1、第3章工業機器人運動學和動力學3.1工業機器人的運動學3. 2工業機器人的動力學3. 3工業機器人的運動軌跡規則3.1.1工業機器人位姿描述慕1.點的位置描述翦如圖所示，在直角坐標系A中，空間任一點肝勺位置可用(3X1)的位置矢晝0表示為姥Pv (3.1) 一化.其中，幾、P、伐是點P的三個位置坐標分量。(3.2)項分別乘以一個Pzc1co(3.3)2.點的齊次坐標駱y如用四個數組成的（4X1）列陣表示三維空間直角坐標系/! 中點幾 則該列陣稱為三維空間點尸的齊次坐標，如下：PxPyPz工業機邸人遠動孚和動力學齊次坐標并不是惟一的，當列陣的每零因子3時,即其中：d=a”，b=ep、, c-6&

2、gt;7?.o該列陣也表示P點，齊次人為標的表示 不是惟一的。3坐標軸方向的描述菖用八j、k來表示直角坐標系中X、Y. Z坐標軸的單位向最, 用齊次坐標來描述X、Y. Z$|的方向，則有1000規定：S5列陣Labe 0 丁中第四個元素為零，且H+，+c2=l,表示某 軸(或某矢量)的方向;跡M列陣。仏“丁中第四個元素不為零，則表示空間某點的 位置。五邑大學機電工程學読例如，在圖32山矢量u的方向用(4X 1)列陣表示為hV =c0其中：acosa , Z?=cosj3 , c=cosy o欠量y所坐落的點為坐標原點，表示為000五邑大學機電工程學競動坐標系位姿的描述就是用位姿矩陣對動坐標系原

3、點位置和坐標系齊坐標軸方I nJ的描述o該位姿矩陣為(4X4)的方陣。如上述H角*標系可描述為:1 0 0 o'(3.4)OOO15.剛體位姿的描述鳥機器人的每一個連桿均可視為一個剛體，若給定了剛體上 某一點的位置和該剛體在空中的姿態，則這個剛體在空間上是 惟一確定的，可用惟一一個位姿矩陣進行描述。菇如圖3.3所示，設OXYZ為與剛體Q固連的一個曲標系，稱 為動坐標系。剛體Q在固定坐標系OXYZ中的位置可用齊次坐 標形式表示為-1X。P =%1五目大學機電工程學廈圖33剛體的位置和姿態描述ttt五目大學機電工程學廈剛體的位姿表示為(4X4)矩陣:T = n o a p =>0n7

4、0150機粘人乎部的位姿如圖3.4所示，可用陸I連于于部的坐標系 B的位姿來表示。坐標系由原點位置和三個單位欠量惟一 確定,即:M(1)原點：取手部中心點為原點0亦M接近矢量：關節軸方向的單位矢量“；菖(3)姿態矢量：手指連線方向的單位矢量o;基法向矢量:為法向單位矢量，同時垂直于4、O矢量, 即 n=oXao手部位姿矢星為從固定參考坐標系0Y%原點指向手部朋標 系原點的矢量P。手部的位姿可山(4X4)矩陣表示：近目大學機電工幔學読圖3.4機器人手部的位置和姿態描述近目大學機電工幔學読7.目標物位姿的描述詰J任何一個物體在空間的位置和姿態都口丁以用齊次矩陣來表 示，如圖3. 5所示。楔塊WEG

5、)圖的情況下可用6個點描述，矩 陣表達式為珪1-1-111-1<2 =000044002200111111(4x6)(3.8)近目大學機電工近目大學機電工近目大學機電工若讓其繞Z軸旋轉90°記為Rot(z,90° );再繞Y軸旋轉9怦nPRot(y.90° ).然后再沿X軸方向平移4,HPTrans(4. 0. 0人則楔塊 成為(b)圖位姿，其齊次矩陣表達式為644 _11-1044111(46)6j01用符號表示對H標物的變換方式可以記錄物體務動的過程, 也便于矩陣的運算，所以應該熟練學握。近目大學機電工(a)(b)圖3.5 tl標物的位置和姿態描述1 平

6、移的齊次變換胡ftt五目大學機電工程學ftt五目大學機電工程學如圖3.6所示為空間某一點在直角坐標系中的平移,rflAg ”Z)平移至z)，即(3.10)x'= x + zXx y'= y +Ay >ftt五目大學機電工程學ftt五目大學機電工程學或寫成_x,_10 0 Ax"Xy*010 Ayy0 01 Az二0 0 0 11(3.11)ftt五目大學機電工程學五目大學紈電工程學號a 9 =Trans(A x, y, 乙)a其中,Trans(Ax, Ayz)稱為平移算子,Ax、Ay> Az分別表示沿X、Y. Z軸的移動量。即：10 0 Ar(3.12)T

