1、第十章 組 合 變 形第一節 組合變形的概念在前面各章中分別討論了桿件在拉伸（或壓縮）、剪切、扭轉和彎曲（主要是平面彎曲）四種基本變形時的內力、應力及變形計算，并建立了相應的強度條件。另外，也討論了復雜應力狀態下的應力分析及強度理論。但在實際工程中桿件的受力有時是很復雜的，如圖10-1所示的一端固定另一端自由的懸臂桿，若在其自由端截面上作用有一空間任意的力系，我們總可以把空間的任意力系沿截面形心主慣性軸簡化，得到向，三坐標軸上投影，和對，三坐標軸的力矩，。當這六種力（或力矩）中只有某一個作用時，桿件產生基本變形，這在前面已經討論過了。圖10-1 桿件的復雜受力桿件同時有二種或二種以上的基本變形

2、的組合時，稱為組合變形，例如：若六種力只有和（或）二個作用時，桿件既產生拉（或壓）變形又產生純彎曲，簡稱為拉（壓）純彎曲的組合，又可稱它為偏心拉（壓），如圖10-2（a）。若六種力中只有和二個作用時，桿件產生兩個互相垂直方向的平面彎曲（純彎曲）的組合，如圖10-2（b）。若六種力中只有和二個作用時，桿件也產生兩個互相垂直方向的平面彎曲（橫力彎曲）的組合，如圖10-2（c）。若六種力中只有對和二個作用時，桿件產生彎曲和扭轉的組合，如圖10-2（d）。若六種力中有，和三個作用時，桿件產生拉（壓）與彎曲和扭轉的組合，如圖10-2（e）。組合變形的工程實例是很多的，例如，圖10-3（a）所示屋架上檁條

3、的變形，是由檁條在，二方向的平面彎曲變形所組合的斜彎曲；圖10-3（b）表示一懸臂吊車，當在橫梁AB跨中的任一點處起吊重物時，梁AB中不僅有彎矩作用，而且還有軸向壓力作用，從而使梁處在壓縮和彎曲的組合變形情況下；圖10-3（c）中所示的空心橋墩（或渡槽支墩），圖10-3（d）中所示的廠房支柱，在偏心力，作用下，也都會發生壓縮和彎曲的組合變形；圖10-3（e）中所示的卷揚機機軸，在力P作用下，則會發生彎曲和扭轉的組合變形。圖10-2 幾種組合變形圖10-3 組合變形的實例表10-1 桿件在四種基本變形情況下的外力、內力、應力和變形的計算公式以及強度條件基本變形類型拉伸(壓縮)剪 切扭 轉彎 曲受

4、力特點橫截面內力(軸力)(剪力)(扭矩)(彎矩)(剪力)橫截面上的應力分布情況(均布)(假設均布) (線性分布) (線性分布) (拋物線分布)應力計算公式變形計算公式危險截面上最大應力計算公式強度條件在小變形假設和虎克定律有效的情況下可根據疊加原理來處理桿件的組合變形問題。即首先將桿件的變形分解為基本變形，然后分別考慮桿件在每一種基本變形情況下所發生的應力、應變或位移，最后再將它們疊加起來，即可得到桿件在組合變形情況下所發生的應力、應變或位移。為了便于讀者研究桿件的組合變形問題，表10-1列出了桿件在四種基本變形情況下的外力、內力、應力和變形的計算公式以及強度條件，作為前面內容的小結。在本章中

5、，將著重介紹工程實際中遇到較多的三種組合變形問題，即：（1）兩個平面彎曲的組合；（2）拉伸或壓縮與彎曲的組合（包括偏心拉伸或壓縮）；（3）扭轉與彎曲的組合。第二節 兩個互相垂直方向的平面彎曲的組合第四章曾經提到，對于橫截面有豎向對稱軸（即形心主軸）的梁，若所有的外力都作用在包含此豎向對稱軸與梁軸線的縱向對稱平面內，則梁在發生彎曲變形時，其彎曲平面（即撓曲軸線所在平面）將與外力的作用平面相重合，并將梁的這種彎曲叫做平面彎曲。圖10-3（a）中的矩形截面梁（檁條），其矩形截面具有兩個對稱軸（也叫形心主軸）。作用在該梁上的外力（上部荷載與自重）的作用線雖通過截面的形心，但與其二形心主軸不重合。在這種

6、情況下，我們可以將外荷載沿二形心主軸分解，在某一分荷載作用下都將產生平面彎曲，這就叫兩個平面彎曲的組合。橫截面上任一點處的正應力，可看做兩個平面彎曲下的正應力的疊加。而桿件的變形曲線一般不會發生在外力作用平面內。通常把外力所在平面與變形曲線所在平面不重合的彎曲稱為斜彎曲。在第五章中曾指出，具有非對稱截面的梁，只有當外力通過其彎曲中心，且作用在與其形心主慣性平面平行的平面內時，它才會只發生平面彎曲。例如圖10-4（a）、（b）所示的“”形和“Z”形截面檁條，作用其上的外力P雖通過截面的彎曲中心，但因為P所在的平面與形心主慣性平面間存在一夾角，故檁條發生的彎曲仍屬于兩個方向的平面彎曲的組合（也稱為

