1、WORD格式不等式的性質與一元二次不等式1、兩個實數比較大小的方法aa b>0" a>bb>1" a>ba1" a(1)作差法a b 0" ab(a，bR)；(2)作商法b(aR，b>0)a b<0" a<bbab<1" a<b專業資料整理WORD格式2、不等式的根本性質性質性質內容對稱性a>b" b<a傳遞性a>b，b>c" a>c可加性a>b" a c>bc可乘性錯誤 ! " ac>bc錯誤

2、 ! " ac<bc同向可加性錯誤 ! " ac>bd同向同正可乘性錯誤 ! " ac>bd可乘方性a>b>0" an nN )>b (n可開方性a>b>0"nna>b(nN)3、不等式的一些常用性質(1)倒數的性質：特別提醒"""注意 c 的符號""a，b 同為正數專業資料整理WORD格式 a>b，ab>0"1 1； a<0<b"1 1； a>b>0,0<c<d"

3、a b ；0<a<x<b或1 1 1a<ba<bc>d.a<x<b<0" b<x<a(2)有關分數的性質：若 a>b>0， m>0，那么，b bmb b ma a ma am a<am；a>am(bm>0)；b>bm；b<bm(b m>0)4、“ 三個二次的關系專業資料整理WORD格式1專業資料整理WORD格式判別式 b24ac>0 0<0yax2bx c(a>0)的圖像2bx c 0(a>0)有兩相異實根有兩相等實根ax2b沒有實數根的根x

4、1，x21 2x1(x <x )x2a2bxc>0(a>0) x|x<x1或 x>x2 x|xb x|xRax的解集2aax2bxc<0(a>0) x|x1<x<x2的解集5、常用結論(x a)(xb)>0 或(x a)(xb)<0 型不等式的解法不等式解集a<baba>b(x a) ·(xb)>0 x|x<a 或 x>b x|x a x|x<b 或 x>a(x a) ·(xb)<0 x|a<x<b" x|b<x<a口訣：大于取

5、兩邊，小于取中間選擇題：設 a<b<0，那么以下不等式中不成立的是 ()1 1B.11C|a|>bD. a> bA. a>b>aab由題設得 a<ab<0，有1111解析ab<a成立，即ab>a不成立假設 aln3，bln4，cln5，那么()345專業資料整理WORD格式2專業資料整理WORD格式A a<b<cBc<b<aCc<a<bDb<a<cb3ln4b5ln4解析易知 a，b，c 都是正數，a4ln3 log8164<1，a>b；c4ln5log6251024>

6、1，b>c，即 c<b<a假設 a，bR，假設 a |b|<0，那么以下不等式中正確的選項是 ()A b>03b3>0Ca2b2D aBa<0a b<0解析由 a|b|<0 知， a<0，且 |a|>|b|，當 b0 時， a b<0 成立，當 b<0 時， ab<0 成立， a b<0 成立下面四個條件中，使a>b 成立的充分而不必要的條件是()A a>b1Ba>b1Ca2>b2Da3>b3解析 由 a>b1，得 a>b1>b，即 a>b，而由 a&

7、gt;b 不能得出 a>b 1， 使 a>b 成立的充分而不必要的條件是 a>b1.111ab0<a<b，且 M1a1b，N1a1b，那么 M，N 的大小關系是 ()AM>NBM<NCMND不能確定解析11a1b2 2ab>0 0<a<b， 1 a>0,1b>0,1ab>0， MN b1a1 b1 a1實數 a，b，c 滿足 b c 6 4a3a2，cb44a a2，那么 a， b， c 的大小關系是 ()A c b>aBa>c bCc>b>aDa>c>b解析 cb44aa2 (a

8、2)2 0，cb.又 bc64a3a2，2b22a2， b a21，21 23 b a a a1(a2) 4>0，b>a， cb>a.設 a>2，Aa1a，Ba 2a2，那么 A，B 的大小關系是 ()AA>BBA<BCABDAB解析A22a 12a2 a， B22aa24，顯然 A2>B2 a1， a2(0,1)，記 Ma1a2， N a1a21，那么 M 與 N 的大小關系是 ()專業資料整理WORD格式3專業資料整理WORD格式AM<NBM>NCMND不確定解析M Na1a2(a1a2 1)a1a2 a1a21a1(a21) (a2

9、1)(a1 1)(a2 1)，又a1(0,1)，a2 (0,1)，a11<0， a21<0， (a11)(a21)>0，即 MN>0，M>N.2x1 2 xR，m (x1)(x21)，n(x2)(x x1)，那么 m， n 的大小關系為 ()A mnB m>nCm nDm<n2x2x2x解析 m (x1)(x 21)(x1)(x x21) (x1)(x x 1)2(x1)，1212212n(x2)(x x1) (x12)(xx1)(x1)(x x1)2(x x1)，2x121211 mn(x1)(x21)(x2)(x x1)2(xx1)2x(x1)2&

