1、第一章 函數(shù)與極限2008考試內(nèi)容函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 函數(shù)關(guān)系的建立數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左極限和右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系 無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較 極限的四則運算 極限存在的兩個準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則 兩個重要極限：函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點的類型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2008考試要求1. 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系。2. 了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。3. 理解復(fù)合函數(shù)及

2、分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4. 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。5. 理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系。6. 掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。7. 掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8. 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。9. 理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。10. 了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)

3、。一、函數(shù)的類型 1類 型：1.1 有界函數(shù)，如：，等等；無界函數(shù)，如。注意無界量與無窮大量的區(qū)別。1.2 單調(diào)函數(shù)（，），注意單調(diào)函數(shù)一般指嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，注意它與單調(diào)不增函數(shù)或單調(diào)不減函數(shù)的區(qū)別。1.3 周期函數(shù)，滿足：，注意一般指最小的正周期。1.4 復(fù)合函數(shù)，一般形式為：，指自變量為函數(shù)的函數(shù)。1.4 反函數(shù)，存在一一映射的情況下，二者互為反函數(shù)，關(guān)于反函數(shù)具有下列重要性質(zhì)： 若為的反函數(shù)，則在某些場合，常把的反函數(shù)記為或，此時已重新把視為自變量，在反函數(shù)記號的使用中，一定要分清是否需要換變量記號。 改變記號后，互為反函數(shù)的兩個函數(shù)和的曲線關(guān)于直線對稱；沒有改變記號，互為反函數(shù)的兩個函數(shù)

4、和的曲線重合。與反函數(shù)的定義域與值域具有對偶性，即的定義域必為的值域，而的值域必為的定義域，并且 1.5 分段函數(shù)，如：1.6 隱函數(shù)，如。1.7 奇偶函數(shù)與對稱性 若的圖形有對稱軸， 則有，且為偶函數(shù)。 若的圖形有對稱中心， 則有，且為基函數(shù)。 若的圖形有對稱中心和，且 則 可見，為周期為的周期函數(shù)。2兩個特性： 定義域與對應(yīng)法則 自變量表示法的無關(guān)性；3表示方法：數(shù)學(xué)式（參數(shù)表示、方程表示、分段表示）；表格式；圖形；文字敘述。還可 以是極限形式、導(dǎo)數(shù)、積分或級數(shù)等形式表示。二、七個基本初等函數(shù)冪函數(shù) 是常數(shù)，指數(shù)函數(shù) a>0, a1，對數(shù)函數(shù) a>0, a1，三角函數(shù) 反三角函

5、數(shù) ，, ，, ， ， 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 常數(shù)函數(shù) 初等函數(shù)：由7個初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算和有限次復(fù)合并能用一個式子表達出來的函 數(shù)。非初等函數(shù)：如，七個基本初等函數(shù)的定義域與值域及其圖形，讀者必須掌握，是考試重點。三、函數(shù)的連續(xù)與間斷1、函數(shù)的連續(xù)要求 在xo的鄰域內(nèi)有定義； 存在； 2、函數(shù)的間斷點 在xo鄰域無定義； 不存在，包括至少有一個不存在的情形； 單極限不存在時的不連續(xù)點稱為：第類間斷點。分為以下兩類： 可去間斷點（通過改變函數(shù)在點的定義值） 跳躍間斷點 單極限存在時的不連續(xù)點稱為：第類間斷點。分為以下兩類：至少有一個不存在，包含振蕩間斷點與無窮間斷點。四、重要結(jié)論：1分段

6、函數(shù)不一定是非初等函數(shù)，如就是初等函數(shù)。2周期函數(shù)定義域不一定是一個區(qū)間，如的定義域為一系列離散的點；不一定有最少的周期，如沒有最小正周期。3無窮小是指以0為極限的函數(shù)；無窮大是指函數(shù)的絕對值無限增大，不是一個函數(shù)。等價無窮小是當(dāng)時二者比的極限為1，在求極限時，只有在因式情況下可作部分代換。4初等函數(shù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)，如，沒有一點存在鄰域，故不連續(xù)。而初等函數(shù)在其定義子區(qū)間內(nèi)一定連續(xù)。五、分段函數(shù)的復(fù)合與連續(xù)性及反函數(shù)題型研究【例1】 設(shè) 求。解：一般方法：如求，先將的表達式及區(qū)間段中的改寫成，再解關(guān)于的不等式，確定的取值范圍（由的值域確定所在區(qū)段）。數(shù)代入定義域后變成值域，由該值域找到

