1、一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容。這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運用。函數與方程思想：若=與軸有交點()=0若=()與=()有交點(，)=有解。下面我們將主要結合二次函數圖象的性質，分兩種情況系統地介紹一元二次方程實根分布的充要條件及其運用。一一元二次方程根的基本分布零分布所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對于零的關系。比如二次方程有一正根，有一負根，其實就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根分布在零的兩側。設一元二次方程（）的兩個實根為，

2、且。【定理1】，(兩個正根)，推論：，或上述推論結合二次函數圖象不難得到。【例1】 若一元二次方程有兩個正根，求的取值范圍。分析：依題意有0<<1。【定理2】，推論：，或由二次函數圖象易知它的正確性。圖2【例2】 若一元二次方程的兩根都是負數，求的取值范圍。（或k>3）【定理3】【例3】 在何范圍內取值，一元二次方程有一個正根和一個負根？分析：依題意有<0=>0<<3【定理4】 ，且；，且。【例4】 若一元二次方程有一根為零，則另一根是正根還是負根？分析：由已知3=0，=3，代入原方程得3+5=0，另一根為負。二一元二次方程的非零分布分布設一元二次方程

3、（）的兩實根為，且。為常數。則一元二次方程根的分布（即，相對于的位置）有以下若干定理。【定理1】【定理2】。【定理3】。推論1 。推論2 。【定理4】有且僅有（或）【定理5】或此定理可直接由定理4推出，請讀者自證。【定理6】或三、例題與練習【例5】 已知方程的兩實根都大于1，求的取值范圍。（）（2）若一元二次方程的兩個實根都大于-1，求的取值范圍。 （）（3）若一元二次方程的兩實根都小于2，求的取值范圍。 （）【例6】 已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范圍。 （）（2）已知方程有一實根在0和1之間，求的取值范圍。 （）（3）已知方程的較大實根在0和1之間，求實數的取值范圍。 變式：

4、改為較小實根 （不可能；）（4）若方程的兩實根均在區間（、1）內，求的取值范圍。 （）（5）若方程的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求的取值范圍。 （）（6）已知關于的方程的兩根為且滿足，求的取值范圍。 （或）【例7】 已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區間(1，0)內，另一根在區間(1，2)內，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區間(0，1)內，求m的范圍.本題重點考查方程的根的分布問題，解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數性質所具有的意義.技巧與方法：設出二次方程對應的函數，可畫出相應的示意圖，然后用函數性質加以限制.解：(1)

5、條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區間(1，0)和(1，2)內，畫出示意圖，得.(2)據拋物線與x軸交點落在區間(0，1)內，列不等式組(這里0<m<1是因為對稱軸x=m應在區間(0，1)內通過)1 若方程有兩個不相同的實根，求的取值范圍。提示：令=轉化為關于的一元二次方程有兩個不同的正實根。答案：0<<12 若關于的方程有唯一的實根，求實數的取值范圍。提示：原方程等價于即O206令=+12+6+3(1) 若拋物線=與軸相切，有=1444(6+3)=0即=。將=代入式有=6不滿足式，。(2) 若拋物線=與軸相交，注意到其對稱軸為=6，故交點

6、的橫坐標有且僅有一個滿足式的充要條件是解得。當時原方程有唯一解。O2061633另法：原方程等價于+20=863(<20或>0)問題轉化為：求實數的取值范圍，使直線=863與拋物線 =+20 (<20或>0)有且只有一個公共點。A、 雖然兩個函數圖像都明確，但在什么條件下它們有且只有一個公共點卻不明顯，可將變形為+12+3=6(<20或>0)，再在同一坐標系中分別也作出拋物線=+12+3和直線=6，如圖，顯然當3<6163即時直線=6與拋物線有且3.二次方程有一個正根和一個負根的充分不必要條件是 A、 B、 C 、 D、 答案:C4已知二次函數，設方程的兩個實數根為和. （1）如果，設函數的對稱軸為，求證：；（2）如果，求的取值范圍.解析：設，則的二根為和。（1）由及，可得 ，即，即兩式相加得，所以，；（2）由, 可得 。又，所以同號 ，等價于或,即 或解之得 或。點評：條件實際上給出了的兩個實數根所在的區間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉化5.（2009江蘇卷）(本小題滿分16分) 設為實數，函數. (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值； (3)設函數，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.【解析】本小題主要考查函數的概念、性質、圖象及解一元二次不等式等基礎知識，考