7、斜彎曲）。圖10-4 在斜彎曲情況下的檁條處理梁的斜彎曲問題的方法是，首先將外力分解為在梁的二形心主慣性平面內的分量，然后分別求解由每一外力分量引起的梁的平面彎曲問題，將所得的結果疊加起來，即為斜彎曲問題的解答。下面舉例加以說明。2.1 梁在斜彎曲情況下的應力如圖10-5所示的懸臂梁，當在其自由端作用有一與截面縱向形心主軸成一夾角的集中荷載P時（為了便于說明，設外力P的作用線處在坐標系的第一象限內），梁發生了斜彎曲。若要求在此懸臂梁中距固定端距離為的任一截面上，坐標為（,）的任一點A處的應力，可按照如下步驟進行。將荷載P設,兩個形心主軸方向進行分解，得到 和 和將分別使梁在和兩個主慣性平面內發

8、生平面彎曲，它們在任意截面上產生的彎矩為圖10-5 在斜彎曲情況下的懸臂梁 （10-2-1）其中的M表示斜向荷載P在任意截面上產生的彎矩。點A處的正應力，可根據疊加原理求出 （10-2-2）公式（10-2-2）是計算梁在斜彎曲情況下其橫截面上正應力的一般公式，它適用于具有任意支承形式和在通過截面形心且垂直于梁軸的任意荷載作用下的梁。但在應用此公式時，要注意隨著支承情況和荷載情況的不同，正確地根據彎矩M確定其分量，的大小和正負號。對彎矩的正負號規定是：凡能使梁橫截面上，在選定坐標系的第一象限內的各點產生拉應力的彎矩為正，反之為負。同樣，荷載P使梁發生斜彎曲時，在梁橫截面上所引起的剪應力，也可將由

9、、分別引起的剪應力和進行疊加而求得。但應注意，因與的指向互相垂直，故疊加時是幾何疊加，即 （10-2-3）2.2 梁在斜彎曲情況下的強度條件在工程設計計算中，通常認為梁在斜彎曲情況下的強度仍是由最大正應力來控制。因橫截面上的最大正應力發生在離中性軸最遠處，故要求得最大正應力，必須先確定中性軸的位置。由于在中性軸上的正應力為零，故可用將代入式（10-2-2）的辦法得到中性軸的方程并確定它在橫截面上的位置。為此，設在中性軸上任一點的坐標為和，代入式（10-2-2），則有或 （10-2-4）式（10-2-4）就是中性軸（圖10-5（b）中的）線的方程。不難看出，它是一條通過截面形心（，）且穿過二、四

10、象限的直線，故在此直線上，除截面形心外，其它各點的坐標和的正負號一定相反。中性軸與軸間的夾角（見圖10-5（b）可用式（10-2-4）求出，即 （10-2-5）在一般情況下，故，即中性軸不垂直于荷載作用平面。只有當，或時，才有，中性軸才垂直于荷載作用平面。顯面易見，或的情況就是平面彎曲情況，相應的中性軸就是軸或軸。對于矩形截面梁來說，說明梁的橫截面是正方形，而通過正方形截面形心的任意坐標軸都是形心主軸，故無論荷載所在平面的方向如何，都只會引起平面彎曲。梁的最大正應力顯然會發生在最大彎矩所在截面上離中性軸最遠的點處，例如圖10-5（b）中的1、2兩點處，且點1處的正應力為最大拉應力，點2處的正應

11、力為最大壓應力。將最大彎矩和點1、點2的坐標（,），（,）代入式（10-2-2）可以得到： （10-2-6）對于具有凸角而又有兩條對稱軸的截面（如矩形、工字形截面等），因，故。這樣，當梁所用材料的抗拉、抗壓能力相同時，其強度條件就可寫為 （10-2-7）式中的，2.3 梁在斜彎曲情況下的變形梁在斜彎曲情況下的變形，也可根據疊加原理求得。例如圖10-5（a）所示懸臂梁在自由端的撓度就等于斜向荷載P的分量，在各自彎曲平面內的撓度的幾何疊加，因故梁在自由端的總撓度圖10-6 梁在斜彎曲情況 下的彎形 （10-2-8）總撓度的方向線與軸之間的夾角可由下式求得 （10-2-9）將式（10-2-9）與式（

12、10-2-5）比較，可知或這就說明，梁在斜彎曲時其總撓度的方向是與中性軸垂直的，即梁的彎曲一般不發生在外力作用平面內，而發生在垂直于中性軸的平面內，如圖10-6所示。從式（10-2-9）可以看出，當值很大時（例如梁橫截面為狹長矩形時），即使荷載作用線與軸間的夾角非常微小，也會使總撓度對軸發生很大的偏離，這是非常不利的。因此，在較難估計外力作用平面與主軸平面是否能相當準確地重合的情況下，應盡量避免采用和相差很大的截面，否則就應采用一些結構上的輔助措施，以防止梁在斜彎曲時所發生的側向變形。例題10-1 有一屋桁架結構如圖10-7（a）所示。已知：屋面坡度為1：2，二桁架之間的距離為4m，木檁條的間

13、距為1.5m，屋面重（包括檁條）為1.4kN/m2。若木檁條采用120 mm×180mm的矩形截面，所用松木的彈性模量為E=10GPa，許用應力=10MPa，許可撓度，試校核木檁條的強度和剛度。解（1）確定計算簡圖屋面的重量是通過檁條傳給桁架的。檁條簡支在桁架上，其計算跨度等于二桁架間的距離=4m，檁條上承受的均布荷載=1.4×1.5=2.1kN/m，其計算簡圖如圖10-7（b）和（c）所示。圖10-7 例題10-1圖（2）內力及有關數據的計算N·mkN·m（發生在跨中截面）屋面坡度為1：2，即或。故，另外算出mmmmmmmm，mm（3）強度校核將上列數

