1、計(jì) 算 方 法數(shù)值分析Numerical Analysis潘建瑜潘建瑜華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系科學(xué)計(jì)算科學(xué)計(jì)算q 科學(xué)計(jì)算科學(xué)計(jì)算 Scientific Computing (計(jì)算科學(xué)計(jì)算科學(xué) Computational Science)l 使用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)與計(jì)算器的技術(shù)，借助計(jì)算機(jī)高速計(jì)算的使用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)與計(jì)算器的技術(shù)，借助計(jì)算機(jī)高速計(jì)算的能力，來解決現(xiàn)代科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)或人文中的復(fù)雜問題能力，來解決現(xiàn)代科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)或人文中的復(fù)雜問題 狹義的科學(xué)計(jì)算是針對(duì)某些特定的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計(jì)有效的狹義的科學(xué)計(jì)算是針對(duì)某些特定的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計(jì)有效的計(jì)算方法來求解，因此即為計(jì)算方法來求解，因此

2、即為數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算/數(shù)值分析數(shù)值分析/計(jì)算方法計(jì)算方法u 科學(xué)計(jì)算是一門工具性、方法性、整合性的新學(xué)科，是各科學(xué)計(jì)算是一門工具性、方法性、整合性的新學(xué)科，是各種科學(xué)與工程計(jì)算領(lǐng)域（如：氣象、地震、核能技術(shù)、石油種科學(xué)與工程計(jì)算領(lǐng)域（如：氣象、地震、核能技術(shù)、石油探勘、航天工程、探勘、航天工程、 密碼解譯等）中不可缺少的工具密碼解譯等）中不可缺少的工具計(jì)算數(shù)學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)是科學(xué)計(jì)算的是科學(xué)計(jì)算的核心核心與與基礎(chǔ)基礎(chǔ)u 科學(xué)計(jì)算已成為當(dāng)今科學(xué)研究的三種基本手段之一，是數(shù)科學(xué)計(jì)算已成為當(dāng)今科學(xué)研究的三種基本手段之一，是數(shù)學(xué)將觸角伸向其他學(xué)科的橋梁。學(xué)將觸角伸向其他學(xué)科的橋梁。科學(xué)計(jì)算科學(xué)計(jì)算u 隨著計(jì)

3、算機(jī)的高速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法已深入到各個(gè)科學(xué)隨著計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法已深入到各個(gè)科學(xué)研究領(lǐng)域，計(jì)算性交叉學(xué)科不斷涌現(xiàn)，如計(jì)算力學(xué)、計(jì)算物研究領(lǐng)域，計(jì)算性交叉學(xué)科不斷涌現(xiàn)，如計(jì)算力學(xué)、計(jì)算物理、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)等理、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)等 q 科學(xué)計(jì)算科學(xué)計(jì)算u 使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)處理及分析已成為人類科使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)處理及分析已成為人類科技活動(dòng)的主要方法之一。技活動(dòng)的主要方法之一。熟練地使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算，熟練地使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算，已成為科技工作者的一項(xiàng)基本技能已成為科技工作者的一項(xiàng)基本技能 科學(xué)計(jì)算科學(xué)計(jì)算q 利用計(jì)算機(jī)解決

4、實(shí)際問題通常分下面幾個(gè)過程：利用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題通常分下面幾個(gè)過程：實(shí)際實(shí)際問題問題數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型模型數(shù)值數(shù)值方法方法程序程序設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)上機(jī)上機(jī)實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例問：今有問：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？ 九章算術(shù)九章算術(shù)3239xyz 2334xyz 2326xyz例：一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題例：一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題應(yīng)

5、用舉例應(yīng)用舉例1112111212222211nnnnnnnnaaaxbaaaxbaaaxb 線性方程組數(shù)值求解線性方程組數(shù)值求解 教材第五、六章教材第五、六章Axb 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例：人口預(yù)測(cè)例：人口預(yù)測(cè)表格中是我國表格中是我國1950年到年到2005年的人口數(shù)（見年的人口數(shù)（見中國統(tǒng)計(jì)年鑒），試預(yù)測(cè)未來的人口數(shù)中國統(tǒng)計(jì)年鑒），試預(yù)測(cè)未來的人口數(shù)插值與曲線擬合插值與曲線擬合 教材第二、三章教材第二、三章年份年份人口人口(萬萬)19505519619556146519606620719657253819708299219759242019809870519851058511990114331