7、對應(yīng)的定義域。 【例2】 設(shè) 求。解： 【例3】 設(shè) 求。解：【例4】 求. 解：當(dāng) 要么 要么， 當(dāng)要么 要么，所以：【例5】 討論的連續(xù)性。解：當(dāng)時，分別在相應(yīng)的區(qū)域連續(xù)；當(dāng)邊界點時，故為第一類跳躍間斷點；同理當(dāng)分界點時， 都為第一類跳躍間斷點；【例6】 設(shè) 求。解：【例7】 討論的間斷點。解：方法：先找出函數(shù)的無定義點，他們一定都是間斷點，然后再逐個檢查無定義點的極限，從而判斷他們所屬間斷點的具體類型。無定義點 為第一類可去間斷點； 為第二類無窮大間斷點。【例8】 研究函數(shù)的連續(xù)性。解：方法：先檢查每一個分段上有無間斷段；然后檢查邊界點的單極限；最后檢查分界點的左右極限。 時， 連續(xù) ，

8、在右連續(xù)同理：在連續(xù)，在左連續(xù)。 在分界點： 所以為第一類跳躍間斷點。【】 解： 【】解： 【】解： 【例12】 求 的反函數(shù)。（提示：設(shè)）解 故 【例13】 設(shè) 解：令 技巧：利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性。【例14】 設(shè) （x0,1） 求。解：令 再令 由原式和、聯(lián)立即可得到 【例15】 求 解： 六、函數(shù)的極限題型與求解方法1、重要結(jié)論： 三大標(biāo)準(zhǔn)極限標(biāo)準(zhǔn)極限一 標(biāo)準(zhǔn)極限二 注：為嚴(yán)格單調(diào)增加的，證明如下：陳氏第1技 標(biāo)準(zhǔn)極限三 評 注 導(dǎo)數(shù)定義作為標(biāo)準(zhǔn)極限的應(yīng)用的兩個要點是：自變量有一個固定點；在固定點的 鄰域函數(shù)有定義。 間斷函數(shù)整體極限存在的六種可能形式（考研題型范圍內(nèi)） 反過來，如果已

9、知間斷函數(shù)整體的極限存在，則必為上述六種極限形式之一，此結(jié)論在考研中經(jīng)常使用。求極限時，首先強行代入，如果能直接得出值，則為連續(xù)函數(shù)；反過來，如果是連續(xù)函數(shù)，求極限時就可直接代入；如果不能得出值，就是間斷函數(shù)，這時，需要先定型（屬于上述六類哪一種），再根據(jù)相應(yīng)的方法解決它，即后定法。的速度排列（由慢到快，即無窮大階次由低到高），此結(jié)論相當(dāng)重要，務(wù)必記住！ 可以等于 當(dāng)=1時與為等價無窮小；當(dāng)，且時與為同階無窮小； 當(dāng)時是的高階無窮小； 當(dāng)時是的高階無窮小。 常用的等價無窮小： 評 注 等價無窮小在極限中的應(yīng)用，其本質(zhì)上是利用泰勒公式中的佩亞若余項麥克勞林展開形式，一般使用到一級即可，但在必要的

10、場合要使用到二級，甚至更高級。上述公式中，括弧內(nèi)的形式使用率較高，請讀者留意。 極限的三大重要定理1）保號（保序）性定理。如果 2）唯一性定理。我們說不存在，就是因為是個變量，違背了極限的唯一性。對于離散量求極限可以等價轉(zhuǎn)化為連續(xù)量求極限。 3）有界性定理。極限的脫帽法： 【例16】 已知。 解： 【例17】已知，求。解： 【例18】已知，求。解： 【例19】設(shè)函數(shù)在點連續(xù)，且滿足：，求。解： Stolze公式：型的Stolze公式：設(shè)嚴(yán)格單調(diào)增，且 若 則有：型的Stolze公式：設(shè)嚴(yán)格單調(diào)減至0，且 若 則有：【例20】 設(shè) 證明： 重要不等式： 斯特令公式：對所求極限存在階乘時，利用此公