14、據代入式（10-2-7），可得N/m2MPa=10.14 MPa雖稍大于=10 MPa，但所超過的數值小于的5%，故滿足強度要求。（4）剛度校核最大撓度發生在跨中mmmm mm總撓度 mm=20 mm，滿足剛度要求。例題10-2 圖10-8（a）所示將一等邊角鋼（100×100×12）的一端固定在墻上，而在其另一端懸掛一通過其截面形心的重物P=2kN。已知鋼的彈性模量E=210GPa。試計算此角鋼的最大正應力、最大撓度和最大撓度的方向（忽略角鋼的自重及外力P沒有通過角鋼彎曲中心的影響）。解（1）角鋼的有關數據由附錄II型鋼表的表1查得等邊角鋼100×100

15、5;12的一些有關數據如下：=330.95cm4=330.95×104mm4=86.84cm4=86.84×104mm4=2.91cm=29.1mm（2）內力計算等邊角鋼的形心主軸為和，荷載P與主軸間的夾角。最大彎矩發生在固定端截面，即=2×103×1=2000 N·m（3）確定中性軸位置因最大正應力發生在梁橫截面上離中性軸最遠處，故要計算應力必須首先確定中性軸的位置。由式（10-2-4）可求得中性軸的方程，但要注意，因型鋼表中坐標軸的符號與圖10-5中的不同，圖10-8（b）中的軸相當于圖10-5中的軸，而軸則相當于軸，故在角鋼截面上的中性軸

16、方程為同樣，中性軸與軸間的夾角可由式（10-2-5）求出：圖10-8 例題10-2圖（4）最大正應力的計算從圖10-8（b）可見，最大正應力發生在離中性軸最遠的點A處。點A的坐標為（參看圖10-8（c）mmmm根據式（10-2-6）可求得在點A的最大壓應力為N/m2MPa（5）最大撓度的計算最大撓度發生在自由端，由式（10-2-8）可得mmm最大撓度的方向與中性軸垂直，由圖10-8（b）可以看出，它對力P的偏離角為45°14°4030°20討論若力P作用在包含對稱形心主軸的平面內，梁將發生平面彎曲。在這種情況下的最大壓應力仍發生在點A處，即N/m2MPa比梁在斜彎

17、曲情況下的=78.4MPa要小。在這種情況下的最大撓度mmm比梁在斜彎曲情況下的=5.7mm要小得多。第三節 拉伸（或壓縮）與彎曲的組合若作用在桿上的外力除軸向力外，還有橫向力，則桿將發生拉伸（若壓縮）與彎曲的組合變形。如圖10-9（a）、（b）所示的矩形等截面石墩。它同時受到水平方向的土壓力和豎直方向的自重作用。顯然土壓力會使它發生彎曲變形，而自重則會使它發生壓縮變形。因石墩的橫截面積A和慣性矩I都比較大，在受力后其變形很小，故可以忽略其壓縮變形和彎曲變形間的相互影響，并根據疊加原理求得石墩任一截面上的應力。現研究距墩頂端的距離為的任意截面上的應力。由于自重作用，在此截面上將引起均勻分布的壓

18、應力由于土壓力的作用，在同一截面上離中性軸的距離為的任一點處的彎曲應力為根據疊加原理，在此截面上離中性軸的距離為的點上的總應力為應用上式時注意將、的大小和正負號同時代入。石墩橫截面上應力、和的分布情況一般如圖10-9（c）、（d）、（e）所示。由于土壓力和自重大小的不同，總應力的分布也可能有如圖10-9（f）或（g）所示的情況。石墩的最大正應力及最小正應力，都發生在最大彎矩及最大軸力所在的截面上離中性軸最遠處。故石墩的強度條件為 （10-3-1）式中的是石墩矩形橫截面對軸的抗彎截面模量。上面我們以石墩為例介紹了怎樣計算桿在拉伸（或壓縮）與彎曲組合變形情況下的應力。也可用同樣方法求解其它有類似情

19、況的問題。圖10-9 在自重和土壓力作用下的石墩例題10-3 有一三角形托架如圖10-10（a）所示，桿AB為一工字鋼。已知作用在點B處的集中荷載P=8kN，型鋼的許用應力=100MPa，試選擇桿AB的工字鋼型號。解 （1）計算桿AB的內力，并作內力圖桿AB的受力圖如圖10-10（b）所示，由，有求得 kN（）而 kN作出桿AB的彎矩圖和軸力圖分別如圖10-10（c）、（d）所示。（2）從內力圖上可看出最大彎矩（絕對值）及最大軸力均發生在截面C上，分別為 kN·m kN（3）計算最大正應力根據疊加原理，桿AB在截面C上的最大拉應力為 （a）式中的A為桿AB橫截面的面積，為相應的抗彎截

20、面模量。圖10-10 例題10-3圖（4）選擇工字鋼的型號因式（a）中的和均為未知，故需采用試算法。首先選用18號工字鋼，由附錄II型鋼表可查得A=30.8×102mm2，=185×103mm3，代入式（a）得N/m2MPaMPa強度是夠的，但富余太多，不經濟。改選16號工字鋼，其A=26.1×102mm2，=141×103mm3，代入式（a）得N/m2MPaMPa這樣，就既能滿足強度條件，用材又比較經濟。確定選用16號工字鋼。第四節 偏心壓縮（拉伸） 截面核心當桿受到與桿軸線平行但不通過其截面形心的集中壓力P作用時，桿處在偏心壓縮的情況下。圖10-3（

