1、螞蟻文庫高等數學應用18 例一、椅子能在不平的地面上放穩嗎？二、磁盤的最大存儲量三、有趣的Fibonacci 數列四、分形幾何中的Koch 雪花五、工人上班何時效率最高？六、石油的消耗量七、捕魚成本的計算八、飛出火星九、萃取問題十、最優化的產出水平十一、螞蟻逃跑問題十二、資金配置問題十三、家庭教育基金問題十四、分針與時針重合問題十五、證明 e 是無理數十六、湖泊的污染問題十七、減肥問題十八、冷卻定律和破案一、椅子能在不平的地面上放穩嗎？要回答這個問題，我們先要做一些合理的假設：（ 1） 椅子的四條腿長度相等， 椅腳與地面接觸處視為一個點， 四腳的連線是一個正方形；（ 2） 地面是一個連續曲面，

2、沒有象臺階那樣的情況；（ 3） 地面是相對平坦的，即在任何位置至少有三只腳著地；在以上假設下，問題就是四只腳A 、B、C、D 能否同時著地？為此我們以四腳的中心為原點建立坐標系（如圖），再以原點為中心旋轉椅子，用 表示旋轉的角度，并引入函數 f( )表示 A 、C 兩腿與地面的距離之和，函數g( ) 表示 B 、D 兩腿與地面的距離之和 ,且不妨假設 f( )、g( )都是連續函數，又因在任何位置至少有三只腳著地，所以對任何 ，有 f( )g( )=0。于是，椅子能在不平的地面上放穩的問題就轉化為：是否存在 ，使 f( )=g( )=0 ？回答是肯定的，下面是其000證明。不妨假設開始時 f(

3、0)>0,g(0)=0 ，現將椅子旋轉900( /2)，對角線AC 與 BD 互換，由f(0)>0,g(0)=0可知 f( /2)=0,g( /2)>0 。令 h( )= f( )-g( )，則 h(0)>0 ，而 h( /2)<0，根據連續函數的介值定理知，必存在 0(0< 0< /2) ，使f( 0)-g( 0)=0 。最后，因為f( 0)g( 0)=0 ，所以 f( 0)=g( 0)=0 。這種通過對實際問題先作合理的假設， 最后轉化成一個純粹的數學問題并求解的方法就是數學建模。有興趣的同學可以參考一下這方面的書籍。思考：若椅子的四腳的連線是一個

4、長方形，如何證明椅子仍能在不平的地面上放穩？螞蟻文庫二、磁盤的最大存儲量計算機使用的軟磁盤是帶有磁性介質的圓盤，并由操作系統將其格式化成磁道和扇區，磁道指不同半徑構成的同心軌道，扇區是指被圓心角分隔所成的扇形區域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單位，存儲一位，稱為bit 。為了保障分辨率，磁道的寬度必須大于 t，每 bit 所占用的磁道長度不小于 b，為了檢索的便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的 bit 數。現有一張半徑為R 的磁盤，存儲區是半徑介于r 和 R 之間的環形區域，試確定 r，使磁盤具有最大的存儲量。解：由題知，存儲量 =磁道數×每磁道的bit數，另磁道數最多可達

5、Rr ，由于每磁t道具有相同的bit數，所以為獲得最大的存儲量，最內的一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的 bit 數可達到 2r 。于是，總存儲量bR r2 r2r( R r)B( r)tbt b為求 B(r) 的最大值，計算2(2 )B'( r )Rrtb得駐點rR2故當 rR2R 2時磁盤具有最大存儲量，此時最大存儲量為Bmax。2tb4三、有趣的Fibonacci 數列有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后每月生產一對小兔，而所生小兔也在第二個月成年，第三個月生產另一對小兔，以后也每月生產小兔一對。假定每產一對小兔必為一雌一雄，且無死亡，試問一年后共有小兔幾對？

6、這是意大利數學家Fibonacci 在 1202 年所著 “算法之書” 中的一個題目。 通過簡單的推算，我們不難得到每月末的兔子隊數為：1、1、 2、 3、 5、 8、 13、21、 34、55、 89、 144、233，即一年末共有兔子233 隊。這是一個有限項數列，按上述規律寫出的無限項數列就叫做Fibonacci 數列，其中的每一項稱為Fibonacci 數。若記 F01, F11, F22, F33, F45, F58,., ,則此數列滿足遞推關系：F n 2F n 1F n ( n0,1,2,.)其通項公式為：F n1 ( 15 ) n 1 (15 )n 1 522這最先是由法國數學

