|BF2|8|AB|13.AF1B的周長(zhǎng)為|AF1|BF1|AB|18.答案：187雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上若PF1PF2，求點(diǎn)P到x軸的距離解：設(shè)點(diǎn)P為(x0，y0)，而F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0)，即(5x0)(5x0)(y0)·(y0)0，整理，得xy25.P(x0，

20、y0)在雙曲線上，1.聯(lián)立，得y，即|y0|.因此點(diǎn)P到x軸的距離為.8已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(3，2)且與橢圓4x29y236有相同的焦點(diǎn)(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)M在雙曲線上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，且|MF1|MF2|6，試判別MF1F2的形狀解：(1)橢圓方程可化為1，焦點(diǎn)在x軸上，且c，故設(shè)雙曲線方程為1，則有解得a23，b22，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)不妨設(shè)點(diǎn)M在右支上，則有|MF1|MF2|2，又|MF1|MF2|6，故解得|MF1|4，|MF2|2.又|F1F2|2，因此在MF1F2中，邊MF1最長(zhǎng)，因?yàn)閏os MF2F1<0，所以MF2F1為鈍角，故MF1F2

21、為鈍角三角形第2課時(shí)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性核心必知1預(yù)習(xí)教材，問(wèn)題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P49P53的內(nèi)容，回答下列問(wèn)題類比橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合圖象，你能得到雙曲線1(a>0，b>0)的哪些幾何性質(zhì)？提示：雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率2歸納總結(jié)，核心必記(1)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)(±c，0)(0，±c)焦距2c2c范圍xa或xa，yRya或ya，xR對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸和y軸，中心：(0，0)頂點(diǎn)(±a，0)(0，±a)軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b離心率

22、e(1，)漸近線y±xy±x(2)等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，它的漸近線是y±x.問(wèn)題思考(1)如何用a，b表示雙曲線的離心率？提示：e(2)橢圓的離心率反映了橢圓的扁圓程度那么，雙曲線的離心率與開口大小有關(guān)系嗎？怎樣反映這種關(guān)系？提示：e，當(dāng)e越大時(shí)，雙曲線開口越大；當(dāng)e越小，接近于1時(shí)，雙曲線開口越小(3)雙曲線1與1的漸近線有什么關(guān)系？提示：雙曲線1與1的漸近線相同(4)等軸雙曲線的離心率為何值？提示：e，即等軸雙曲線的離心率為課前反思(1)雙曲線的幾何性質(zhì)有哪些？；(2)等軸雙曲線的定義：講一講1求雙曲線9x216y21440的半實(shí)軸長(zhǎng)

23、、半虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程，并畫出這個(gè)雙曲線的草圖嘗試解答把方程9x216y21440化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由此可知，半實(shí)軸長(zhǎng)a3，半虛軸長(zhǎng)b4，c5，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，5)，(0，5)；離心率e；漸近線方程為y±x±x.雙曲線的草圖如圖所示已知雙曲線方程求其幾何性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)方程的先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，確定方程中a，b的對(duì)應(yīng)值，利用c2a2b2得到c，然后確定雙曲線的焦點(diǎn)位置，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)練一練1求雙曲線4y29x24的半實(shí)軸長(zhǎng)、半虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程，并畫出該雙曲線的草圖解：將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程1，可知半實(shí)軸長(zhǎng)a，半虛軸長(zhǎng)b1.于是

24、有c，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為e，漸近線方程為y±x，即y±x.雙曲線的草圖如圖所示.講一講2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)一個(gè)焦點(diǎn)為(0，13)，且離心率為；(2)與雙曲線x22y22有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)M(2，2)嘗試解答(1)依題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且c13，又，所以a5，b12，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)所求雙曲線與雙曲線x22y22有公共漸近線，設(shè)所求雙曲線方程為x22y2.又雙曲線過(guò)點(diǎn)M(2，2)，則222·(2)2，即4.所求雙曲線方程為1. (1)根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，常用方法是先定型(焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上)，再定量(確定a2

25、，b2的值)要特別注意a2b2c2的應(yīng)用，并注意不要與橢圓中的關(guān)系相混淆 (2)如果已知雙曲線的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，但不知焦點(diǎn)所處的位置，也可把雙曲線方程設(shè)為mx2ny21(m，n同號(hào))，然后由條件求m，n.(3)與雙曲線1具有共同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為(0)，然后再結(jié)合其他條件求出的值即可得到雙曲線方程練一練2求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且滿足下列條件的雙曲線方程：(1)與橢圓1有公共焦點(diǎn)，且離心率e； (2)虛軸長(zhǎng)為12，離心率為.解：(1)設(shè)雙曲線的方程為1(4<<9)，則a29，b24，c2a2b25.e，e2，解得5，所求雙曲線的方程為y21.(2)設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

26、為1(a>0，b>0)或1(a>0，b>0)由題設(shè)知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.講一講3(1)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A. B2 C. D.(2)過(guò)雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為_嘗試解答(1)不妨取點(diǎn)M在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則|BM|AB|2a，MBx180°120°60

27、76;，M點(diǎn)的坐標(biāo)為.M點(diǎn)在雙曲線上， 1，ab，ca，e.故選D.(2)如圖所示，不妨設(shè)與漸近線平行的直線l的斜率為，又直線l過(guò)右焦點(diǎn)F(c，0)，則直線l的方程為y(xc)因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，代入雙曲線方程得1，化簡(jiǎn)得yb或yb(點(diǎn)P在x軸下方，故舍去)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a，b)，代入直線方程得b(2ac)，化簡(jiǎn)可得離心率e2.答案(1)D(2)2求雙曲線離心率的常用方法(1)依據(jù)條件求出a，c.計(jì)算e； (2)依據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，一種方法是消去b轉(zhuǎn)化成離心率e的方程求解，另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化成含的方程，求出后利用e求解練一練3已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b