21、c）、（d）中所示的空心墩與廠房支柱就是偏心受壓桿。偏心受壓桿的受力情況一般可抽象為如圖10-11（a）和（b）所示的兩種偏心受壓情況（當P向上時為偏心受拉。）在圖10-11（a）中，偏心壓力P的作用點F是在截面的形心主軸上，即它只在軸的方向上偏心，這種情況在工程實際中是最常見的。若通過力的平移規則將偏心壓力P簡化為作用在截面形心上的軸心壓力P和對形心主軸的彎曲力偶（這里的稱為偏心距），則不難看出，偏心壓力P對桿的作用就相當于軸心壓力對桿的軸心壓縮作用和彎曲力偶對桿的純彎曲作用的組合。由截面法可知，在這種桿的橫截面上，同時存在軸向壓力N=P和彎距。在圖10-11（b）中，偏心壓力P的作用點F既

22、不在截面的形心主軸上，也不在上，即它對于兩個形心主軸來說都是偏心的。同樣，可將這種偏心壓力簡化為作用在截面形心上的軸心壓力P、對形心主軸的彎曲力偶和對形心主軸的彎曲力偶故在桿的橫截面上，同時存在軸向壓力N=P、彎距和彎矩。從上面的分析可見，桿的偏心壓縮，即相當于桿的軸心壓縮和彎曲的組合。因為在偏心受壓桿中，出現的正應力主要是壓應力，故在本節里，為了計算上的方便，我們對正應力正負號的規定作如下的改變，即令壓應力的符號為正，拉應力的符號為負。圖10-11 偏心受壓的兩種情況4.1 單向偏心受壓圖10-11（a）所示的情況也稱為單向偏心受壓。因壓力P的作用線平行于桿軸線，故在桿的各橫截面上有同樣的軸

23、力N和同樣的彎矩M。根據疊加原理，可求得桿任一橫截面上任一點處的正應力為 （10-4-1）在應用式（10-4-1）時，對第二項前的正負號一般可根據彎矩M的轉向憑直觀來選定，即當M對計算點處引起的正應力為壓應力時取正號，為拉應力時取負號。但應注意，在這種情況下，M和都只要代入它們的絕對值。最大正應力和最小正應力分別發生在截面的兩個邊緣上，其計算公式為： （10-4-2）上式中的A為桿的橫截面面積，為相應的抗彎截面模量。對如圖10-11（a）所示的矩形截面偏心受壓桿，從偏心力P所在的位置可以看出，在任一橫截面上，最大的正應力發生在邊緣BC上。在邊緣AD上則根據N和M的不同大小，可能發生最小的壓應力

24、，最大的拉應力或在該處的應力等于零。若將矩形截面的面積A=，抗彎截面模量和截面上的彎矩代入式（10-4-2），即可將其改寫為 （10-4-3）4.2 雙向偏心受壓如上所述，當偏心壓力P的作用點F不在橫截面的任一形心主軸上時（見圖10-11（b）和圖10-12），力P可簡化為作用在截面形心處的軸向壓力P和二彎曲力偶，。故在桿任一橫截面上的內力，將包括軸力N=P和彎矩，根據疊加原理，可得到桿橫截面上任一點（，）處的正應力計算公式為 （10-4-4）圖10-12 雙向偏心受壓式中，和為橫截面分別對軸和軸的慣性矩。將式（10-4-4）與式（10-2-2）比較可以看出，雙向偏心受壓實際上是軸心受壓與斜彎

25、曲的疊加。另外當式（10-4-4）中的或為零時，它就成為在單向偏心受壓情況下的式（10-4-1）。注意式（10-4-4）是根據力P作用在坐標系的第一象限內，并規定壓應力的符號為正而導出的。若需求圖10-12中點C（，）處的應力，應將坐標，的絕對值代入式（10-4-4），并將，所帶的正、負號提到式中各項的前面，則可得到一般說來，每一種內力在截面上某一點處產生的應力的正、負號，是可從圖上直接判斷出來的。例如由圖10-12不難看出，軸心壓力P會使點C處產生壓應力，對軸的彎矩會使點C處產生壓應力，對軸的彎矩則會使點C處產生拉應力，這與上式中各項所有的正負號是一致的。故在應用式（10-4-4）時，經常用

26、到的辦法是，只將N、等的絕對值代入，至于每一項前應有的正負號，則可用上述直接判斷的方法來確定。圖10-13 中性軸的位置為了進行強度計算，我們需要求出在截面上所產生的最大正應力和最小正應力，為此需先確定出中性軸的位置。同樣，根據中性軸的概念可將代入式（10-4-4），求得中性軸的方程為將，代入，則上式可改寫為 （10-4-5）這個方程是一直線方程，故中性軸為一直線，如圖10-13中的直線所示。由式（10-4-5）還可看出，坐標和不能同時為零，故中性軸不通過截面的形心。至于中性軸是在截面之內還是在截面之外，則與力P的作用點F的位置（，）有關。將和分別代入式（10-4-5），即可求得中性軸與軸和軸