10、gt;0.那么有 xR時， m>n 恒成立 a，b，c 滿足 c<b<a，且 ac<0，那么以下選項中一定成立的是()A ab>acB c(b a)<0Ccb2<ab2Dac(ac)>0解析由 c<b<a 且 ac<0 知 c<0 且 a>0，由 b>c 得 ab>ac 一定成立設 a>b>1， c<0，給出以下三個結論：ca>cb； ac<bc； logb(ac)>loga (bc)其中所有的正確結論的序號是()ABCD1 1解析 由不等式性質及 a>b>

11、1 知a<b，又 c<0，ac>bc，正確；構造函數 yxc，c<0，yxc在(0，)上是減函數，又 a>b>1，ac<bc，知正確； a>b>1，c<0，ac>bc>1，logb(ac)>loga(a c)>loga (bc)，知正確2設 a，bR，那么“ (ab) ·a <0是“ a<b的 ()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析2且， 充分性成立；由 (ab) ·a<0" a0a<b專業資料整理WORD格式4專業資料

12、整理WORD格式2由 a<b" ab<0，當 0a<b 時" /(ab) ·a <0，必要性不成立設(0， 02，那么 的取值X圍是 ()2)235 5A(0，6 )B(6，6 )C(0， )D (6，) 解析由題設得 0<2<，036，630，6<23<.假設集合 A x|32x x2>0，集合x等于()B x|2 <2，那么A BA (1,3)B(， 1)C(1,1)D(3,1)解析依題意，可求得A( 1,3)，B( ， 1)， AB(1,1)集合 P x|x2x 2 0 ，Q x|log21，那么

13、RQ等于()(x 1)(" P)A 2,3B(， 13， )C (2,3D(， 1(3， )解析 依題意，得 P x|1x2 ， Qx|1<x 3 ，那么 ("RQ(2,3P)11不等式 ax2bx 1 0 的解集是2，3，那么不等式 x2bxa<0 的解集是 ()1111A (2,3)B(， 2) (3， )C. 3，2D. ，32，1111b1解析由題意知 2，3是方程 ax2bx 10 的根，所以由根與系數的關系得23 a，21122× 3a，解得 a 6，b5，不等式 xbxa<0即為 x5x 6<0，解集為 (2,3)23假設一元

14、二次不等式2kx kx8<0 對一切實數 x 都成立，那么 k 的取值X圍為 ()A(3,0B3,0)C 3,0D(3,0)23解析2kx kx8<0 對一切實數 x 都成立，2k<0，那么必有k24×2k× 3 ，解之得 3<k<0.8 <0設 a 為常數，任意 xR，ax2ax1>0，那么 a 的取值X圍是 ()專業資料整理WORD格式5專業資料整理WORD格式A (0,4)B0,4)C(0， )D(，4)解析 任意 xR，ax2ax1>0，那么必有a>0，或 a 0，0a<4.a24a<0假設 f(x)

15、3x2x1，g(x)2x2x1，那么 f(x)，g(x)的大小關系是 ()A f(x) g(x)Bf(x)g(x)Cf(x)g(x)D隨 x 的值變化而變化解析f(x)g(x)x2 2x 2 (x1)210" f(x)g(x)函數 f(x)x22x， x 0，那么不等式 f(x)3 的解集為 _x22x，x0，解析 由題意知x0，x 0，或解得 x 1.故原不等式的解集為 x|x 1x2 2x3x22x3，x2 4x6， x0，設函數 f(x)那么不等式 f(x)>f(1)的解集是 ()x6，x<0，A (3,1) (3， )B(3,1)(2， )C (1,1) (3，

16、)D(， 3)(1,3)x0，x<0，解得 3<x<1 或 x>3.解析由題意得 24x6>3或6>3xx函數 f(x)x2，x0，那么不等式 f(x) x2 的解集為 () x2，x>0，A1,1B2,2C2,1D1,2解析作出函數 y f(x)和函數 y x2的圖像，如圖，由圖知f(x) x2的解集為 1,1假設集合 A x|ax2ax 1<0 ，那么實數 a 的取值X圍是 ()A a|0<a<4B a|0a<4C a|0<a4D a|0 a4專業資料整理WORD格式6專業資料整理WORD格式解析由題意知 a0 時，滿

