1、第卷第期年月自然科學版）湖北大學學報（），（）文章編號：一類非線性二層規劃的方法張濤，呂一兵（）長江大學信息與數學學院，湖北荊州摘要：利用下層問題的最優性條件將下層為線性規劃的一類非線性二層規劃轉化為相應的單層規劃，同時取互補條件為罰項，得到該類問題的單層罰問題；然后利用方法對單層罰問題進行求數值實驗表明該方法是可行的解非線性二層規劃；最優解；方法關鍵詞：文獻標志碼：中圖分類號：引言二層規劃是一種具有遞階結構的系統優化問題，其數學模型可以表示為：，（，（，；），（）（），其中，分別稱為上層目標函數以，（，分別為上層決策變量及下層決策變量）（）及下層目標函數對二層規劃的求解是比較困難的，即使最簡

2、單的情況即所有的函數為線性函數，也是難問題、求解非線性二層規劃就更加困難了，目前求解非線性二層規劃的方法主要包括分支定界法下降方，以及信賴域方法等事實上，由于非線性二層規劃的復雜性質其算法設計一般針對的是具有法某種特殊結構的非線性二層規劃問題在本文中，考慮如下形式的二層二次規劃問題：（，（，）（），是下面問題的解，（，（）（），（），其中（，均為已知向量，）（）分別為上層和下層的目標函數，（）（）為對稱矩陣，下層規劃問題的決，分別為上層、策變量），對于二層二次規劃問題（考慮以下層問題的最優性條件代替下層問題，同時取互補條件為罰項，從而得到該類非線性二層規劃的相應單層規劃問題由于相應的單層規劃為

3、二次規劃問題，因此考慮用在本文接下來的內容中，首先介紹相關的概念以及算法的理論基方法進行求解）然后，設計二層二次規劃問題（的并以數值實驗驗證算法的可行性；最后對本礎；方法，文進行小結收稿日期：）基金項目國家自然科學基金項目（資助；教育部重點實驗室開放基金項目（資助；湖北省教育廳重點項）目（資助），作者簡介：張濤（男碩士湖北大學學報（自然科學版）第卷主要結果令，其中則下層目標函數（即為：，），（）（）（定義稱集合為二層二次規劃問題的約束域，）定義稱集合使得（是上層決策變量的可行域，存在，）為了討論方便，我們假設是非空緊的假設是負定矩陣因此對每個給定的上層決策變量，下層規劃問題存在唯一的解，不妨記

4、為（而且下層問題存在最優解，）（定義稱集合為二層二次規劃問題的可行域，），）（盡管約束域是一個凸多面體，但二層二次規劃問題的可行域因此二層二次一般不再是凸集，規劃問題是非凸規劃問題下面給出二層二次規劃問題的最優性條件，這也是求解二層二次規劃算法的理論基礎，定理，（為二層二次規劃問題最優解的充分必要條件是存在，）使得（是下面規劃問題的解，），（，）（）（），）在問題（的約束條件中除互補外，其余均為線性約束，筆者考慮以互補條件為罰項，用精確罰函數的方）法求解即問題（轉化為：，（，（）（）（），（）（）其中：為罰因子），對于模型（與（等證明了如下的定理）定理如果問題（的可行域非空，且對于某個，問題（

5、有解，則必存在使得對）問題（與（有相同的非空最優解集于所有的，），從定理可以看出欲求解非線性規劃（只需求解相應的單層規劃（而模型（的求解方法建），立在如下命題的基礎上為敘述方便，不妨記模型（的目標函數為其中：（）（，則相應的約束條件記為：），其中，為如下分塊矩陣：，）此時模型（等價的記為：，（），（）（）假設（為問題（的任一可行點，在（處取的一階則問題（轉換為：（）展開，（）（），）對于問題（與（之間的關系有如下的命題），定理設問題（有最優解（則有如下結果：（）（）（）（如果則（是問題（的點（），（）（）（）（）（）如果則（的一個可行下降方向（）不成立，是問題（），定理的證明（因為問題（有最優

6、解（則必存在行向量，使得：（）（），（），第期張濤等：一類非線性二層規劃的方法其中：，（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（又因為（），（）（）（）（）（）則（）（）（則有由此，存在使和，（），（）（），（）這就證明了如果則（是問題（的點（）（），（）（）（）（如果則有：（）不成立，（）（）（）（）（）（）（）（）因為（為問題（的最優解，故對于問題（與（的任一可行點（有：（）（）（）（）（），即：（）（）（）（）（）這就證明了（的一個下降方向，同時（的可行方向是顯然的為問題（為問題（）（），（從定理中的結論（進一步有，如果（這時可從（出發，沿方向（）

7、，（）即求進行精確線性搜索使得：（）（）（）（），（）（）（并?。ㄒ陨暇褪莻鹘y的步驟（）（）（）（）算法及數值實驗）基于上述討論，可形成如下求解問題（的算法，具體的算法步驟如下算法：以及誤差限；給定罰因子，）轉化為（式；將二層二次規劃（）式中的互補松弛條件取為罰項，得到如下單層規劃將（，（，），（，（）（），），）的目標函數在可行域的點處線性展開得到：將規劃（，）（，（，），（）（），），），）式的最優解為檢驗是否滿足終止條件，如果有（假設（，（）則為（式的點；否則沿方向進行精確線性搜索，即求，滿足：，（），同時令轉，（：為驗證本算法的可行性，我們考慮如下二層二次規劃問題，）（，（），）文獻

8、中最優解，（）將（式的下層問題用其條件代替同時取互補松弛條件為罰項得到如下單層規劃：，（），各變量均大于、等于零，（）湖北大學學報（自然科學版）第卷，對于上式不妨令（取初始可行點罰因子誤差限，（，），）在初始可行點對（式的目標函數線性展開，同時求解可得到（，），取方向經檢驗知不滿足終止條件，沿搜索可得到新的展開點（，），在該點展開求解可得到取方向經檢驗，（，）知不滿足終止條件，沿搜索得到新的展開點（，），），）在該點展開求解得到檢驗可知：則為（，（，）二層二次規劃（的最優解即，（從數值實驗我們可以看出求解二層二次規劃的同時如果誤差限取的方法是可行的，更小，則得到的解將更加逼近原最優解小結從算法的收斂性及算例實現的過程可知從非線性