1、空間向量在立體幾何解題中的應用一、空間向量的基礎知識1.向量的直角坐標運算設=(a1，a2，a3)，=(b1，b2，b3)，則=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；=a1b1+a2b2+a3b3，Ûa1=lb1，a2=lb2，a3=lb3(lÎR )或， Ûa1b1+a2b2+a3b3=02.夾角和距離公式夾角公式cos<，>=距離公式設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|=向量與坐標關系，設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則M為中點時得中點坐標：x=，y=，z=即（，）由中

2、點公式，可得以A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)為頂點的三角形重心的公式：x=，y=，z=即（，）3平面法向量的概念和求法向量與平面垂直：如果表示向量的有向線段所在的直線垂直于平面a，則稱這個向量垂直于平面a，記作a平面的法向量：如果a，那么向量叫做平面a的法向量一個平面的法向量有無數條，它們的方向相同或相反一般根據平面法向量的定義推導出平面的法向量，進而就可以利用平面的法向量解決相關立體幾何問題推導平面法向量的方法如下：在選定的空間直角坐標系中，設平面a的法向量=(x，y，z)或=(x，y，1)或=(x，1，z)，或=(1，y，z)，在平面a內任選定兩個不

3、共線的向量，由a，得=0且=0，由此得到關于x，y的方程組，解此方程組即可得到例1在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，求平面A1C1D的法向量和單位法向量0zA1yxAC1BCD1B1D圖1解：建立空間直角坐標系，如圖1，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，設面A1C1D， =(x，y，z)得，又=(1，0，1)，=(0，1，1)，令z=1 =(1，1，1)，0=二、空間向量在立體幾何解題中的應用(一)空間角1異面直線所成的角設點A，BÎ直線a，C，DÎ直線b，構造向量，cos<，>=，zA1yxAC1BCD1B1D圖1<

4、，>所對應的銳角或直角即為直線a(AB)與b(CD)所成的角例2在例1中，設ACBD=O，求異面直線D1O，DC1所成的角的余弦值解：如圖建立空間直角坐標系D-AC1， D(0，0，0)，1(0，0，1)，C1(0，1，1)，(1，0，0),C(0，1，0),則0(,0)=(，1)，=(0，1，1)cos<，>=，異面直線D1O，DC1所成的角余弦值為2線面所成的角如圖，AB為平面的斜線，為平面a的法向量，如果與之間所成的角j為銳角，則斜線AB與平面a之間所成的角q=j即利用向量與求出的是角j，實際上所求的角是qjqaBA若j為銳角，則q=j，sinq=cosj；若j為鈍角，

5、則q=(pj)=j，sinq=cosj總之有，sinq=|cos<，>|=zxBA1yEFB1C1D1DCA圖2例3. 在例1中，設E、F分別為C1D1、B1C1的中點，求A1D與平面EFBD所成的角解：如圖建立空間直角坐標系D-AC1， D(0，0，0)，1(0，0，1)，B(1，1，0)C1(0，1，1)，B1 (1，1，1),則 E(0，1)，F(，1，1)，設 面EFBD，=(x，y，z)，得，又=(1，1，0)，=(0，1)，令y=2 l=(2，2，1)，又=(1，0，1)，sinq = 即q =則所求的A1D與平面EFBD所成的角為3二面角的求法： 二面角alb，平面a

6、的法向量，平面b的法向量則二面角alb的平面角q =<，>所以，cos<，>=若將法向量的起點放在兩個半平面上(不要選擇起點在棱上)，當兩個法向量的方向都指向二面角內或外時，則<，>為二面角的平面角的補角；當兩個法向量的方向一個指向二面角內，另一個指向外時，則<，>為二面角的平面角故在所求的二面角的平面角時，先求法向量的余弦值后利用圖形觀察其為銳角或鈍角例4. 在例1中，求二面角D1ACD的大小的余弦值解：如圖建立空間直角坐標系D-AC1， D(0，0，0)，1(0，0，1)，A(1，0，0),C(0,1,0) 面ACD1，=(x，y，z)，得，

