1、授課主題空間幾何體的表面積與體積教學目的1 了解球體、柱體、錐體、臺體的表面積的計算公式2 了解球體、柱體、錐體、臺體的體積計算公式教學重點靈活運用本節計算公式授課日期及時段2014年08月6日 （8:00- 10:00）第20次課教學內容.1柱、錐、臺和球的側面積和體積面積體積圓柱S側2rhVShr2h圓錐S側rlVShr2hr2圓臺S側(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S側ChVSh正棱錐S側ChVSh正棱臺S側(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR32.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形

2、、扇環形；它們的表面積等于側面積與底面面積之和課前檢測1柱體、錐體、臺體與球的面積(1)圓柱的一個底面積為S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是2S.(×)(2)設長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為3a2.(×)2柱體、錐體、臺體的體積(3)(教材練習改編)若一個球的體積為4，則它的表面積為12.()(4)(2013·浙江卷改編)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于24 cm3.()(5)在ABC中，AB2，BC3，ABC120°，使ABC繞直線BC旋轉一周所形成的幾何體的體

3、積為9.(×)3柱體、錐體、臺體的展開與折疊(6)將圓心角為，面積為3的扇形作為圓錐的側面，則圓錐的表面積等于4.()(7)(2014·青州模擬改編)將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使BDa，則三棱錐DABC的體積為a3.(×)感悟·提升兩點注意一是求幾何體的體積，要注意分割與補形將不規則的幾何體通過分割或補形將其轉化為規則的幾何體求解二是幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個圖形間的聯系，找出其中的量的關系.考點一空間幾何體的表面積【例1】 (2014·日照一模)如圖是一個幾何體的正視圖和側視圖，其俯視圖是面積為8的矩形則該幾何體的

4、表面積是()A8 B208 C16 D248解析由已知俯視圖是矩形，則該幾何體為一個三棱柱，根據三視圖的性質，俯視圖的矩形寬為2，由面積8，得長為4，則該幾何體的表面積為S2××2×22×42×2×4208.答案B規律方法 (1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當的分析，從三視圖中發現幾何體中各元素間的位置關系及數量關系(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理(3)圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之

5、和【訓練1】 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_解析如圖所示：該幾何體為長為4，寬為3，高為1的長方體內部挖去一個底面半徑為1，高為1的圓柱后剩下的部分S表(4×13×43×1)×22×1×12×1238.答案38考點二空間幾何體的體積【例2】 (1)(2013·新課標全國卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A168 B88C1616 D816(2) (2014·福州模擬)如圖所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為1，且AA1底面ABC則三棱錐B1ABC1的體積為

6、 (）A. B.C. D.解析(1)由三視圖可知該幾何體由長方體和圓柱的一半組成其中長方體的長、寬、高分別為4,2,2，圓柱的底面半徑為2、高為4.所以V2×2×4×22××4168.故選A.(2)三棱錐B1ABC1的體積等于三棱錐AB1BC1的體積，三棱錐AB1BC1的高為，底面積為，故其體積為××.答案(1)A(2)A規律方法 (1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分

7、割法、補形法等方法進行求解【訓練2】 如圖所示，已知E，F分別是棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A，CC1的中點，求四棱錐C1B1EDF的體積解法一連接A1C1，B1D1交于點O1，連接B1D，EF，過O1作O1HB1D于H.EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，EF平面B1EDF.A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離平面B1D1D平面B1EDF，且平面B1D1D平面B1EDFB1D，O1H平面B1EDF，即O1H為棱錐的高B1O1HB1DD1，O1Ha.O1H··a·a·aa3.法二連接

8、EF，B1D.設B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1h2B1D1a.由題意得，·SC1EF·(h1h2)a3.考點三球與空間幾何體的接、切問題【例3】 (1)(2013·福建卷)已知某一多面體內接于球構成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是_(2)(2013·遼寧卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A. B2 C. D3審題路線(1)正方體內接于球正方體的體對角線

9、長等于球的直徑求得球的半徑代入球的表面積公式(注意只算球的表面積)(2)BC為過底面ABC的截面圓的直徑取BC中點D，則球心在BC的垂直平分線上，再由對稱性求解解析(1)由三視圖知，棱長為2的正方體內接于球，故正方體的體對角線長為2，即為球的直徑所以球的表面積為S4·212.(2)因為在直三棱柱中AB3，AC4，AA112，ABAC，所以BC5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑，取BC中點D，則OD底面ABC，則O在側面BCC1B1內，矩形BCC1B1的對角線長即為球的直徑，所以2r13，即r.答案(1)12(2)C規律方法 解決球與其他幾何體的切、接問題，關鍵在于仔細觀察、分析，

