1、 立體幾何答案 翰林學校 宗克志26.【2012高考遼寧理18】(本小題滿分12分) 如圖，直三棱柱，點M，N分別為和的中點。 ()證明：平面; ()若二面角為直二面角，求的值。【命題意圖】本題主要考查線面平行的判定、二面角的計算，考查空間想象能力、運算求解能力，是容易題.【解析】（1）連結，由已知三棱柱為直三棱柱，所以為中點.又因為為中點所以，又平面 平面，因此 6分（2）以為坐標原點，分別以直線為軸，軸，軸建立直角坐標系，如圖所示設則，于是，所以，設是平面的法向量，由得，可取設是平面的法向量，由得，可取因為為直二面角，所以，解得12分【點評】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定

2、，借助空間直角坐標系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直關系，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，難度適中。第一小題可以通過線線平行來證明線面平行，也可通過面面平行來證明。27.【2012高考湖北理19】（本小題滿分12分）如圖1，過動點A作，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿將折起，使（如圖2所示） （）當的長為多少時，三棱錐的體積最大；（）當三棱錐的體積最大時，設點，分別為棱，的中點，試在棱上確定一點，使得，并求與平面所成角的大小DABCACDB圖2圖1ME.·第19題圖【答案】（）解法1：在如圖1所示的中，設，則由，知，為等腰直角三角形，所以.由折

3、起前知，折起后（如圖2），且，所以平面又，所以于是，當且僅當，即時，等號成立，故當，即時, 三棱錐的體積最大 解法2：同解法1，得 令，由，且，解得當時，；當時， 所以當時，取得最大值故當時, 三棱錐的體積最大 （）解法1：以為原點，建立如圖a所示的空間直角坐標系由（）知，當三棱錐的體積最大時，于是可得，且設，則. 因為等價于，即，故，.所以當（即是的靠近點的一個四等分點）時， 設平面的一個法向量為，由 及，得 可取 設與平面所成角的大小為，則由，可得，即CADB圖aEMxyz圖bCADBEFMN 圖cBDPCFNEBGMNEH圖d第19題解答圖N 故與平面所成角的大小為 解法2：由（）知，當

4、三棱錐的體積最大時，如圖b，取的中點，連結，則.由（）知平面，所以平面.如圖c，延長至P點使得，連，則四邊形為正方形，所以. 取的中點，連結，又為的中點，則，所以. 因為平面，又面，所以. 又，所以面. 又面，所以.因為當且僅當，而點F是唯一的，所以點是唯一的.即當（即是的靠近點的一個四等分點）， 連接，由計算得，所以與是兩個共底邊的全等的等腰三角形，如圖d所示，取的中點，連接，則平面在平面中，過點作于，則平面故是與平面所成的角 在中，易得，所以是正三角形，故，即與平面所成角的大小為 31.【2012高考福建理18】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點.（）

5、求證：B1EAD1；（）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長；若不存在，說明理由. （）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長.【答案】本題主要考查立體幾何中直線與直線、直線與平面的位置關系及二面角的概念與求法等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、基本運算能力，以及函數與方程的思想、數形結合思想、化歸與轉化思想.解答：（）長方體中， 得：面面（）取的中點為，中點為，連接 在中，面 此時（）設，連接，過點作于點，連接 面， 得：是二面角的平面角 在中， 在矩形中， 得：32.【2012高考北京理16】（本小題共14分）

6、 如圖1，在RtABC中，C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DEBC，DE=2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如圖2.(I)求證：A1C平面BCDE；(II)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大小；(III)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由【答案】解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如圖建系，則，,設平面法向量為則 又，與平面所成角的大小。（3）設線段上存在點，設點坐標為，則則，設平面法向量為，則 。假設平面與平面垂直，則，不存在線段上存在點，使平面與平面垂直。33.【2012高考

7、浙江理20】(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為的菱形，且BAD120°，且PA平面ABCD，PA，M，N分別為PB，PD的中點()證明：MN平面ABCD；() 過點A作AQPC，垂足為點Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值【命題立意】本題主要考查空間點、線、面的位置關系，二面角所成角等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力。【答案】()如圖連接BDM，N分別為PB，PD的中點，在PBD中，MNBD又MN平面ABCD，MN平面ABCD；()如圖建系：A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，0)，N(，0，0)，C(，3，0)設Q(x，y，z)，則，由，得

