1、“旋轉單擺”的雙穩態振動陳棟梁 （盛澤中學）吳江市教育學會摘要：本文利用數值計算的方法分析了旋轉單擺在一定角速度旋轉時的雙穩態特征及其圍繞穩定平衡位置的大角度振動關鍵詞：旋轉單擺；數值計算；雙穩態有這樣一道題目1：如圖1所示：圓盤在水平面內以勻角速繞豎直軸旋轉，盤上固連著兩根同樣高度的豎直支架質量為m的小球與質量可忽略不計的T字形細桿相連，水平桿由支架上支撐，與小球相連的桿長為l，懸點在轉軸上，整個系統可在支架上無摩擦地擺動本文稱之為“旋轉單擺”該文利用求導的方法分析了小球的穩定平衡位置，并簡要討論了小球在平衡位置的小角度振動特點本文利用數值方法討論小球圍繞穩定平衡位置作的大角度振動以及雙穩態

2、特征mgmrlrml圖2圖11 旋轉單擺的勢能、力矩及其穩定平衡位置取圓盤參照系，如圖2，小球在位置的有效勢能為1力矩為，對勢能和力矩無量綱化后得到：，平衡位置由決定，即因此，顯然滿足方程，是小球的平衡位置而，則必須滿足條件：故分兩種情況進行數值分析：1) 當時，取g=10， l=10 m ， =0.5， 有勢能力矩圖3 勢能和力矩曲線如圖3所示，在-+之間，作用力呈回復但非線性，勢能呈U型，所以小球作非諧振蕩在平衡位置處，勢能為低谷，故為穩定平衡從力矩曲線可以看出，在-0.6+0.6之間，力矩呈近似線性且回復，故該范圍內的振動應為諧振超過該范圍將是明顯的非諧振蕩2) 當時，取g=10， l=

3、10m， =2， 有 力矩勢能圖勢能和力矩曲線如圖4所示，在平衡位置 處，勢能為兩低谷，呈現雙穩態繞此平衡位置，小球在小振幅范圍內作近似諧振動；在-+之間，勢能也呈U型，圍繞此平衡位置在大振幅范圍內作非諧振動2 圍繞穩定平衡點的振動1) 對于平衡位置，運動方程為：1，把代入得：取g=10， l=10m， =0.5， 則取振幅分別為：，角速度為：時，利用歐拉迭代，進行數值求解后得到如下振動圖像及對應角位移角速度相圖（以下各圖角速度單位為：弧度/秒，角度單位為弧度）：圖5：振幅為，初始角速度為零時，振動曲線圖和相圖圖6：振幅為，初始角速度為零時，振動曲線圖和相圖圖7：振幅為，初始角速度為零時，振動

4、曲線圖和相圖從圖5，圖6，圖7振動曲線圖和相圖可以看出，小球在小振幅范圍內作諧振但當振幅 時，振動開始呈非諧振蕩2) 對于平衡位置，設，其中為相對于振動的角度，為相對于豎直位置的擺角，運動方程為：取 g=10， l=10m， =2， 則，取振幅分別為：（分別相對于、），則此時擺角分別為：（或），利用歐拉迭代，進行數值求解后得到如下振動圖像及對應角位移角速度相圖：圖8：振幅為（相對于），初始角速度為零時，振動曲線圖和相圖圖9：振幅為（相對于），初始角速度為零時，振動曲線圖和相圖圖10：振幅為，初始角速度為零時，振動曲線圖和相圖圖11：振幅為，初始角速度為零時，振動曲線圖和相圖結合圖4勢能曲線可知

5、：當時，中央極大值處勢能，若有效勢，相軌為左右兩個閉合曲線，小球圍繞左右平衡點之中的一個在小振幅范圍內作諧振，而不能越過中央的勢壘從一邊過渡到另一邊， 如圖8和圖9；若有效勢，相軌呈“8”字形，是相軌分界線，在中央自我交叉，小球剛好可以越過0度的勢能峰從一個穩態進入另一個穩態，如圖10；若有效勢，相軌是一個閉合曲線，小球作大角度的非諧振動，如圖113) 對于平衡位置，由勢能和力矩曲線可以看出，該平衡位置為不穩定平衡3 結論a) 雖然平衡點有3個（正，負等同），但是對于平衡位置始終為不穩定平衡點，而且當固定一值時，總是有一個為穩定平衡點，另一個為不穩定平衡點：當時，為穩定平衡點，不存在這個點；當

6、時，為不穩定平衡點，而卻為穩定平衡點總之，平衡點為一個，或，其取值由的值決定b) 從兩種情況的勢能和力矩曲線，在-+之間，作用力呈回復但不線性，勢能呈U型，所以小球將作非諧振蕩當，為穩定平衡點時，小球在小范圍內作諧振振蕩，當時，振動曲線開始明顯偏離諧振曲線；當時，為穩定平衡點，振動呈現雙穩態；若中央極大值處勢能為，則當有效勢時，相軌為左右兩個閉合曲線，小球圍繞左右平衡點之中的一個在小振幅范圍內作諧振，而不能越過中央的勢壘從一邊過渡到另一邊；當有效勢時，相軌呈“8”字形，在中央自我交叉，是相軌分界線；當有效勢時，相軌是一個閉合曲線，小球作大角度的非諧振動參考文獻：1 陳秉乾，胡望雨，舒幼生，金仲

7、輝物理學難題集萃上冊高等教育出版社1993.6 2 趙凱華，羅蔚茵新概念物理教程 力學高等教育出版社19953 湯艷芬非線性系統受迫振動的周期解大學物理，2004，23（9）：2528The vibration of bistable state of revolving single pendulumChen Dong-liang Wu Jian-fen Sun Yan-qiao(Department of Physics， Soochow University， Suzhou 215006， China)Abstract: Numerical calculation was applied to discuss the characteristic of bistable state of revolving single pendulum , and the vibration of revolving single pendulum in the large angle surround the steady equilibrium point when single pe