10、弄清相關元素的關系和數量關系，選準最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素之間的關系)，達到空間問題平面化的目的【訓練3】 (2013·新課標全國卷)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解析作出該球的軸截面，如圖所示，依題意BE2 cm，AECE4 cm，設DEx，故AD2x，因為AD2AE2DE2，解得x3(cm)，故該球的半徑AD5 cm，所以VR3(cm

11、3答案A考點四幾何體的展開與折疊問題【例4】 (1)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去AOB，將剩余部分沿OC，OD折疊，使OA，OB重合，則以A，B，C，D，O為頂點的四面體的體積為_(2)如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為直角三角形，ACB90°，AC4，BCCC13.P是BC1上一動點，則CPPA1的最小值為_(其中PA1表示P，A1兩點沿棱柱的表面距離)解析(1)折疊后的四面體如圖所示OA，OC，OD兩兩相互垂直，且OAOCOD2，體積V SOCD·OA××(2)3.(2)由題意知，把面BB1C1

12、C沿BB1展開與面AA1B1B在一個平面上，如圖所示，連接A1C即可則A1、P、C三點共線時，CPPA1最小，ACB90°，AC4，BCC1C3，A1B1AB5，A1C1538，A1C.故CPPA1的最小值為.答案(1)(2)規律方法 (1)有關折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數量關系，哪些變，哪些不變(2)研究幾何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當的母線或棱展開，轉化為平面上兩點間的最短距離問題【訓練4】 如圖為一幾何體的展開圖，其中ABCD是邊長為6的正方形，SDPD6，CRSC，AQAP，點S，D，A，Q共線，點P，D，

13、C，R共線，沿圖中虛線將它們折疊起來，使P，Q，R，S四點重合，則需要_個這樣的幾何體，可以拼成一個棱長為6的正方體解析由題意知，將該展開圖沿虛線折疊起來以后，得到一個四棱錐PABCD(如圖所示)，其中PD平面ABCD，因此該四棱錐的體積V×6×6×672，而棱長為6的正方體的體積V6×6×6216，故需要3個這樣的幾何體，才能拼成一個棱長為6的正方體答案3 方法優化特殊點在求解幾何體的體積中的應用【典例】 (2012·山東卷)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E，F分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1EDF的體

14、積為_一般解法 三棱錐D1EDF的體積即為三棱錐FDD1E的體積因為E，F分別為AA1，B1C上的點，所以在正方體ABCDA1B1C1D1中EDD1的面積為定值，F到平面AA1D1D的距離為定值1，所以××1.優美解法 E點移到A點，F點移到C點，則××1×1×1.答案反思感悟 (1)一般解法利用了轉化思想，把三棱錐D1EDF的體積轉化為三棱錐FDD1E的體積，但這種解法還是難度稍大，不如采用特殊點的解法易理解、也簡單易求(2)在求幾何體體積時還經常用到等積法、割補法【自主體驗】如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱AA1與側面BC

15、C1B1的距離為2，側面BCC1B1的面積為4，此三棱柱ABCA1B1C1的體積為_解析補形法將三棱柱補成四棱柱，如圖所示記A1到平面BCC1B1的距離為d，則d2.則V三棱柱V四棱柱×4×24.答案4 1對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積的問題，要結合它們的結構特點與平面幾何知識來解決2求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個側面作為底面，另一條側棱作為高來求體積3與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適

16、的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1(2013·廣東卷)某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是()A4 B. C. D6解析由四棱臺的三視圖可知該四棱臺的上底面是邊長為1的正方形；下底面是邊長為2的正方形，高為2.由棱臺的體積公式可知該四棱臺的體積V(1222)×2，故選B.答案B2(2013·湖南卷)已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于()A1 B

17、. C. D.解析由俯視圖的面積為1可知，該正方體的放置如圖所示，當正視圖的方向與正方體的側面垂直時，正視圖的面積最小，其值為1，當正視圖的方向與正方體的對角面BDD1B1或ACC1A1垂直時，正視圖的面積最大，其值為，由于正視圖的方向不同，因此正視圖的面積S1，故選C.答案C3(2014·許昌模擬)如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為()A4 B. C3 D2解析由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱，S表2××2×1×1.答案B4.如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABC

18、D是邊長為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為()A. B. C. D.解析如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC××1，VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC×××2×1.故選A.答案A5(2012·新課標全國卷)平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為()A. B4 C4 D6解析如圖，設截面圓的圓心為O，M為截面圓上任一點，則OO，OM1，OM

19、，即球的半徑為，V()34.答案B二、填空題6(2013·遼寧卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_解析由三視圖可知該幾何體是一個圓柱內部挖去一個正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為16；正四棱柱底面邊長為2，高為4，故體積為16，所以幾何體的體積為1616.答案16167(2013·陜西卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為_解析該幾何體為一個半圓錐，故其體積為V×××12×22.答案8(2013·江蘇卷)如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1V2_.解析設三棱柱A1B1C1ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1×S·hShV2，即V1V212