7、家Binet （比內）求出的。Fibonacci 數列與自然、社會生活中的許螞蟻文庫多現象都密切相關，比如蜜蜂的“家譜”圖、鋼琴音階的排列、樹的分支等都與 Fibonacci 數列有關。為此，美國還專門出版了一份 Fibonacci 數列季刊，以登載它在應用上的新發現及有關理論。思考：有一條n 階樓梯，如果每步只能跨上一級或兩級，問登上去共有幾種走法？（答案： Fn 種）四、分形幾何中的Koch 雪花所謂 Koch 雪花，它其實是一種通過遞歸方式生成的幾何圖形。設有單位邊長的正三角形，如圖，則其周長為P13A3，面積為。14現將每條邊三等分，以每條邊中間一段為邊向外做正三角形，如圖， 則每條邊

8、生成的四條新邊的長度之和是原來每條邊的長度的4 倍，同時，生成三個新的三角形，每個的面積3為原三角形面積的1 ，故總周長 P24P1 ，總面積 A2A11A1 ，依次進行下去，并933注意到（ 1）每一條邊生成四條新邊，邊長變為原來的1 ；（ 2）下一步，四條新邊共生成四3個新的小三角形，面積是以生成前的邊為正三角形的面積的1 ，故得到：94 P2423 4 (1)2P3P1， A3A2A13394 P343344(1)3P4P1， A4A3A1 ，33944n1PnPn1P1 ，33AnAn 13 4n 2( 1 )n 1A19A131 A134(1)2 A1 .3 4n 2( 1 ) n

9、1 A19991(1 (4)n )A1A139n2,3,4,.419螞蟻文庫于是lim Pn23, lim An5nn五、工人上班何時效率最高？對某工廠的上午班工人的工作效率的研究表明， 一個中等水平的工人早上 8：00 開設工作，在 t 小時之后，生產出Q( t)t 39t 212t個晶體管收音機，問：在早上幾點鐘這個工人工作效率最高？解：求這個工人幾點鐘工作效率最高，就是問早上幾點鐘這個工人的生產效率取到最大值。那么， 現在首先的問題是生產效率如何表示？根據題目的假設， 產量是 Q(t) ，故生產率就是產量的變化率，即生產率函數R(t )Q'( t) 3t 218t 12假定上午班

10、是從早上8： 00 到中午12：00，則問題就轉化為求函數R(t) 在區間 0t t 上的最大值，由R' (t )6t180得函數的駐點 t=3，即在當 t=3時工作效率最高，此時時間是上午11： 00。六、石油的消耗量近年來，世界范圍內每年的石油消耗率呈指數增長，增長指數大約為0.07， 1970年初，消耗率大約為每年161 億桶。設 R(t) 表示從 1970 年起第 t 年的石油消耗率， 則 R(t)161e0.07t（億桶）。試用此式估計從1970 年到 1990 年間石油消耗的總量。解：設 T(t) 表示從 1970 年間石油消耗的總量，即求T(20) 。由于 T(t) 是石

11、油消耗的總量，所以T ' ( t) 就是石油消耗率R(t) ，即 T ' (t ) R( t)于是 T t)R tdte0.07t dt161 e0.07tc2300e0. 07tc( )1610.07因 T(0)=0 ，故 c=-2300得( )230(00.07t1)T te從 1970 年間石油消耗的總量為：T (20) 2300( e0 .07 201) 7027 （億桶）。七、捕魚成本的計算在魚塘中捕魚時， 魚越少捕魚越困難， 捕撈的成本也就越高， 一般可以假設每公斤魚的捕撈成本與當時池塘中的魚量成反比。假設當魚塘中有x 公斤魚時， 每公斤的捕撈成本是2000 元，已