7、又（1,1,0），（,0,1）；令=(1，1，1)，由已知可易得平面DAC的法向量是=(0，0，1)，cos<>,=，由圖知所求的角為銳角，則所求的余弦值為練習1： 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M為B1C1上一點，且B1M=2，點N在線段A1D上，且，求：1) 求直線A1D與AM所成角的余弦值；2) 直線AD與平面ANM所成的角的正切；3) 平面ANM與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值.點到面的距離線到面的距離線到線的距離面到面的距離(二)空間距離1點到面的距離 設A是平面a外一點，AB是a的一條斜線，交平面a于點B，而是平面a的法

8、向量，那么向量在方向上的正射影長就是點A到平面a的距離為dqAaBd所以d=例5. 例1中，設G、H分別是A1B1、CD的中點，求點B到截面AGC1H的距離zA1yxAC1BCD1B1D圖1解：如圖建立空間直角坐標系D-AC1，D(0，0，0)， C(0，1，0), B1(1，1，1)，A1(1，0，1)，則H(0，0)，G(1，1)，A(1，0，0)， 設面AGG1H，則，令=(x，y，z)，則=(0，1)，=(1，0)有：=0，=0，=(1，2，-1)，又=(0，1，0)，所以點B到截面AGC1H的距離為d=故所求距離為練習2：在例1中，求點A1到平面ACD1的距離ABCD圖32異面直線間

9、的距離如圖3，若CD是異面直線a、b的公垂線段，A、B分別為a、b上的任意兩點令向量a，b，則=+，=+×，=，|=|，|=兩異面直線a、b間的距離為：d=其中與a、b均垂直(即a，b的公垂向量)，A、B分別為兩異面直線上的任意兩點例6在例1中，求直線DA1和AC間的距離解：=(1，1，0)，=(1，0，1)設DA1和AC公垂線段上的向量為=(x，y，z)，由，即可取=(1，1，1)，又=(0，0，1)，所以點A到平面A1C1D的距離為d =，即直線DA1和AC間的距離為ABCDOS圖4練習3如圖4，正四棱錐SABCD的高SO=2，底邊長AB=，求異面直線BD和SC之間的距離3線面距

10、離直線a與平面a平行時，直線上任意一點A到平面a的距離就是直線a與平面a之間的距離其求法與點到面的距離求法相同4平面與平面間的距離平面a與平面b平行時，其中一個平面a上任意一點到平面b的距離就是平面a與平面b間的距離其求法與點到面的距離求法相同1）用法向量求直線到平面間的距離，首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉化成直線上一點到平面的距離問題QyPRxzD1C1B1A1CDBA2）用法向量求兩平行平面間的距離，首先必須確定兩個平面是否平行，這時可以在一個平面上任取一點，將兩平面間的距離問題轉化成點到平面的距離問題例8在例1中，設P、Q、R分別是A1C1、A1D和B1A上任一

11、點，(1)求證：平面A1PQ平面B1RC；(2)求平面A1PQ與平面B1RC間的距離解：(1)由前面例題知=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(1，0，1)，=(0，1，1)，設，(l、m、nÎR，且均不為0)設、分別是平面A1PQ與平面B1RC的法向量，由即即，可解得：=(1，1，1)，由即即，可解得=(1，1，1)，所以=，所以平面A1PQ平面B1RC如果求證的是兩個平面垂直，也可以求出兩個平面的法向量后，利用Û=0來證明 (2)A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，=(1，0，1)，=(0，0，1)，=(1，0，0)，設平面A1

12、C1D的一個法向量=(x，y，1)，則，即，=(-1，-1，1)平面AB1C與平面A1C1D間的距離d=將平面AB1C與平面A1C1D間的距離轉化成點A到平面A1C1D的距離例9.已知斜三棱柱，在底面上的射影恰為的中點，又知。（I）求證：平面；（II）求到平面的距離證明：（I）如圖，取的中點，則，因為，所以，又平面，以為軸建立空間坐標系，則，由，知，又，從而平面；（II）由，得。設平面的法向量為，所以，設，則所以點到平面的距離。(三)證明面面平行或面面垂直；線面平行或線面垂直等若兩平面a、b的法向量分別為、，則(1)當=0時，平面a平面b；(2)當=l，即它們共線時，平面a平面b若平面a的一法