17、足條件， a0 時，由a>0，得 0<a 4，0 a 4 a24a 0，不等式 x2 2x3<0 的解集為 A，不等式 x2x 6<0 的解集是 B，不等式 x2axb<0 的解集是AB，那么 a b 等于 ()A 3B1C 1D3解析 由題意，得 A x|1<x<3 ，B x|3<x<2 ， A B x| 1<x<2 ，那么不等式 x2axb<0 的解集為 x|1<x<2 由根與系數的關系可知，a 1，b 2， a b 3假設不等式 2x22axa 1 有唯一解，那么 a 的值為 ()1 51 51±

18、; 51±5A.2B.2C.2D.2解析假設不等式 2x22ax a 1 有唯一解，那么 x22axa 1有兩個相等的實根，所以4a24(a 1)0，解得 a1±5，所以選 D.2假設不等式 x22x5 a23a 對任意實數 x 恒成立，那么實數 a 的取值X圍為()A 1,4B(， 25 ， )C(， 1 4，)D2,5解析 x2 2x5(x 1)24 的最小值為 4，所以 x22x5a23a 對任意實數 x 恒成立，只需 a2 3a4，解得 1a4填空題：設 a>0，且 a1，Ploga(a31)，Q loga (a2 1)，那么 P 與 Q 的大小關系是 _解析

19、由題意可知 a>1. (a3 1)(a21)a2(a 1)>0，a31>a21，loga(a31)>loga(a21)，即 P>Q.設 a>b>c>0，x a2 b c 2，y b2 ca 2，z c2 ab 2，那么 x，y，z 的大小關系是 _解析令 a3，b2，c 1，那么 x18，y20，z26，故 z>y>x.設 f(x)ax2bx，假設 1f(1) 2， 2 f(1) 4，那么 f( 2)的取值X圍是 _專業資料整理WORD格式7專業資料整理WORD格式1f 1 a b，a2f 1 f 1 ，解析由得1f(2) 4a2b3

20、f( 1)f(1)f 1 ab，b2f 1 f 1 .又1f(1)2,2f(1) 4，53f( 1)f(1)10，故 5 f( 2)10.假設關于 x 的不等式 m(x1)>x2 x 的解集為 x|1<x<2 ，那么實數 m 的值為 _解析因為 m(x 1)>x2 x 的解集為 x|1<x<2 1，2 一定是 m(x1)x2x 的解，m 2.假設關于 x 的方程 x2ax a210 有一正根和一負根，那么a 的取值X圍為 _解析由題意可知，>0且 x1x2 a21<0，故 1<a<1對任意的 k 1,1，函數 f(x)x2(k 4)x

21、 4 2k 的值恒大于零，那么x 的取值X圍是 _解析x2 (k4)x42k>0 恒成立，即 g(k)(x 2)k (x24x4)>0，x25x6>0，在 k1,1時恒成立只需g(1)>0且g(1)>0，即x23x2>0，解之得x<1或x>3.函數 f(x)x2mx1，假設對于任意 xm，m 1，都有 f(x)<0 成立，那么實數 m 的取值X圍是 _解析作出二次函數 f(x)的草圖，對于任意xm ，m 1，都有 f(x)<0，2m21<0，2f m <0m解得那么有，即2m m 12 <m<0.m11<

22、0，f m1 <0函數 f(x)x22xax，假設對任意 x1 ， )，f(x)>0 恒成立，那么實數 a 的取值X圍是 _22x a解析 x1 ， )時， f(x)xx>0 恒成立，即 x22x a>0 恒成立即當 x1 時， a> (x22x)g(x)恒成立而 g(x) (x2 2x) (x1)21 在1 ，)上單調遞減， g(x)max g(1) 3，故 a> 3，實數 a 的取值X圍是 a|a>3 專業資料整理WORD格式8專業資料整理WORD格式1假設 0<a<1，那么不等式 (ax)(xa)>0 的解集是 _111解析原不

23、等式即 (x a)(xa)<0，由 0<a<1 得 a<a，a<x<a.ax 11關于 x 的不等式x1 <0 的解集是 x|x<1或 x>2，那么實數 a _.ax111解析x1 <0" (x 1)(ax1)<0，依題意，得 a<0，且a2. a 2.設 f(x)是定義在R上的以 3 為周期的奇函數，假設 f(1)>1，f(2)2a3，那么實數 a 的取值X圍是 _a1解析 f(x3) f(x) ，f(2) f( 13)f( 1) f(1)< 1.2a33a 22 1<1"a1<

24、;0" (3a2)(a1)<0，1<a<3.a假設不等式 x2ax2 0 在區間 1,5上有解，那么實數 a 的取值X圍是 _解析設 f(x)x2ax2，由題知：a2 8 0，所以方程 x2ax20 恒有一正一負兩根，于是不等式 x2 ax20 在區間 1,5 上有解的充要條件是 f(5)0，即 a23， .5124假設關于 x 的不等式 ax b 的解集為，5，那么關于 x 的不等式 ax bx5a 0 的解集為 _1b 14解析由 axb 的解集為，5，可知 a0，且a5，將不等式 ax2bx5a0 兩邊同除以，得2b4 0，即 x2140，解得 1 x4，故不