12、知魚塘中現有魚 1000010x公斤，問從魚塘中捕撈6000 公斤魚需花費多少成本？螞蟻文庫解：根據題意，當塘中魚量為x 時，捕撈成本函數為20000)c( x)( x10x假設塘中現有魚量為A ，需要捕撈的魚量為 T 。當我們已經捕撈了x 公斤魚之后，塘中的魚量為 A-x ，此時再捕撈x 公斤魚所需要的成本為C C(Ax) x2000x10 ( A x)因此，捕撈T 公斤魚所需成本為T200010 ACdx 2000 ln0 10 ( A x)10 (A T)將已知數據A=10000kg, T=6000kg代入，可計算出總捕撈成本為C100102000 ln1829.59 （元）4010八、

13、飛出火星火星的半徑是 6860 千米，其表面的重力加速度是3.92 米 /秒 2，若在火星上發射一枚火箭，試問要用怎樣的處速度才能擺脫火星的引力？解：設火星的半徑為R，質量為 M ，火箭的質量為 m，根據萬有引力定律，當火箭離開火星表面距離為x 時，它所受的引力為fkMm( Rx) 2當 x=0 時， f=mg ，因而 kMR2 g所以 fR 2 gm( Rx)2當火箭上升距離為dx 時，它克服火星引力所做的功為dWR2 gmdxfdx2(R x)這就是功的“元素” ，故當火箭從火星表面x=0 處達到高度 x=h 時它克服火星引力所做的總功為：WhR 2 gm2110( R x)2 dxRgm

14、()RR h當 h時， WRgm ，所以初速度v0 必須使動能1 mv02Rgm ，火箭才能2脫離火星引力。由此得v02gR ，而 g=392cm/s2, R=3430 × 105cm螞蟻文庫故v02 392 3430 1055.1 8 6(km/ )s注：眾所周知，脫離地球引力所需要的速度為 11.2km/s，由此看來，如果人類有一天能在火星上居住，那么從火星上乘宇宙飛船去太空遨游應當比從地球上飛去容易得多。九、萃取問題現有稀水溶液的醋酸，利用苯做溶劑分 3 次萃取來回收醋酸， 問：如何分配苯量， 才能使從水溶液中萃取出的醋酸最多？解：設苯的總體積為 V ，水溶液的體積為a ，溶液

15、中醋酸的初始濃度為x0 ，并且我們假定每次萃取時都遵守下列定律： yi kxi（ i=1,2,3 ）（ 1）式中 k 為常數， yi , xi 分別表示第i 次萃取時苯中的醋酸濃度和水溶液中的醋酸濃度。現將苯的總體積 V 分成 V1 ,V2 ,V3 三份。對第一次萃取做醋酸的平衡計算，即：醋酸總量=苯中的醋酸量 +水溶液中的醋酸量，由醋酸的物料平衡計算，得：ax0 V1 y1 ax1（ 2）將（ 1）代入（ 2）有： x1ax0（ 3）aV1 k同理，對第二、三次萃取分別有：x2ax1（ 4）V2 kax3ax2（5）V3ka由（ 3）（ 4）（ 5）式得： x3a3 x0（ 6）(aV1 k

16、)(aV2 k)( aV3 k)為了在苯一定量時萃取出的醋酸量最多，x3 應為極小值，則只須考慮（6）分母的極大值，為此，設(,V2,V3) (a V1k)(aV2 k)(a)，問題轉化為求f (V1 ,V2 ,V3 ) 在f V1V3 k條件 V1V2V3V 下的極值問題。由 Lagrange 乘數法，設：F (V1 ,V2 ,V3 ,)(aV1k)(aV2k )(aV3k )(V1V2V3V )螞蟻文庫FV1k( aV2 k)( aV3k)0FV2k (aV1 k)(aV3k )0V由k( a V1 k)( aV2 k)解得： V1 V2 V3FV303FV1V2 V3V0不難驗證，這時f

17、取得最大值，從而x3 取得最小值。也不難看出，這個結果是一般性的，即為了使萃取出的物質最多，無論將溶劑分成多少份，每次都應該采用等量的溶劑。十、最優化的產出水平假設某廠生產兩種產品，在生產過程中，兩種產品的產量x1 ,x2 是不相關的，但兩種產品在生產技術上是相關的，這樣，總成本C 為產量 x1, x2 的函數： CC( x1 , x2 ) ，且兩種產 品 的 邊 際 成 本 （ 總 成 本 的 偏 導 ） 也 是 x1, x2 的 函 數 ： C1CC1 ( x1 , x2 ) ，x1C 2CR 也是C 2 ( x1 , x2 ) ，經濟學中一般總認為產出和銷售是一致的，從而總收益x2x1