7、ranAv)= °1°0 01 Az注：算子左乘：表示點的平移是相對固定坐標系進 行的坐標變換。M 算子右乘：表示點的平移是相對動坐標系進行的坐標 變換。M 該公式亦適用于坐標系的平移變換、物體的平移變換， 如機器人手部的平移變換。五目大學紈電工程學號點在空間直角坐標系中的旋轉如圖3.7所示。A(x, y, z)繞Z 軸旋轉0角后至壩S V； ”疋),跡A與A之間的關系為(3.13)xr=兀cos& - y sin 0 )= xsin&+ ycos& / z'= z五目大學紈電工程學號(3.14)(35)I大點是繞Z軸旋轉的，所以把人與zV投

8、影到XOY半向內, 設OA=r,則有蹌x = rcosay = rsina 同時有x*= rcosa'y'= rsina*其中，a'=a+即(3.16)*= rcos(a +0) y'=廠 sin(a + 0)五目大學瓠電工幔學It所以x'= ycosacosO 廠 sinczsinO y'= r sin acos3 + rcosasi n&所以rx = xcos& ysin&y'= ycos& + xsin&山于z坐標不變，因此有瓏*= xcosO- ysinO y'= ysin&

9、 + xcos& > z'= z(3.17)(3.18)(3.19)寫成矩陣形式為x'cos3-sin 900fysin 6?cos。00z0010 _0001xy z1(3.20)etr五目大學記為:a 9 =Rot(z, 0 )a其屮，繞z軸旋轉算子左乘足相對于固定坐標系，即彪近目大學機電工程學廈近目大學機電工程學廈cos0sin。一 sinOcosO0000Rot(z,0)=0010_ 0001(3.21)COS&0 sin0 0Rot(”)=1 0 0(3.23)近目大學機電工程學廈kxkK （1 一 cos"） + cosO人忍（1 一

10、 cosO） +人 sin 6?k k （1 -cos） k、sin&0W（1 -cosO）-h smO人R、（ 1 一 COS0） + cqsOkykz （1 - cos）+kx sin 00圖3.8所示為點A繞任意過原點的單位矢呈*旋轉角的情況。任、%、忍分別為斤矢量在固定參考坐標軸X、Y. Z上的三個分量，且巴+住+統=1。可以證明，苴旋轉齊次變換矩陣為瑋k：k.（ 1 一 cosO） + kr sin 0 0 kJkv（l-cosO） - kx sin 0 0 kzk. （1 一 cos&） + cos& 0 0 1 （3.24）注：該式為一般旋轉齊次變換通式，

11、概括了繞乩F、 為由進行旋轉變換的情況。反之，當給出某個旋轉齊次變換矩 陣，則可求得上及轉角&。菖 變換算子公式不僅適用于點的旋轉，也適用于矢量、 坐標系、物體的旋轉。 左乘是相對固定坐標系的變換；右乘是相對動坐標系 的變換。20160418五邑大圖3.8點的一般旋轉變換近邑大學紈電工幔學3.1.3工業機器人的連桿參數和齊次變換矩陣tH五邑大學瓠電工幔學廈1. 連桿參數及連桿坐標系的建立牯以機器人手臂的某一連桿為例。如圖3.9所示，連桿n兩端有 關節川和+1。描述該連桿可以通過兩個幾何參數：連桿長度和 扭角。山于連桿兩端的關節分別冇其各自的關節軸線，通常情 況下這兩條軸線是空間異面直線

12、，那么這兩條異面血線的公垂 線段的即為連桿t度，這兩條界而直線間的夾角色即為連 桿扭角。關節”關節”+1圖3.9連桿的兒何參數五邑大學瓠電工幔學廈如圖3.10所示，相鄰桿件死與”1的關系參數可由連桿轉角和連桿距離描述。沿關節并軸線兩個公垂線間的距離d”即為連桿距 離；垂直于關節"軸線的平面內兩個公垂線的夾角即為連桿轉 角。tH五邑大學瓠電工幔學廈圖31()連桿的關系參數五ax*w*x«*«這樣.每個連桿可以山四個參數來描述其中兩個是連桿尺寸，兩個表示連桿與相鄰連桿的連接關系。當連桿旋轉時，0”隨 之改變，為關節變量，其它3個參數不變;當連桿進行平移運動 時,d隨之

13、改變，為關節變量其它3個參數不變。確定連桿的運動 類型，同時根據關代變量即可設計關節運動副，從而進行整個機器人的結構設汁。已知各個關節變量的值，便町從基座固定坐 標系通過連桿出標系的傳遞，推導出手部他標系的位姿形態。五目大學機電工程學HC M3* 工業機動孚和動力孕建立連桿坐標系的規則如下：M 連桿坐標系的小標原點位于+1關節軸線上，是關節+1 的關節軸線與料和”+1關節軸線公垂線的交點。M z軸與九+1關肖軸線重合。M x軸與公垂線重合；從川指向卄1關n o s 按右手螺旋法則確定。聶 連桿參數與坐標系的建立如表3所示。近目大學機電工程學記C M3»工業機邸人坦動動力學表31連桿參