27、的截距、（如圖10-13）如下： （10-4-5）由式（10-4-6）可以看出，、愈小時，、，就愈大，即力P的作用點愈向截面形心靠近，截面的中性軸就離開截面形心愈遠，甚至會移到截面以外去。中性軸不在截面上面，則意味著在整個截面上只有壓應力作用。例題10-4 起重能力為80kN的起重機，安裝在混凝土基礎上（圖10-14）。起重機支架的軸線通過基礎的中心。已知起重機的自重為180kN（荷載P及平衡錘Q的重量不包括在內），其作用線通過基礎底面的軸，且有偏心距=0.6m。若矩形基礎的短邊長為3m，問：（1）其長邊的尺寸應為多少才能使基礎上不產生拉應力？（2）在所選的值之下，基礎底面上的最大壓應力等于多

28、少？（已知混凝土的密度=2.243×103kg/m3）解 （1）將有關各力向基礎的中心簡化，得到軸向壓力kN對主軸的力矩為kN·m要使基礎上不產生拉應力，必須使式（10-4-2）中的，將N=P，A=，M和代入，可得從而解得=3.68m，取=3.7m。（2）在基礎底面上產生的最大壓應力可以由式（10-4-2）中的另一式求得為kN/m2MPa公式（10-4-2）也可推廣用于由其它形式荷載使構件同時受到壓縮（或拉伸）和彎曲作用的情況，下面舉例說明。圖10-14 例題10-4圖例題10-5 某水庫溢洪道的漿砌塊石擋土墻如圖10-15所示（墻高與基寬的比例尺未畫成一致），通常是取單位

29、長度（1m）的擋土墻來進行計算。已知：墻的自重，=72kN的作用線到橫截面BC的形心O的距離為=0.8m，=77kN的作用線到點的距離為=0.03m；在橫截面BC以上的土壤作用在墻面上的總土壓力=95kN，其作用線與水平面的夾角=42°，其在墻面上的作用點D到點O的水平距離和豎直距離分別為=0.43m和=1.67m；砌體的許用壓應力為3.5MPa，許用拉應力為0.14MPa。要求計算出作用在截面BC上點B和點C處的正應力并進行強度校核。解 （1）土壓力E的水平分力和豎直分力分別為kNkN作用在橫截面BC上的全部豎向壓力為kN各力對橫截面BC的形心O的總力矩為kN橫截面BC的面積（按1

30、m長的擋土墻計算）A=1×2.2=2.2m2，其抗彎截面模量為m3（2）由式（10-4-2）可求得點C處的正應力kN/m2MPa（壓應力）MPa點B處的正應力kN/m2MPa（拉應力）=0.14MPa故截面滿足強度要求。圖10-15 例題10-5圖例題10-6 圖10-16（a）表示某渡槽工程中混凝土空心墩的構造簡圖。試計算當渡槽正常工作時，在距墩頂的距離為20m處的截面（參看圖10-16（b）上的正應力。已知：當渡槽正常工作時，作用在空心墩上的荷載組合如圖10-16（a）所示。其中，槽身重=2 143kN，水重=2 400kN，截面以上的墩身自重=2 431kN，槽身所受的總風壓力

31、=95.7kN，墩帽所受的總風壓力=11.7kN，截面以上墩身所受的總風壓力=47.3kN。空心墩的截面的尺寸如圖10-16（b）所示。解 由圖10-6（a）可以看出，槽身重、水重及墩身自重等將在截面上產生軸心壓力，而風荷載、等將在截面上產生對軸的彎曲力矩。（1）截面上的內力計算軸力kN彎矩kN·m（2）截面的幾何性質計算m2圖10-16 例題10-6圖式中的是截面的一個角上的圓弧形面積（見圖10-17）對截面主軸的慣性矩，可以算出如下：將m，m，m代入可得m4故m4m3圖10-17 求圓弧形面積對軸的慣性矩（3）截面上的正應力計算kN/m2MPa（都是壓應力）例題10-7 如圖10

32、-18所示的鉆床，當它工作時，鉆孔進刀力P=2kN。已知力P的作用線與立柱軸線間的距離為=180mm，立柱的橫截面為外徑D=40mm，內徑=30mm的空心圓，材料的許用應力=100MPa，試校核此鉆床立柱的強度。解 對于鉆床立柱來說，外力P是偏心的拉力。它將使立柱受到偏心拉伸，在立柱任一橫截面上產生的內力是（如圖10-18（b）。圖10-18 例題10-7圖軸力 kNN彎矩 N·m因軸向拉力N與彎矩M都會使橫截面的內側邊緣的點a處產生拉應力，并使該處的拉應力最大，應對其進行強度校核。MPaMPa滿足強度要求。4.3 截面核心上面曾經指出，采用使偏心壓力P向截面形心靠近（即減小偏心距，

33、）的辦法，可使桿橫截面上的正應力全部為壓應力而不出現拉應力。當偏心壓力作用在截面的某個范圍以內時，中性軸的位置將在截面以外或與截面周邊相切，這樣在整個截面上就只會產生壓應力。通常把截面上的這個范圍稱為截面核心。在工程實際中，磚、石、混凝土一類的建筑材料，其承壓能力比抗拉能力要強得多，故在設計由這類材料制成的構件時，應充分發揮材料的抗壓能力，在構件的橫截面上最好不要出現拉應力，或使拉應力控制在許可的范圍以內，以避免出現拉裂破壞。這就要用到截面核心的概念。圖10-19表示一任意形狀的截面。要求其截面核心時，首先應選擇通過截面形心的主軸與為坐標軸，然后過截面周邊上的任意一點作與周邊相切的中性軸，并求