28、>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，PQ是經(jīng)過(guò)F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，如果PF2Q90°，求雙曲線的離心率解：設(shè)F1(c，0)，將xc代入雙曲線的方程得1，則y±.由|PF2|QF2|，PF2Q90°，知|PF1|F1F2|，2c，b22ac.c22aca20，2×10.即e22e10.e1或e1(舍去)所求雙曲線的離心率為1.講一講4已知直線l：xy1與雙曲線C：y21(a>0) (1)若a，求l與C相交所得的弦長(zhǎng)；(2)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求雙曲線C的離心率e的取值范圍嘗試解答(1)當(dāng)a時(shí)，雙曲線C的方程為4x2y21，聯(lián)立消去y，得3x22x

29、20.設(shè)兩交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，則|AB|·×.(2)將yx1代入雙曲線y21，得(1a2)x22a2x2a20，解得0<a<且a1.雙曲線的離心率e，e>且e.即離心率e的取值范圍是(，) (1)判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常是將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，方程組解的個(gè)數(shù)就是直線與雙曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，聯(lián)立方程消去x或y中的一個(gè)后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2項(xiàng)或y2項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況，否則容易漏解(2)直線ykxb與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d·|x1x2| |y1y2|.練一練4若直線ykx

30、1與雙曲線x2y24只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值等于_解析：由得(1k2)x22kx50.直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則式只有一個(gè)解當(dāng)1k20，即k±1時(shí)，式只有一個(gè)解；當(dāng)1k20時(shí)，應(yīng)滿足4k220(1k2)0，解得k±，故k的值為±1或±.答案：±1或±課堂歸納·感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是雙曲線幾何性質(zhì)的求法，難點(diǎn)是直線與雙曲線的位置關(guān)系2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)，見講1；(2)由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程，見講2；(3)雙曲線離心率的求法，見講3.3直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)有兩種情況：(

31、1)直線與雙曲線相切；(2)直線與雙曲線的漸近線平行這也是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)4漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)兩方程了解密切，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)右邊的常數(shù)1換為0，就是漸近線方程反之由漸近線方程ax±by0變?yōu)閍2x2b2y2(0)，再結(jié)合其他條件求得就可得雙曲線方程課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（十） 即時(shí)達(dá)標(biāo)對(duì)點(diǎn)練題組1根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)1雙曲線mx2y21的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m的值為()A B4 C4 D.解析：選A由雙曲線方程mx2y21，知m<0，則雙曲線方程可化為y21，則a21，a1.又虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，b2，b24，m.2雙曲線1的漸近

32、線方程是()Ay±x By±xCy±x Dy±x解析：選A由0，得y2x2，即y±x.3已知雙曲線1的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.解析：選B由題意可知， 此雙曲線為等軸雙曲線等軸雙曲線的實(shí)軸與虛軸相等，則ab，ca，于是e.題組2由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程4已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(4，0)，(4，0)，則雙曲線方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選A由題意知c4，焦點(diǎn)在x軸上，所以1e24，所以，又由a2b24a2c216，得a24，b212.所以雙曲線方程為1.5中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在x軸上，

33、一個(gè)焦點(diǎn)在直線3x4y120上的等軸雙曲線方程是()Ax2y28 Bx2y24Cy2x28 Dy2x24解析：選A令y0得，x4，等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)，c4，a2c2×168，故選A.6已知雙曲線兩頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為y±x，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)以y±x為漸近線的雙曲線方程為(0)，當(dāng)>0時(shí)，a24，2a26.當(dāng)<0時(shí)，a29，2a261.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1和1.題組3求雙曲線的離心率7設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，則該雙曲線

34、的離心率為()A. B. C4 D.解析：選D由雙曲線的定義知，(|PF1|PF2|)24a2，所以4a2b23ab，即3·4，解得4(1舍去)因?yàn)殡p曲線的離心率e，所以e，故選D.8已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作等邊三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率e_解析：依題意知，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，不妨設(shè)M在x軸上方，則M(0，c)，所以MF1的中點(diǎn)為，代入雙曲線方程可得1，又c2a2b2，所以1，整理得e48e240，解得e242(e242<1舍去)，所以e1.答案：1題組4直線與雙曲線的

35、位置關(guān)系9已知雙曲線方程為x21，過(guò)P(1，0)的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則l的條數(shù)為()A4 B3 C2 D1解析：選B雙曲線方程為x21，故P(1，0)為雙曲線右頂點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共3條(一條切線和兩條與漸近線平行的直線)10若直線ykx2與雙曲線x2y26的右支交于不同的兩點(diǎn)，那么k的取值范圍是_解析：由得x2(kx2)26.則(1k2)x24kx100有兩個(gè)不同的正根則得<k<1.答案：能力提升綜合練1如圖，axyb0和bx2ay2ab(ab0)所表示的曲線只可能是()解析：選C直線方程可化為yaxb，曲線方程可化為1，若a>0，b>0，則曲線表示橢圓，可排除A、B、D，若a>0，b<0，C符合2中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的實(shí)軸與虛軸長(zhǎng)相等，一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則雙曲線方程為()Ax2y22 Bx2y2Cx2y21 Dx2y2解析：選A設(shè)雙曲線方程為x2y2(>0)，漸近線方程為y±x，焦點(diǎn)到漸近線的距離，c2.2c24，2.3已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為()Ay±x By±xCy