18、,x2 的函數： RR( x1 , x2 ) 。現在的問題是如何確定每種產品的產量，以使廠家獲得最大的利潤？廠家的利潤函數LRCR( x1 , x2 )C (x1 , x2 ) ，由極值的必要條件有：LRCR1C10x1x1x1R1C1, R2C2LRCx2x2x2R2C20這里， R1 , R2 稱為邊際收益（總收益的偏導）。上式說明：廠家要獲得最大利潤，每種產品的產出水平應使得其邊際收益等于邊際成本。如：一工廠生產兩種產品，其總成本函數Cx122x1 x2x225 ，兩種產品的需求函數分別為 x1 26 p1 ， x2101 p2 ，其中 p1 , p2分別為兩種產品的價格。為使工廠獲得最

19、4大利潤，試確定兩種產品的產出水平。RC解：工廠的總收益函數Rp1 x1 p2 x2 26x140x2 x124 x22 ，由x1x1 有：RCx2x2螞蟻文庫262x12x12x2 ，解之得： x1 5, x2 3 。408x22x12x2故當兩種產品的產量分別為5 和 3 時，工廠獲利最大；最大利潤L R C 120 。十一、螞蟻逃跑問題一長方形的金屬板，假定其四個頂點的坐標分別為（ 1， 1），（5，1），（ 1，3），（5，3），在（ 0，0）處置一火焰，其使金屬板受熱，且假定板上任意點處的溫度與該點到原點的距離成反比。現在（ 3，2）處有一螞蟻，問這只螞蟻沿何方向爬行才能最快到達較涼

20、快的地方？解：板上任意點( x, y)處的溫度 T ( x, y)k，其中 k 是一個比例常數，x2y 2溫度變化最快的方向實際就是梯度所指的方向，計算可得：gradTkxi(x 2kyj ， gradT(3,2)3k i2k j ，( x 2y2 )3 2y 2 ) 3 2133 2133 2其單位向量32（其反方向是由冷變熱最ij 所指方向就是由熱變冷最快的方向1313快）。螞蟻雖然不懂梯度，但根據它的感覺細胞的反饋信息，它將沿這個方向逃跑。注：借助微分方程的知識，我們還可求出螞蟻的逃跑路線。十二、資金配置問題31設某制造商的 Cobb-Douglas 生產函數 f ( x, y)100x

21、 4 y 4 ，其中 x, y 分別表示勞動力和資本， f ( x, y) 表示產量；若勞動力和資本的單位成本分別為150 元和 250 元，現該制造商的總預算為5 萬元，問他要如何分配這筆錢來購買勞動力和資本，以使生產量最高？31解：這實際是個求函數f ( x, y) 100x 4 y 4 在條件 150x 250 y50000 下的最值問題；31(,)10044(50000 150 250) ，設x yxyF x yF114y 475xx33F由4 y25x4y15002500有 x250, y50 ，F50000150x250y0即該制造商應該雇傭250 個勞動力而把其余資金作為資本投入

22、可獲得最大產量。十三、家庭教育基金問題從 1994 年開始，我國逐步實行大學收費制度，各銀行也相應地開展了家庭教育基金儲螞蟻文庫蓄。一個小孩從出生開始，其父母每年向銀行存入x 元作為教育基金， 若銀行的年復利率為r ，試寫出第n 年后教育基金總額的表達式。假設小孩到18 歲進入大學時所需費用為3 萬元，按年利率10% 計算，問其父母每年需向銀行存入多少元？解：設 n 年后教育基金總額為an ，每年向銀行存入x 元，年復利率為r ，則有遞推關系：a0x, akx(1r )ak 1 , k1,2, n ，即： akak1(ak1ak2 )(1r ) = ( ak 2ak3 )(1r )2= (a1