11、式進行等價代換很方便。【例21】 求 解法一： 解法二： 解法三： 讀者比較一下，就知道方便，另外，請放心大膽使用，不要擔(dān)心閱卷問題。2、函數(shù)極限8大法 等價無窮小替換； 取指數(shù)； 因式分解或根式有理化； 洛比達法則（）； 變量變換（代數(shù)、三角、倒數(shù)、根式、同除等）； 數(shù)學(xué)歸納與遞推； 利用泰勒公式； 導(dǎo)數(shù)定義。【例22】 求解法一：利用羅比達法則 解法二：利用泰勒展開【例23】 求 解：原式= 【例24】 提示：利用 解：原式=【例25】 解：原式= 【例26】 解： 【例27】 設(shè)，證明 存在，并求此極限。證明： 采用歸納法，先考慮的有界性，再考慮單調(diào)性。 假設(shè)：，則，故有界。又，故單調(diào)。

12、 所以，存在。記。由極限的唯一性，對兩邊同時取極限，得 再由極限的保序性。得，所以。【例28】 已知在內(nèi)可導(dǎo)，且有，求。 解： 【例29】 求 解： 【例30】 求 解：對于取整函數(shù)有以下兩個結(jié)論：1） 2） 利用夾逼準(zhǔn)則得：【例31】 已知 存在，求，。解： 當(dāng)且僅當(dāng)時，原極限存在，故 【例32】 設(shè)在某鄰域可導(dǎo)，求 解： 根據(jù)極限的唯一性，令，等價求 【例33】 解： 【例34】求解： 【例35】解：此類極限的求解一般方法是，將無窮大量換成無窮小量 如果分子和分母都是一個整式，則直接比較最高次項的系數(shù)，如求 【例36】設(shè)，在區(qū)間內(nèi)有定義，若當(dāng)時，恒有，求。解： 【例37】設(shè)在上一階可導(dǎo)，在

13、內(nèi)二階可導(dǎo)，證明：內(nèi)恰有一個零點。證：不妨設(shè)，由極限的保序性知，存在，使得又因為，所以：【例38】設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，證明：（1）；（2）。證明：（1）再由極限保序性，得存在，使得 根據(jù)拉格朗日微分中值定理，使得（2）由一結(jié)論知【例39】在上連續(xù)，且，求。解：，所以在點連續(xù)。【例40】，試討論的可導(dǎo)性。解：這是一個含參極限問題，一般方法是對參數(shù)分段討論。由于每個定義區(qū)間為初等函數(shù)，是連續(xù)的，故，只需討論的可導(dǎo)性故兩點不可導(dǎo)，其余均可導(dǎo)。【例41】已知有整數(shù)使極限存在且不為零，求。解： 此極限存在，則必為型，故不為零，則與必須為同階無窮大，所以， 注：類似的題型很普遍，請讀者掌握其中的解法

14、本質(zhì)。如六、數(shù)列極限四大法（n次和，n+） 特殊級數(shù)求極限法 轉(zhuǎn)化為函數(shù)求極限法 利用定積分定義法求極限 注意：實際應(yīng)用中注意以下兩點：1，區(qū)間為；2，寫成 利用夾逼準(zhǔn)則【例42】 解：原式=令 =故原極限=【例43】 解： 【例44】 。解：原式=上述極限存在，必須為【例45】 ，若是其可去間斷點，求的值。解： 【例46】 求解：原式=由夾逼準(zhǔn)則知，原極限=【例47】求極限解：根據(jù)定理（見同濟五版Page121）：第一章 函數(shù)、極限和連續(xù)模擬題一填空題1、 2、設(shè)，則、 、設(shè)，則、若，則 ，、設(shè)函數(shù)，則、若均為常數(shù)，則、已知當(dāng)時，與是等價無窮小，則常數(shù)、設(shè)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，若函數(shù)在處連續(xù)，則常數(shù)。二、選擇題、設(shè)函數(shù)，則是（）偶函數(shù)（）無界函數(shù)（）周期函數(shù)（）單調(diào)函數(shù)、設(shè)對任意的x，總有，且，則（）存在且等于零（）存在但不一定為零（）一定不存在（）不一定存在、設(shè)，其中，則必有（）bd（）bd（）ac（）ac、設(shè)數(shù)列則當(dāng)時， （）無窮大量（）無窮小量（）有界變量（）無界變量、（）等價無窮小（）同價但非等價的無窮小（）高價無窮小（）低價無窮小