13、向量為，直線AB在平面a外，則(1)當=0時，AB平面a； (2)當=l，即它們共線時，AB平面aAB平面a內的兩條相交直線，則AB平面aA1C1B1BACD例9如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為3，側棱長為，D是CB延長線上一點，且BD=BC求直線BC1與平面AB1D之間的距離；解：由題設知，AD，AC，AA1兩兩垂直，建立空間直角坐標系A1DCA1，則A(0，0，0)，B(，0)，C(0，3，0)，D(3，0，0)，B1(，)，C1(0，3，)可求得平面AB1D的一個法向量為=(0，-1)直線BC1與平面AB1D之間的距離為d=(2)平面ABD的一個法向量為=(0，0，)，cos

14、<，n>=，二面角B1ADB的大小為arccos(3)取AB中點M(，0)，則=(-，0)是平面ABB1的一個法向量，點C到平面ABB1的距離為h=1，又SABB1=，三棱錐C1ABB1的體積為圖8ABCDNPM例10如圖8，已知ABCD是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，AD=a，M、N分別是AD、PB的中點求證：平面MNC平面PBC證明：建立空間直角坐標系DACP，則P(0，0，a)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(a，0，0)，N(a，)=(a，a，-a)，=(-a，0，0)，=(a，-)，=(-a，a，0)，設n1=(x，y，1)為平面PBC的法向量，則n1&

15、#183;=0，n1·=0，解之得:，n1=(0，1，1)同理可求平面MNC的一個法向量：n2=(-，-1，1)，而n1·n2=0-1+1=0，n1n2，故平面PBC平面MNC若ab，則；反之也成立若ab，則；反之也成立利用法向量來解決上述五種立體幾何題目，最大的優點就是不用象在進行幾何推理時那樣去確定垂足的位置，完全依靠計算就可以解決問題但是也有局限性，高中階段用代數推理解立體幾何題目，關鍵就是得建立空間直角坐標系，把向量通過坐標形式表示出來，所以能用這種方法解題的立體幾何模型一般都是如：正(長)方體、直棱柱、正棱錐等事實證明，法向量在求角、距離以及證明平行垂直中都有非常

16、廣泛的應用，它在中學數學中的出現，是對傳統的立體幾何知識一個很好的補充及加深zyxFCBEAA1B1C1D1D例7長方體ABCDA1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中點，F是CC1的中點，求(1)異面直線D1F與B1E所成角大小的余弦值；(2)二面角D1AED大小的余弦值；(3)異面直線B1E與D1F的距離分析：建立空間直角坐標系ABDA1，則(1)=(2，0，-3)，=(0，2，-6)，cos<，>=，異面直線D1F與B1E所成的角為arccos (2)顯然平面AED的一個法向量為=(0，0，6)，設平面AED1的一個法向量為n=(x，y，1)，且n，n，

17、則，=(2，2，0)，=(0，4，6)，n=(，-，1)cos<，n>q=，得q=arccos二面角D1AED的大小為arccos(3)令向量m=(x，y，1)，且m，m，則，m=(，3，1)異面直線B1E與D1F之間的距離為：d=練習1： 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M為B1C1上一點，且B1M=2，點N在線段A1D上，且，求：1) ；2) 直線AD與平面ANM所成的角的正切；3) 平面ANM與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值.解析：(1) 以A為原點，AB、AD、AA1所在直線 為x軸，y軸，z軸.則D(0,8,0)，A1 (0

18、，0，4)，M(5,2,4) (2) 由(1)知A1DAM，又由已知A1DAN，平面AMN，垂足為N.因此AD與平面ANM所成的角即是(3) 平面ABCD，A1N平面AMN，分別成為平面ABCD和平面AMN的法向量。設平面AMN與平面ABCD所成的角（銳角）為，則PBCA如圖，四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，PAABBC2，E為PA的中點，過E作平行于底面的平面EFGH，分別與另外三條側棱相交于點F、G、H. 已知底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABAD，BCD=135°.（1） 求異面直線AF與BG所成的角的大??；（2） 求平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小.解 由題意可知：AP、AD、AB兩兩垂直，可建立空間直角坐標系A-xyz由平面幾何知識知：AD4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ),C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1)(1,0,1),(1,1,1)·0，AF與BG所成角為 . (2) 可證明AD平面APB，平面APB的法向量為n(0,1,0)設平面CPD的法向量為m(1，y，z)由 Þ 故m(1,1,2)cos<m,n>平面APB與平面CPD所成的銳二面角