1、輸油管道設(shè)置輸油管的布置摘要“輸油管的布置”數(shù)學(xué)建模的目的是設(shè)計(jì)最優(yōu)化的路線，使輸油管線路費(fèi)用最少， 但是不同于普遍的最短路徑問(wèn)題，該題需要考慮多種情況，例如，城區(qū)和郊區(qū)費(fèi)用的不 同，采用共用管線和非公用管線價(jià)格的不同等等。我們基于最短路徑模型，對(duì)于題目實(shí) 際情況進(jìn)行研究和分析，對(duì)三個(gè)問(wèn)題都設(shè)計(jì)了合適的數(shù)學(xué)模型做出了相應(yīng)的解答和處 理。針對(duì)問(wèn)題一：在不考慮附加費(fèi)用情況下我們運(yùn)用鏡子反射原理作出了等式。在考慮有共用管道時(shí)分了共用管道費(fèi)用和普通管道費(fèi)用兩種情況，也分別列出了2元函數(shù)。針對(duì)問(wèn)題二：我們首先運(yùn)用層次分析法選出了最優(yōu)評(píng)估公司（公司1）。又考慮到城區(qū)附加費(fèi)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于鋪設(shè)費(fèi)用，所以我們首先選

2、出了一條最短的城區(qū)到城區(qū)與鄉(xiāng)村分 界線的路線，然后運(yùn)用問(wèn)題1的思想列出了一個(gè)等式和2元函數(shù)。等式只需將各個(gè)值代 入便可求解。2元函數(shù)我們運(yùn)用MATLAB軍出最小值即可。問(wèn)題三與問(wèn)題二思想大致相同（在此不再闡述）只需改變值即可。關(guān)鍵詞：分類討論、對(duì)稱法、層次分析、最小值 反射問(wèn)題的重述某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來(lái)運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。1. 針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計(jì) 方案。在方案設(shè)計(jì)時(shí)，若有共用管線，應(yīng)考慮共管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或

3、不同的情形。2. 設(shè)計(jì)院目前需對(duì)一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠的具體位置由附 圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩 個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為 a = 5， b = 8 ， c = 15 ， l = 2011若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米 7.2萬(wàn)元。鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和 工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請(qǐng)三家工程咨詢公司（其中公司 一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)）進(jìn)行了估算。估算結(jié)果如下表所示：工程咨詢公司公司一公司二公司三附加費(fèi)用（萬(wàn)元/千米）212420請(qǐng)

4、為設(shè)計(jì)院給出管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。3.在該實(shí)際問(wèn)題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適 應(yīng)的油管。這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬(wàn)元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬(wàn)元，共用管線費(fèi)用為每千米 7.2萬(wàn)元，拆遷等附加費(fèi)用同上 請(qǐng)給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用符號(hào)說(shuō)明符號(hào)說(shuō)明xCE邊的長(zhǎng)yHE邊的長(zhǎng)aAC邊的長(zhǎng)bBD邊的長(zhǎng)LCD邊的長(zhǎng)k非共用管道的費(fèi)用n共用管道的費(fèi)用M鋪設(shè)總費(fèi)用模型的假設(shè)問(wèn)題一中所有解答不分一二區(qū)，即沒(méi)有附加費(fèi)用不考慮車子的來(lái)回運(yùn)油費(fèi)考慮二區(qū)的附加費(fèi)用遠(yuǎn)大于管道的鋪設(shè)費(fèi)用，所以問(wèn)題二三種的共用管道均不建在 二區(qū)問(wèn)題的分析第一問(wèn)我們

5、分為三種情況討論。沒(méi)有共用管道的情況，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的方法求得最短距離。CD有共用管道且共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同的情況，車站E必定建立在之間，先求出管道總長(zhǎng)，乘以費(fèi)用，即為建設(shè)費(fèi)用。在實(shí)際問(wèn)題中，代入具體數(shù)據(jù),求得最小值1.有共用管道且共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用不相同的情況，在2的基礎(chǔ)上將共用管道及非共用管道乘以各自的價(jià)格，即為建設(shè)費(fèi)用。在實(shí)際問(wèn)題中，代入具體數(shù)據(jù)，求得 最小值1,在按照第一問(wèn)得分類討論2 第二問(wèn)我們先用層次分析法從三間公司里選擇了公司 法在實(shí)際問(wèn)題中給值，求最小費(fèi)用。問(wèn)題的解決1在沒(méi)有共用管道的情形下如圖所示，做A點(diǎn)關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A，連接A B與直線CD的交點(diǎn)E即