6、99512112120001267432005130756應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例：例：鋁制波紋瓦的長度問題鋁制波紋瓦的長度問題建筑上用的一種鋁制波紋瓦是由機(jī)器將一塊平整的鋁板壓建筑上用的一種鋁制波紋瓦是由機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成。假若要求波紋瓦長制而成。假若要求波紋瓦長 4 英尺，每個(gè)波紋的高度英尺，每個(gè)波紋的高度(從中從中心線心線)為為 1 英寸，且每個(gè)波紋以近似英寸，且每個(gè)波紋以近似 2 英寸為一個(gè)周期。英寸為一個(gè)周期。求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度 L。應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例這個(gè)問題就是要求由函數(shù)這個(gè)問題就是要求由函數(shù) f(x)=sin x給定的曲線從給定的曲線從

7、 x=0 到到 x=48 英寸間的弧長英寸間的弧長 L，即，即:數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分 教材第四章教材第四章484822001( ) d1(cos ) dLfxxxx 上述積分為第二類橢圓積分，無法用普通方法來計(jì)算上述積分為第二類橢圓積分，無法用普通方法來計(jì)算應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例矩陣特征值計(jì)算矩陣特征值計(jì)算 教材第八章教材第八章例：例：Google 搜索引擎搜索引擎1998 年創(chuàng)立，目前市值近年創(chuàng)立，目前市值近2000億億G: Google Matrix, “the worlds largest matrix computation” x: PageRank vector “The

8、$25,000,000,000 Eigenvector” SIAM Review，2006Gx = x, eTx =1計(jì)算方法的任務(wù)計(jì)算方法的任務(wù)q 計(jì)算方法計(jì)算方法/數(shù)值分析的任務(wù)數(shù)值分析的任務(wù)u 設(shè)計(jì)求解各種實(shí)際問題的設(shè)計(jì)求解各種實(shí)際問題的高效可靠高效可靠的的數(shù)值方法數(shù)值方法l 有效：易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)有效：易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)l 可靠：收斂性穩(wěn)定性等有理論保證可靠：收斂性穩(wěn)定性等有理論保證l 高效：盡可能地節(jié)省計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間高效：盡可能地節(jié)省計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間對(duì)于同一問題，不同的算法在計(jì)算性能對(duì)于同一問題，不同的算法在計(jì)算性能上可能相差百萬倍或者更多！上可能相差百萬倍或者更多！u 對(duì)求

9、得的對(duì)求得的數(shù)值數(shù)值解的精度進(jìn)行評(píng)估解的精度進(jìn)行評(píng)估u 研究數(shù)值算法研究數(shù)值算法在計(jì)算機(jī)上在計(jì)算機(jī)上的的實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)計(jì)算方法計(jì)算方法例：例：求解一個(gè)求解一個(gè) n 階線性方程組，如果使用階線性方程組，如果使用克萊姆法則克萊姆法則，需，需要計(jì)算要計(jì)算 n+1 個(gè)個(gè) n 階行列式，在不計(jì)加減運(yùn)算情況下，至少階行列式，在不計(jì)加減運(yùn)算情況下，至少需要需要 n!(n2-1) 次乘除運(yùn)算。而使用高斯消去法，只需約次乘除運(yùn)算。而使用高斯消去法，只需約2n3/3 次乘除運(yùn)算次乘除運(yùn)算用每秒運(yùn)算用每秒運(yùn)算 30 億次（主頻億次（主頻3.0G）的計(jì)算機(jī)求解時(shí)，大的計(jì)算機(jī)求解時(shí)，大約需要約需要10000年的時(shí)間年的時(shí)間

10、22020!(201) 9.710 l 當(dāng)當(dāng) n=20 時(shí)，時(shí)，如果使用高斯消去法，不到一秒鐘就能完成如果使用高斯消去法，不到一秒鐘就能完成 數(shù)值方法特點(diǎn)數(shù)值方法特點(diǎn)q 數(shù)值方法的特點(diǎn)數(shù)值方法的特點(diǎn)u 方法是近似的方法是近似的，所以求出的解是有誤差的，所以求出的解是有誤差的u 與計(jì)算機(jī)緊密結(jié)合：上機(jī)實(shí)現(xiàn)與計(jì)算機(jī)緊密結(jié)合：上機(jī)實(shí)現(xiàn)l 掌握一門語言：掌握一門語言：C 語言或語言或 Fortran 語言語言l 熟悉一種數(shù)學(xué)軟件：熟悉一種數(shù)學(xué)軟件：Matlab，Maple 或或 Mathematica課程信息課程信息數(shù)值分析數(shù)值分析（第五版）（第五版）q 教材教材：李慶揚(yáng)等編著，清華大學(xué)出版社，李慶揚(yáng)