34、出它在二坐標軸上的截距和，將與代入式（10-4-6）求得和，它們就是與中性軸相對應的偏心壓力作用點的坐標。按照同樣的方法，由與截面周邊相切的一系列中性軸，可求得一系列偏心壓力作用點，將這些點按順序連接起來得出的閉合圖形（如圖10-19中陰影部分）即為我們要求的截面核心。在確定多邊形的截面核心時，會遇到中性軸必須繞一定點（如圖10-19中的點B）轉動的情況，它與力作用點在一直線上的移動相對應。現證明如下：將定點B的坐標與代入中性軸方程（10-4-5）可以得到因截面的形狀不變，其A、均為定值，故上式中的、也都是常數，、間的關系是線性關系。如圖10-19所示，與過點的三條中性軸1-1、2-2、3-3

35、分別對應的力的作用點1、2、3必定在一條直線上。圖10-19 求截面核心對邊長為和的矩形截面（如圖10-20（a），其截面核心可用如下的簡單方法確定。設偏心荷載P作用在形心主軸上的點處時，與其相應的中性軸恰與AD邊重合，運用公式（10-4-3），并令，即可得出；再設偏心荷載P作用在形心主軸上的點處時，與其相應的中性軸恰與BC邊重合，令，即可得出；根據的這兩個值，可在截面的形心主軸上描出點1和3，如圖10-20（b）所示。同樣設偏心荷載作用在另一形心主軸上，且中性軸與CD邊或AB邊重合，可得到，從而又可在截面的形心主軸上描出點2和4。用直線將1、2、3、4順序相連，所形成的菱形（圖10-20（b

36、）中陰影部分）即為矩形截面的截面核心。從圖10-20（b）可以看出，表示偏心壓力P正作用在矩形截面寬度（或）的三分點處。可得到這樣的結論，即：當偏心壓力作用在矩形截面任一形心主軸的中間三分點以內時，在截面上即不會出現拉應力。這個三分點的概念，對于設計磚、石、混凝土等材料結構來說是非常重要的。在圖10-21中畫出了工字形、墻形、T形和圓形截面的截面核心。圖10-20 矩形截面的截面核心例題10-8 試作出如圖10-22所示邊長為的等邊三角形截面的截面核心。解 （1）取坐標系如圖10-22中所示，并將坐標原點O放在三角形的形心上。圖10-21 幾種常用截面的截面核心（2）根據附錄I表I-1中的公式

37、計算出三角形的一些幾何性質如下：可以看出，（事實上，任何正多邊形對通過其形心的任一軸線的慣性矩都是相等的），與其相應的慣性半徑和也相等，且有。（3）求截面核心由式（10-4-5）知中性軸的方程為圖10-22 例題10-8圖當中性軸1-1與三角形的AB邊重合時，將點A和點B的坐標，以及上面算得的。代入中性軸方程，可以得到由此二式可解得：它們就是與中性軸1-1相對應的力P的作用點D的坐標。用同樣方法可求得：當中性軸2-2與BC邊重合時，力P的作用點E的坐標為當中性軸3-3與CA邊重合時，力P的作用點F的坐標為以D、E、F為頂點所作的小三解形DEF即為三角形截面ABC的截面核心。不難證明，小三角形D

38、EF也是等邊三角形，其邊長為，其形心與三角形ABC的形心重合。第五節 彎曲與扭轉的組合第三章研究桿件的扭轉時只考慮了扭矩對桿的作用。實際上，工程中的許多受扭桿件，在發生扭轉變形的同時，還常會發生彎曲變形，當這種彎曲變形不能忽略時，則應按彎曲與扭轉的組合變形問題來處理。例如在如10-3（e）中所示的卷揚機軸，繩子的拉力除會使機軸發生扭轉以外還將使機軸發生彎曲。又如圖10-23中所示的傳動軸，在兩個輪子的邊緣上作用有沿切線方向的力和，這些力不但會使軸發生扭轉，同時還會使它發生彎曲。本節將以圓截面桿為研究對象，介紹桿件在扭轉與彎曲組合變形情況下的強度計算問題。5.1 內力計算圖10-24表示一機軸，

39、其橫截面直徑為的圓形。在軸的左端有一重量為W、半徑為R的皮帶輪，軸轉動時，皮帶中的拉力為了T和t（Tt），軸的右端為一曲柄，曲柄把手上的力P總是垂直于曲柄平面。為了求得在機軸各個截面上的扭矩，彎矩M和剪力Q，首先需將各個外力對軸心進行簡化。現在研究圖10-24（a）中所示P、T、t三力與水平軸平行時的情形。為了計算機軸的內力，將左端作用在輪周的拉力與對點O進行簡化，得到作用在桿軸上的水平力（Tt）和扭轉外力偶矩（）R。同樣將右端作用在手柄上的力P向機軸延長線上的點E進行簡化，得到水平力P與扭轉外力偶矩（如圖10-24（b）。容易看出，扭轉外力偶矩將使機軸發生扭轉，水平力和豎直力將使機軸發生彎曲