25、等式 ax2bx4的解集為1，4axax55x555a 05 .不等式 a28b2b(a b)對于任意的 a， bR恒成立，那么實數的取值X圍為 _解析因為 a2 8b2b(ab)對于任意的 a，bR恒成立，所以 a2 8b2 b(ab)0 對于任意的 a，bR恒成立，即 a2ba(8)b20 恒成立，由二次不等式的性質可得，22222 4(8)b b(4 32)0，(8)(4)0，解得 84.b解答題：設函數 f(x) mx2mx1.假設對于 x1,3 ，f(x)< m5 恒成立，求 m 的取值X圍2123解x x 1 x24>0，專業資料整理WORD格式9專業資料整理WORD格

26、式26又m(x x 1)6<0， m<x2x1.663在1,3上的最小值為666函數 yx2x1127，只需 m<7即可， m 的取值X圍是m|m<7 .x24設二次函數 f(x)ax2bxc，函數 F(x)f(x) x 的兩個零點為m，n(m<n)(1)假設 m 1，n2，求不等式 F(x)>0 的解集；1(2)假設 a>0，且 0<x<m<n<a，比較 f(x)與 m 的大小解 (1)由題意知， F(x) f(x) x a(x m)(x n)當 m 1， n 2 時，不等式 F(x)>0，即 a(x1)(x2)>

27、0.當 a>0 時，不等式 F(x)>0 的解集為 x|x< 1 或 x>2 ；當 a<0 時，不等式 F(x)>0 的解集為 x|1<x<2 (2)f(x)mF(x)x ma(xm)(x n)xm(x m)(axan 1)，1 a>0，且 0<x<m<n<a， x m<0,1anax>0，f(x)m<0，即 f(x)<m. f(x) 3x2 a(6a)x6.(1)解關于 a 的不等式 f(1)0；(2)假設不等式 f(x) b 的解集為 ( 1,3)，*數 a，b 的值解 (1)由題意知 f

28、(1) 3 a(6 a)6 a2 6a30，即 a2 6a30，解得 32 3 a 32 3，不等式的解集為 a|32 3 a 32 3 (2)f(x)b 的解集為 (1,3)，方程 3x2a(6a)x6b0 的兩根為 1,3，13a 6a，a3± 3，3解得6b，即 a 的值為 3± 3，b 的值為 3.1b 3.×33，專項能力提升假設 a>b>0，那么以下不等式中一定成立的是 ()11b b1112ab aA ab>baB.a>a1Cab>baD.a2b>b1解析 取 a2，b1，排除 B 與 D；另外，函數 f(x)xx

29、是(0，)上的增函數，但函數g(x)x專業資料整理WORD格式10專業資料整理WORD格式1111x在 (0,1上遞減，在 1， )上遞增，當 a>b>0 時， f(a)>f(b)必定成立，即aa>bb" ab>b1a，但 g(a)>g(b)未必成立，應選A.設 a>0，不等式 c<axb<c 的解集是 x|2<x<1 ，那么 a b c 等于 ()A123B213C312D321b ccb解析 c<ax b<c，又 a>0，a <x< a.b c a， 2，ab2不等式的解集為 x| 2

30、<x<1 ，3cba1，c2a，a3a a b ca22213. a，b，c 滿足 c<b<a 且 ac<0，那么以下選項中不一定成立的是()c bb ab2 a2acA. a<aB.c>0C. c < cD. ac <0c bb aac解析 c<b<a 且 ac<0，c<0， a>0，a<a，c>0，ac <0，2 2但 b2與 a2的關系不確定，故bc <ac不一定成立函數 f(x)ax2bx c(a 0)，假設不等式 f(x)<0 的解集為 x|x<1或x>3，那

31、么 f(ex)>0(e 是自然對數的2底數 )的解集是 ()A x|x<ln 2 或 x>ln 3B x|ln 2<x<ln 3C x|x<ln 3D x| ln 2<x<ln 31x1x1解析 法一 依題意可得 f(x)a x2 (x3)(a<0)，那么 f(ex)a e2 (ex 3)(a<0)，由 f(ex)a e2x1 x(e 3)>0，可得2<e <3，解得 ln 2<x<ln 3，應選 D.函數 f(x)(ax1)(x b)，如果不等式 f(x)>0 的解集是 ( 1,3)，那么不等式 f(2x)<0 的解集是 ()3131A(，2) (2， )B(2，2)專業資料整理WORD格式11專業資料整理WORD格式1313C