23、a0 )(1r )k1代入 a0 , a1 有： akak1x(1 r )k ， k1,2, n ，對 k 1,2, n 求和有： annr ) k(1r )n 11 a0x(1xk 1r現 a1830000, n18,r0.1，代入有 xan r586.40 （元）(1r ) n11即父母每年至少應向銀行存入586.40 元才能保證小孩在18 歲時有 3 萬元的大學費用十四、分針與時針重合問題在下午 1 點到 2 點之間的什么時間，時鐘的分針和時針恰好重合？解：從下午1 點開始，當分針走到1時，時針走到 111；當分針走到 1時，時針又1212向前走到 1111 ;；依此類推， 分針要追上時

24、針需時：111這1212121212212311是一個等比級數，其和為S125分27秒271（小時）11112即分針與時針重合的時間為下午1點過 5分 27秒 27十五、證明 e 是無理數解：利用反證法，假設eh，其中 h、 k 為整數，k借助 ex 的 Maclaurin 級數，令 x1，我們有：e1111111!2!k!1)! ( k 2)!( k將上式兩邊乘k! ，改寫成下列形式：k! ( k1111 )11h1!2!k!k 1(k 1)( k 2)注意到上式的右邊是正的，而左邊是整數，故左邊是正整數螞蟻文庫但：右邊11=1111k 1 ( k 1)(k 2)k 1k 2 ( k 2)(

25、k 3)<11112=1 1 =1<1不是正整數k 1k 1 (k 1)k 111)k(k1從而證明 e 只能是無理數十六、湖泊的污染問題某湖泊的水量為 V ，每年排入湖泊內含污染物A 的污水量為 V，流入湖泊內不含有A的水量為 V ，留出湖泊的水量為V ，已知61999 年底湖中 A 的含量為 5m0 ，超過國家規定63指標，為了治理污染，從2000 年年初起，限定排入湖泊中含A 污水的濃度不超過m0，V問至少需要經過多少年，湖泊中污染A 的含量降至 m0以內？（注：設湖水中A 的濃度是均勻的）分析：本題實為建立湖中污染物含量m 與時間 t 之間的函數關系。但無法直接得到，而需通

26、過微分方程來求的，那么，應尋找污染物的改變量dm 與時間 dt 間隔之間的關系，從而建立微分方程。解：設從 2000 年初（令此時 t0）開始，第t 年湖中污染物A 的總含量為 m ，濃度為m t, t dt 內，排入湖中m0Vdtm0dt ，流出湖泊，在在時間間隔A 的量為66VV的水中 A 的量為 mV dtm dt，因而在此時間間隔內湖中污染物A 的改變量為V33dmm0m)dt(36此為可分離變量的一階微分方程，分離變量dm12mm0dt61m0解的mCe 3。2代入初始條件m t05m0，得 C9 m02m01于是m(9e 31)2螞蟻文庫令mm0得 t6 ln 3即至多需要經過t6

27、 ln 3 年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m0 以內。十七、減肥問題減肥的問題實際上是減少體重的問題，假定某人每天的飲食可以產生AJ 熱量，用于基本新陳代謝每天所消耗的熱量為BJ，用于鍛煉所消耗的熱量為CJ / dkg ，為簡單計， 假定增加（或減少）體重所需熱量全由脂肪提供，脂肪的含熱量為DJ / kg ，求此人體重隨時間的變化規律。1t時刻（單位：d （天）的體重為 w(t ) ，根據解：（ ）建立微分方程與定解條件，設熱量平衡原理，在dt 時間內人體熱量的改變量=吸收的熱量消耗的熱量，即Ddw AB Cw(t)dt記 aA B ,bC 則得方程DDdwabw(t)dt設開始減肥時刻為t0 ，體重為 w0 ，于是初值條件為w(t) t0w0（ 2） 解微分方程，由分離變量法解得方程的通解為w(t )e bt(Ca ebt)b代入初值條件可得特解為w(t )ae bt (w0a )bb（ 3）由上面的結論得如下結論：10由于 lim w(t )a , 因此，隨著時間的增加體重將逐漸趨于常數a ，又tbbaA Bb，因此，只要節食，加強鍛煉，調節新陳代謝，使體重達到你要所希望的體C重是可能的。20若