40、。當機軸處在等速轉動的平衡狀態時，機軸受到的扭矩為圖10-23 傳動軸機軸的扭矩圖如圖10-24（c）所示。當力（Tt）、P、W使機軸彎曲時，支承A與B可以看做是鉸支座。這樣，豎直力W使機軸在豎直平面內引起的彎矩圖如圖10-25（a）所示，水平產力（Tt）和P使機軸在水平面內引起的彎矩圖如圖10-25（b）所示。在機軸每個橫截面上的總彎矩應等于在豎直方向的彎矩和在水平方向的彎矩的幾何疊加。例如在機軸的截面A上的總彎矩為圖10-24 機軸受力分析圖10-25 機軸的彎矩圖一般各個橫截面在豎直方向和水平方向的彎矩都互不相同，而對于圓形截面軸，截面上的任一直徑都是形心主軸，截面對任一直徑的抗彎截面模

41、量都相等，故可將各個截面上的總彎矩都畫在同一平面內，得到如圖10-25（c）所示的總彎矩圖。由總彎矩圖可以看出，機軸中的最大彎矩發生在橫截面A或B上。用類似的計算方法也可求出在機軸各個橫截面上的剪力。5.2 應力計算由于扭矩的作用，在圓截面上產生剪應力，它在圓截面的邊緣達到最大值，方向與圓截面的周邊相切（如圖10-26（a）。對于實心圓軸，其抗扭截面模量。彎矩M作用在水平面上，使圓形截面水平直徑的二端點處產生最大正應力（如圖10-26（b）。對實心圓軸來說，其抗彎截面模量，并與具有的關系。機軸彎曲時，剪力Q在圓軸截面上產生的剪應力仍可用公式計算，最大剪應力發生在圓截面的豎向直徑上（如圖10-2

42、6（c）。由上面的分析可知，各種應力的最不利組合情況肯定會發生在最大彎矩和最大扭矩所作用的橫截面的邊緣處。故為了進行強度計算，必須分析如圖10-26（d）中所示的某些邊緣點（例如點1和點2）的應力狀態。在圖10-26（e）中表示了分別由點1和點2取出的單元體。圖10-26 機軸的應力在單元體1上，將有由彎矩M產生的正應力與由扭矩產生的剪應力，其主應力和最大剪應力分別為： （10-5-1） （10-5-2）在單元體2上，將有由扭矩產生的剪應力和由剪力Q產生的剪應力，且和的方向相同，故單元體2是處在（+）作用下的純剪切狀態。其主應力為： （10-5-3）在工程實際中，因作用在實心圓軸上的一般都很小

43、，往往可忽略不計。若在機軸上還作用有軸力N，它會在截面上產生正應力。在這種情況下，應將與的代數和代替（10-5-1）中的。5.3 強度校核當構件處在扭轉和彎曲組合變形的情況下時，由其中取出的單元體一般是處在復雜應力狀態之下。故在對這類構件進行強度校核時，首先應計算出危險截面上某些危險點處的主應力，再根據所選擇的強度理論，列出相應的強度條件，進行強度校核。下面舉例說明。例題10-9 試根據最大剪應力理論（第三強度理論）確定圖10-27中所示手搖卷揚機（轆轤）能起吊的最大許可荷載P的數值。已知：機軸的橫截面為直徑=30mm的圓形，機軸材料的許用應力=160MPa。解 在力P作用下，機軸將同時發生扭

44、轉和彎曲變形，應按扭轉與彎曲組合變形問題計算。（1）跨中截面的內力扭矩N·m彎矩N·m剪力N圖10-27 例題10-9圖（2）截面的幾何特性 mm3 mm3 mm2（3）應力計算N/m2N/m2MPaN/m2N/m2由式（10-5-1）求主應力MPa（4）根據最大剪應力理論求許可荷載因MPa故 N=kN由本例題可以看出，在實心軸中由剪力Q產生的剪應力一般很小，可以忽略。第十章 思考題10-1什么叫組合變形？10-2圖示結構由三段組成，AB桿為y方向，BC桿為水平X方向，CD為水平z方向。三桿在、共同作用下，試分析各為何種組合變形。10-3圓形截面桿，在相互垂直的兩個平面內發

45、生平面彎曲，如何計算截面上的合成彎矩？10-4在圖示各梁的橫截面上，畫出了外力的作用平面，試指出哪些梁發生平面彎曲，哪些梁發生斜彎曲？思考題10-4圖10-5圖表示一正方形截面桿受到軸心拉力P作用。若將力P沿OA線平移到截面邊緣中點如圖所示，或將力P沿對角線OB平移到截面角點B如圖所示，問桿內的應力將怎樣變化？思考題10-5圖10-6圖表示一正方形截面的短柱受到軸心壓力P作用，圖表示將柱的一側挖去一部分，圖表示將柱的兩側各挖去一部分。試判斷在、三種情況下，短柱中的最大正應力的大小及位置。思考題1-6圖10-7什么是“截面核心”？怎樣畫出一截面的截面核心？10-8對處在扭轉和彎曲組合變形下的桿，

46、怎樣進行應力分析，怎樣進行強度校核？習 題10-1圖示一木懸臂梁，梁長=2m，矩形截面×=0.15m×0.3m，集中荷載P=800N，要求：（a）計算為0°和90°時的最大拉應力，并指出最大拉應力發生在什么地方。（b）計算為45°時的最大拉應力，并指出最大拉應力發生在什么地方。題10-1圖10-2試證明對于矩形截面梁，當集中荷載P沿矩形截面的一對角線作用時，其中性軸將與另一對角線重合。10-3圖示一擱置在屋架上的檁條的計算簡圖。已知：檁條的跨度=5m，均布荷載q=2kN/m，矩形截面×=0.15m×0.20m，所用松木的彈性