14、數及坐標系連桿的參數名禰含文正負性質轉佈0.連桿/t繞關*界的2一紬的兀角右乎出則關節轉動科為變星距離d.連桿“沿關»刃的Z.（輸的位移沿Z止向為關"移動時為變垃4方向上連桿丙的長度與X.正向一徴尺寸喜敎扭角a.連桿/»殆關卩繃線之間的扭角右手法JM尺寸參數.WW連桿刃的空標樂O.X.Y.Z.原點Q軸X.榊y.軸乙位于關H力1軸線 與連桿n兩關卩軸線 的公市線的交點處沿還樸”阿關卩軸 線之公樂線井措向 開十1關苗根tK軸人.Z.技右弓關節貳+1柚線 1#合近目大學機電工程學記2. 連桿坐標系之間的變換矩陣菖并連桿坐標系建立后，一 I系與系間變換關系可用坐標系的 平

15、移、旋轉來實現。從一1系到系的變換步驟如下：菇(1) 令舁一1系繞乙"軸旋轉乞角，使X“_i與X”平行，算子為 Rol(z,0”)。M(2) 沿乙-軸平移使X“_|與X”重合，算子為Trans(0,0x/)o(3) 沿X”軸平移色，使兩個坐標系原點重合，算子為 Trans(an,0,0)o M(4) 繞X”軸旋轉q角，使得川一1系與系重合，算子為Ro心,0“)。五邑大學機Q工幔學廈內C M3*工業機顯人坦動場力孚該變換過程用一個總的變換矩陣A”來表示連桿"的齊次變換詁矚 A _ Rot(z,”)Trane,O,d“)7>3皿(“”,0,0)"“)”=(2)(

16、3)(4)cosQ一sin?！?001000100 a1000sin 4cosg 000100010 00cosa”-sin a”000 10001£001 00sin%cos%000 01000i0000001cosO”-sin ” cose”sin0, sin annna”cosnsin&”cosQ cosarrcosQ sin afta”0sin a”cosan()001實際屮，多數機器人連桿參數取特殊值，如勺=()或/=()町以使計 算簡單且控制方便。3.1.4工業機器人的運動學方程菖1.機器人運動學方程菖通常把描述一個連桿坐標系與下一個連桿坐標系間相對關 系的齊次變

17、換矩陣叫兒變換矩陣.簡稱4,矩陣。如久矩陣表加第 一個連桿坐標系相對固定坐標系的位姿；A.矩陣表示第二個連桿坐標系相對第一個連桿坐標系的位姿；令表示第,個連桿相對于 第口個連桿的位姿變換矩陣。那么，第二個連桿坐標系在周定坐 標系中的位姿可用令和血的乘積來表示，即：幾"iA2A3A4A-/46T2=AaA2(3.26)(3.27)該等式稱為機器人運動學方程。方程右邊為從固定參考系到手 部坐標系的各連桿坐標系之間變換矩陣的連乘;方程左邊7；衣示 這些矩陣的乘積,即機器人手部坐標系相對于固定參考系的位姿。 分析該矩陣：前三列表示手部的姿態；第四列表示手部中心點的 位置?？蓪懗扇缦滦问剑?

18、nP5 役(3.28)J ay五邑大學2.正向運動學及實例聶五目大學紈電工程學疑圖3.11鎳SCARA裝配機器人的坐標系如圖3.11所從SCARA裝配機器人的3個關節軸線是相互平 行的，0、1、2、3分別表示固定坐標系、連桿1的動坐 標系、連桿2的動朋標系、連桿3的動唯標系，分別出落在關節 1、關節2、關節3和手部中心。坐標系3即為手部坐標系。連 桿運動為旋轉運動，連桿參數0“為變暈，其余參數均為常氐 該 機器人的參數如表3.2所示。表32 SCARA裝配機器人連桿參數連桿轉加久連桿気崗比連ITK度d連桿1</| =0w =右=100Ci = 0*連桿20.d. 06 打一 100G 0連桿3d、一04)厶一200*T3=4142A3(3.29)其中:A連桿1的坐標系相對丁固定坐標系的齊次變換矩陣; 凡一連桿2的坐標系相對于連桿1坐標系的齊次變換矩陣；M去手部坐標系相對于連桿2坐標系的齊次變換矩陣。4 = RotU0,62 )Trans(7j ,0,0)(3.30)A2 = RotG,&2)Trans(/2,O,O) (3.31) A = Rot(z2,02 )Trans(/3,0,0)(3.32)為為手部坐標系(即手部)的位姿。由于英可寫成(4X4)的矩陣形式,