6、為車站的建立點(diǎn)。AE+BE=A B=J(a+bF2+LA22、有共用管道且共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同的情況，車站E建立在CD之間及通過(guò)共用管道HE輸入車站EAH= 、 xA2+(a-yF2BH= , (L-x)A2+(b-yF2M=kAH+ky+kBH=k： xA2+(a-y)A2(L-x)A2+(b-y)A2 +y0 x c,a y b3. 有共用管道且共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用不相同的情況M=kAH+ny+kBH=krx72+(a-y)72 +J (L-x)A2+(b-yF2 +ny0 x c,a y b1:1,得成對(duì)我們我們把選擇一間公司的準(zhǔn)則層所估算的價(jià)格及資質(zhì)的比值定義為比較

7、矩陣1 11,1根據(jù)MATLAB軟件算出最大特征值及所對(duì)應(yīng)的特征向量'分別為 lamda=3.000,y_lamda= (0.5,0.5)T1,2,2根據(jù)公司的資質(zhì)把甲級(jí)與乙級(jí)分別賦值為2、1,得成對(duì)比較矩陣0.5,1,1根據(jù)MATLAB0.5,1,1軟件算出最大特征值及所對(duì)應(yīng)的特征向量，分別為1、lamda=3.000,y_lamda= (0.5,0.25,0.25) T根據(jù)價(jià)格越高越不易接受的消費(fèi)心理，我們把三間公司所估算的價(jià)格分別賦值為41,4,0.8根據(jù)MATLAB件算出最大特征值及所對(duì)應(yīng)的特征向量5，得成對(duì)比較矩陣 0.25,1,0.21.25,5,1分別為 lamda=3.

8、000,y_lamda=(0.4,0.1,0.5)t以上均通過(guò)一致性檢驗(yàn)0.40.5 0.40.50.50.450.10.25W W w(2)0.10.250.50.1750.50.250.50.250.375即選擇公司1.沒(méi)有共用管道的情況下，由第一問(wèn)求得：AE+BE=A B= . (a+b)A2+LA2，費(fèi)用 M=296.9788萬(wàn)元又根據(jù)取附加費(fèi)用的最小值，如圖求得費(fèi)用M=7.2(A' Q+BQ)+21BQ=283.915萬(wàn)元。故采用如圖所示方案管道。2.有共用管道且共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同的情況C費(fèi)用M=7.2( AH+HQ+BQ)+21BQ，代入數(shù)據(jù)，根據(jù)MATLAB

9、件算出最小值為281.3307 萬(wàn)元。x=4.9019 y=2.16991.當(dāng)沒(méi)有共用管道時(shí),由第一問(wèn)可得 M=5.6AE+6(QE+BQ)+21BQ= 251.042萬(wàn)元。2.當(dāng)有共用管道且共用管道在一區(qū)時(shí)，CDM=5.6AH+6(QH+BQ+21BQ+7.2y代入數(shù)據(jù)，根據(jù) MATLAB件算出最小值為 250.8742 萬(wàn)元。x=6.2794 , y=0.4669模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：建立的模型簡(jiǎn)單易懂，用 MATLAB件找到了求二元二次方程最小值的命令，并 算出了最小費(fèi)用給出了對(duì)應(yīng)的方案運(yùn)用層次分析法在三家公司中選擇了具有代表性的公司缺點(diǎn)：模型中有個(gè)人主觀因素在里面，例如，在選擇一間公司時(shí)將所估算的價(jià)格及資質(zhì)比值定義為1： 1由于附加費(fèi)用較高，沒(méi)有考慮共用管道在二區(qū)的情況參考文獻(xiàn)1 趙靜但琦數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(第三版)。高等教育出版社2007.62 姜啟源 謝金星 葉俊 數(shù)學(xué)模型(第四版)高等教育出版 2010.9附件：banan a=(x)5.6*sqrt(x(1)A2+(5-x(2)A2)+6*sqrt(15-x(1)A2+(8-x(2)A2)+7 .2*x (2)；>> x,fval=fm in search(ba nan a,0,0)x =6.27940.46