47、模量E=10GPa，許用應力=10MPa，檁條的許可撓度為，試校核檁條的強度和剛度。題10-3圖10-4圖示一簡支梁，選用了25a號工字鋼。已知：作用在跨中的集中荷載P=5kN，荷載P的作用線與截面的豎直主軸間的夾角=30°，鋼材的彈性模量E=210GPa，許用應力=160MPa，梁的許可撓度。試對此梁進行強度校核和剛度校核。題10-4圖10-5圖示一漿砌塊石擋土墻，墻高4m。已知：墻背承受的土壓力=137kN，且其作用線與豎直線之間的夾角=45.7°，漿砌塊石的密度=2.345×103kg/m3，墻基混凝土的密度=2.396×103kg/m3，其它尺寸

48、如圖所示。試取1m長的墻作為計算對象，求墻A、B、C、D各點處的正應力。題10-5圖10-6圖示一渡槽的空心墩。已知：墩上承受的水重=2 400kN，渡槽槽身重=2 143kN，在截面AB以上部分墩身的自重=5 115kN，風壓力對截面AB上軸產生的力短=7 514kN·m，截面AB的面積A=4.67m2，抗彎截面模量=6.42m3。試求作用在截面AB以上的最大正應力和最小正應力。10-7圖示某渡槽剛架的基礎。已知：在它的頂面上受到由柱子傳來的彎矩M=110kN·m，軸力=980kN和水平剪力Q=60kN，基礎的自重和基礎上土重的總重為=173kN。試作出在基礎底面的反力分

49、布圖（假定反力是按直線規律分布的）。10-8如圖所示的混凝土重力壩，剖面為三角形，壩高=30m，混凝土的密度為2.396×103kg/m3。若只考慮上游水壓力和壩體自重的作用，在壩底截面上不允許出現拉應力，試求所需的壩底寬度B和在壩底上產生的最大壓應力。題10-6圖題10-7圖 題10-8圖10-9圖示鏈條中的一環，受到拉力P=10kN的作用。已知鏈環的橫截面為直徑=50mm的圓形，材料的許用應力=80MPa。試校核鏈條的強度。題10-9圖10-10受拉構件形狀如圖，已知截面尺寸為40mm×5mm，通過軸線的拉力P=12kN。現拉桿開有切口，如不計應力集中影響，當材料的=1

50、00MPa時。試確定切口的最大許可深度，并繪出切口截面的應力變化圖。題10-10圖10-11一圓截面直桿受偏心拉力作用，偏心距=20mm，桿的直徑為70mm，許用拉應力為120MPa，試求此桿的許可偏心拉力值。10-12求圖示桿內的最大正應力（力P與桿的軸線平行）。題10-12圖10-13試畫出圖示截面的截面核心題10-13圖10-14圖示一標志牌，支在外直徑為50mm、內直徑為40mm、高底為3m的圓管上。若標志牌的尺寸為1m×1mm，作用在標志牌上風壓力的壓強為400Pa，試求由于風壓作用使管底截面在點A處產生的主應力和點B、C處產生的剪應力。題10-14圖10-15直徑為0.6

51、m，重量為2kN的皮帶輪，隨著橫截面直徑為50mm的圓軸一同轉動。已知皮帶中的拉力為8kN和1.5kN，軸承與皮帶輪間的距離為0.15m，試計算圓軸在軸承處的主拉應力和最大剪應力。設圓軸材料的許用應力=160MPa，試按第三強度理論（最大剪應力理論）進行強度校核。題10-15圖答 案10-1（a）=0°，=0.71MPa=90°，=1.42MPa（b）=1.51MPa10-3 =9.5MPa，=20mm，滿足強度要求與剛度要求10-4 =62.5MPa，=5.74mm，滿足強度要求與剛度要求10-5 =192KPa，=11.5KPa=159.4KPa，=20.18KPa10

52、-6 =3.24MPa，=0.9MPa10-7 PA=101KN/m PB=167KN/m10-8 B=19.36m，=0.71MPa10-9 =53MPa，安全10-10 =5.25×10-3 m=5.25mm10-11 P=140.5KN10-12 =0.57210-13（a）=±33.9mm，=±15.1mm（b）截面核心邊界上各點坐標：（32.9，0）（0，32.9）（-19，0）（-20，-20）（0，-19）10-14 A點=139.4MPa，=1.37MPaB點=12.67MPaC點=14.93MPa10-15 =158MPa，=98.9MPa=19

53、7.7MPa，不滿足強度要求小結與學習指導1、組合變形桿件上同時有兩種或兩種以上基本變形時，稱為組合變形。如拉（壓）與彎曲的組合；兩個相互垂直平面內彎曲的組合；偏心拉、壓；彎曲與扭轉的組合等。要解決組合變形的問題首先要掌握前面學過的四種基本變形的知識。其次要能將桿件上的任意荷載分解或簡化成若干與基本變形受力特點相對應的簡單荷載，然后按各種基本變形下的結果疊加起來（代數疊加或幾何疊加），即可得到組合變形的應力及變形。2、二個相互垂直平面內平面彎曲的組合將桿件上作用的外荷載沿著橫截面兩個形心主慣性軸，z、y分解后，其中任一個分力作均為平面彎曲。兩個平面彎曲產生的正應力和剪應力分別為： （矩形截面）同截面上同一點的正應力為兩個正應代數疊加。剪應力為幾何疊加橫截面上的中性軸（即=0）是一條達截面形心的斜直線。兩個平面的彎曲產生的最大撓度為，組