11、等編著，清華大學(xué)出版社，2002008 8q 答疑時(shí)間答疑時(shí)間：周一晚上周一晚上 18:30 20:30地點(diǎn)地點(diǎn)：數(shù)學(xué)樓數(shù)學(xué)樓 213q 上機(jī)時(shí)間上機(jī)時(shí)間：周四周四 3、4 (雙周雙周) 地點(diǎn)地點(diǎn)：數(shù)學(xué)樓二樓數(shù)學(xué)樓二樓200機(jī)房機(jī)房q 上課時(shí)間上課時(shí)間：周一周一 1、2，周四，周四 3、4q 課程主頁：課程主頁：http:/ 第三種科學(xué)方法：計(jì)算機(jī)時(shí)代的科學(xué)計(jì)算第三種科學(xué)方法：計(jì)算機(jī)時(shí)代的科學(xué)計(jì)算 石鐘慈著，石鐘慈著，清華大學(xué)出版社，院士科普書系清華大學(xué)出版社，院士科普書系，2000l 科學(xué)計(jì)算導(dǎo)論科學(xué)計(jì)算導(dǎo)論（第（第 2 版）（英文影印版）版）（英文影印版） M.T. Heath 著，清華大

12、學(xué)出版社：著，清華大學(xué)出版社：McGraw-Hill，2001l 現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算 蔡大用，白峰杉，科學(xué)出版社，蔡大用，白峰杉，科學(xué)出版社，2000l 數(shù)值線性代數(shù)數(shù)值線性代數(shù) 徐樹方徐樹方等，北京大學(xué)出版社，等，北京大學(xué)出版社，2000& 參考資料參考資料主要內(nèi)容主要內(nèi)容q 插值法插值法q 函數(shù)逼近函數(shù)逼近q 數(shù)值積分和數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分和數(shù)值微分q 線性方程組的直接解法和迭代解法線性方程組的直接解法和迭代解法q 非線性方程（組）的數(shù)值求解非線性方程（組）的數(shù)值求解q 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算矩陣特征值與特征向量的計(jì)算q 常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法所需知識(shí)所需知

13、識(shí)l 微積分微積分l 高等代數(shù)、線性代數(shù)高等代數(shù)、線性代數(shù)l 常微分方程常微分方程l Matlab 編程編程q 所需知識(shí)所需知識(shí)q 考試方式考試方式l 期末期末 60% l 平時(shí)平時(shí) 40%（期中考試，平時(shí)作業(yè)，上機(jī)表現(xiàn)，考勤）（期中考試，平時(shí)作業(yè)，上機(jī)表現(xiàn)，考勤）基本概念基本概念l 解析解、精確解、真解、真值解析解、精確解、真解、真值l 數(shù)值解、近似解數(shù)值解、近似解l 數(shù)值算法：求問題的數(shù)值算法：求問題的數(shù)值解數(shù)值解的方法的方法u 算法的可靠性包括：算法的可靠性包括：收斂性收斂性，穩(wěn)定性穩(wěn)定性，誤差估計(jì)誤差估計(jì)等等u 算法的評(píng)價(jià)（優(yōu)劣）算法的評(píng)價(jià)（優(yōu)劣）l 時(shí)間時(shí)間復(fù)雜度（計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間）復(fù)雜度（計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間）l 空間空間復(fù)雜度（所占用的計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間）復(fù)雜度（所占用的計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間）l 邏輯邏輯復(fù)雜度（影響程序開發(fā)的周期以及維護(hù)的難易程度）復(fù)雜度（影響程序開發(fā)的周期以及維護(hù)的難易程度）數(shù)學(xué)軟件數(shù)學(xué)軟件由于各種科學(xué)計(jì)算問題最后通常都?xì)w結(jié)為求解一些由于