8、： 即：對于平面AMN：設其法向量為則 同理對于平面AMN得其法向量為記所求二面角AMNQ的平面角大小為，則所求二面角AMNQ的平面角的余弦值為35.【2012高考江西理19】（本題滿分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O。（1）證明在側棱AA1上存在一點E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的長；（2）求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值。解：（1）證明：連接AO，在中，作于點E，因為，得,ByOCAEzA11B1C1x因為平面ABC，所以,因為,得,所以平面,所以,所以平面,又,得(2)如圖所示，

9、分別以所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0)由（1）可知得點E的坐標為，由（1）可知平面的法向量是，設平面的法向量，由，得，令，得，即所以即平面平面與平面BB1C1C夾角的余弦值是。【點評】本題考查線面垂直，二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應用以及空間想象的能力. 高考中，立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直，平行有關的線面關系的證明；二、考查空間幾何體的體積與表面積；三、考查異面角，線面角，二面角等角度問題.前兩種考查多出現在第1問，第3種考查多出現在第2問；對于角度問題，一般有直接法

10、與空間向量法兩種求解方法.37.【2012高考上海理19】（6+6=12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點，已知，求：（1）三角形的面積；ABCDPExyz（2）異面直線與所成的角的大小。解（1）因為PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD， 從而CDPD. 3分 因為PD=，CD=2， 所以三角形PCD的面積為. 6分 （2）解法一如圖所示，建立空間直角坐標系， 則B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， ，. 8分 設與的夾角為q，則 ，q=.ABCDPEF 由此可知，異面直線BC與AE所成的角的大小是 12分 解法二取PB中點F，

11、連接EF、AF，則 EFBC，從而AEF（或其補角）是異面直線 BC與AE所成的角 8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形， 所以AEF=. 因此異面直線BC與AE所成的角的大小是 12分【點評】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系，考查空間想象能力和推理論證能力綜合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時考查空間幾何體的體積公式的運用.本題源于必修2立體幾何章節復習題，復習時應注重課本，容易出現找錯角的情況，要考慮全面，考查空間想象能力，屬于中檔題38.【2012高考全國卷理18】（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面A

12、BCD為菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC.（）證明：PC平面BED；（）設二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小.【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關于線面垂直的證明以及線面角的求解的運用。從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應的垂直關系和長度，并加以證明和求解。解：設,以為原點，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則設。（）證明：由得， 所以，所以，。所以,，所以平面；（） 設平面的法向量為，又，由得，設平面的法向量為，又，由，得，由于二面角為，所以，解得。 所以，平面的法向量為，所以與平面所成角的正弦值為，所以

13、與平面所成角為.【點評】試題從命題的角度來看，整體上題目與我們平時練習的試題和相似，底面也是特殊的菱形，一個側面垂直于底面的四棱錐問題，那么創新的地方就是點的位置的選擇是一般的三等分點，這樣的解決對于學生來說就是比較有點難度的，因此最好使用空間直角坐標系解決該問題為好。39.【2012高考山東理18】（18）（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，平面.（）求證：平面；（）求二面角的余弦值.【答案】（）證明：因為四邊形為等腰梯形， 所以 又 ， 所以 因此 ， 又 ，且，平面， 所以 平面 （）解法一： 由（I）知，所以，又平面， 因此 兩兩垂直以為坐標原點，分別以所在的直

14、線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，不妨設，則， ， 因此 ， 設平面的一個法向量為， 則 ， 所以 ，取， 則 又平面的法向量可以取為， 所以 ， 所以二面角的余弦值為 解法二： 取的中點，連結，由于，所以 又平面，平面，所以 由于，平面，所以平面，故所以為二面角的平面角 在等腰三角形中，由于， 因此，又， 所以， 故 ,因此 二面角的余弦值為40.【2012高考湖南理18】（本小題滿分12分） 如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90°，E是CD的中點.（）證明：CD平面PAE；（）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平

15、面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.【答案】解法1（如圖（1），連接AC，由AB=4，是的中點，所以所以而內的兩條相交直線，所以CD平面PAE.（）過點作由（）CD平面PAE知，平面PAE.于是為直線與平面PAE所成的角，且.由知，為直線與平面所成的角.由題意，知因為所以由所以四邊形是平行四邊形，故于是在中，所以于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為解法2：如圖（2），以A為坐標原點，所在直線分別為建立空間直角坐標系.設則相關的各點坐標為：（）易知因為所以而是平面內的兩條相交直線，所以()由題設和（）知，分別是，的法向量，而PB與所成的角和PB與所成的角相等，所以由（）知，由故解得.又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為 .41.【2012高考天津理17】（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（）證明PCAD；（）求二面角A-PC-D的正弦值；（）設E為棱P