1、精選優質文檔-傾情為你奉上 2013年普通高等學校招生全國統一考試（遼寧卷）數 學（理）第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1復數的模為 ( )A. B. C. D.【測量目標】復數代數形式的四則運算.【考查方式】直接給出復數，利用對復數進行化簡，然后再求模.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】.2已知集合，則 （ ）A B C D 【測量目標】集合的基本運算.【考查方式】考查了對數不等式及交集運算.【難易程度】容易【參考答案】D【試題解析】，.3已知點，則與向量同方向的單位向量為 （ ）A. B. C. D.【測

2、量目標】向量的基本概念.【考查方式】給出兩點坐標及方向，求同方向的單位向量.【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】，則與其同方向的單位向量.4下面是關于公差的等差數列的四個命題：數列是遞增數列； ：數列是遞增數列；：數列是遞增數列； ：數列是遞增數列；其中的真命題為 （ ）A. B. C. D.【測量目標】等差數列的性質.【考查方式】給出的等差數列，求數列的增減性.【難易程度】中等【參考答案】D【試題解析】根據等差數列的性質判定.,是真命題， （步驟1）,但是的符號不知道，是假命題. （步驟2）同理是假命題.,是真命題. （步驟3）5某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數

3、據的分組依次為，若低于60分的人數是15人，則該班的學生人數是 （ ）A. B. C. D.第題圖 【測量目標】頻率分布直方圖. 【考查方式】給出頻率分布直方圖及某一頻數，求總體頻數.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】根據頻率分布直方圖的特點可知，低于分的頻率是，所以該班的學生人數是. 6在上，內角所對的邊長分別為且則 ( )A B C D 【測量目標】正弦定理，兩角和的正弦，誘導公式.【考查方式】給出三角形各邊長及內角和邊長的公式，求角.【難易程度】中等【參考答案】A【試題解析】根據正弦定理與和角公式求解.由正弦定理可得, （步驟1）又, ,.（步驟2）,. （步驟3）7使得 的展開

4、式中含有常數項的最小的為 （ ）A B C D 【測量目標】二項式定理.【考查方式】考查了二項展開式的通項公式.【難易程度】中等【參考答案】B【試題解析】根據二項展開式的通項公式求解.，當是常數項時，當，時成立.8執行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的 （ ）A B C D 第題圖 【測量目標】循環結構的程序框圖. 【考查方式】給出輸入值，求輸出值.【難易程度】中等【參考答案】A【試題解析】， ，（步驟1），輸出.（步驟2）9已知點若為直角三角形，則必有 （ ）A B C D【測量目標】直線的傾斜角與斜率.【考查方式】給出三點坐標，由三角形的邊的性質，求出之間的關系.【難易程度】中等【參考答

5、案】C【試題解析】根據直角三角形的直角的位置求解.若以為直角頂點，則在軸上，則必為，此時，重合，不符合題意；（步驟1）若，則，若，根據斜率關系可知，即.以上兩種情況皆有可能，故只有滿足條件.（步驟2）10已知直三棱柱的6個頂點都在球的球面上，若，則球的半徑為 （ ）A B C D 【測量目標】立體幾何的綜合問題.【考查方式】給出三條棱長及兩棱垂直關系，求三棱柱外接球的半徑.【難易程度】較難【參考答案】C【試題解析】根據球的內接三棱柱的性質求解.直三棱柱中,且為過底面是截面圓的直徑，取中點，則底面，則在側面內，矩形的對角線長即為球直徑，,即. 11已知函數，.設，表示中的較大值，表示中的較小值，

6、記的最小值為，的最小值為，則( )A. B. C. D.【測量目標】二次函數的圖象與性質.【考查方式】給出兩函數解析式，設出較大值、較小值、最大值、最小值，求最值.【難易程度】較難【參考答案】C【試題解析】根據二次函數圖象的特征解決.由，得 ， （步驟1）當和時，兩函數值相等.圖象為開口向上的拋物線，圖象為開口向下的拋物線，兩圖象在和處相交，則 （步驟2），（步驟3）12設函數滿足，則時， （ ）A.有極大值，無極小值 B.有極小值，無極大值C.既有極大值又有極小值 D.既無極大值也無極小值【測量目標】利用導數求函數的極值.【考查方式】通過構造函數，將問題轉化，考查轉化能力.通過導數判斷函數單

7、調性，考查知識的靈活應用能力.【難易程度】較難【參考答案】D【試題解析】由題意知.（步驟1）令，則.（步驟2）由得，當時，即，則當時，（步驟3）故在上單調遞增，既無極大值也無極小值.（步驟4）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 . 第題圖 【測量目標】由三視圖求幾何體的體積. 【考查方式】給出三視圖，求體積.【難易程度】容易【參考答案】【試題分析】由三視圖可知該幾何體是一個圓柱內部挖去一個正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為；正四棱柱底面邊長為2，高為4，故體積為16，故題中幾何體的體積為14.已知等比數列是遞增數列，是的前項和

8、，若是方程的兩個根，則 .【測量目標】等比數列及其性質，等比數列的前項和.【考查方式】給出方程，已知等比數列為遞增數列，先求等比數列中兩項值，即方程的兩根，再由數列為遞增數列求出數列的前項和. 【難易程度】中等【參考答案】63【試題分析】是方程的兩個根，且數列是遞增的等比數列，15已知橢圓的左焦點為橢圓C與過原點的直線相交于兩點，連接，若，則的離心率 .【測量目標】余弦定理，橢圓的簡單幾何性質.【考查方式】畫圖表示橢圓及直線位置，通過數量關系確定三角形形狀以及橢圓系數，考查數形結合的能力.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】根據橢圓的定義及性質和余弦定理求解.設橢圓的右焦點為，直線過原點，

9、,.（步驟1）在中，設，由余弦定理得，（步驟2）解得，即.,是直角三角形，（步驟3）,即.（步驟4）又在中，即，（步驟5）.（步驟6）16為了考察某校各班參加課外書法小組的人數，在全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數作為樣本數據.已知樣本平均數為7，樣本方差為4，且樣本數據互相不相同，則樣本數據中的最大值為 .【測量目標】用樣本數字特征估計總體數字特征.【考查方式】給出樣本平均數、樣本方差樣本組數，求樣本數據中的最大值.【難易程度】較難【參考答案】10【試題解析】設5個班級中參加的人數分別為則由題意知五個整數的平方和為，則必為，由可得或，由可得或，由上可知參加的人數分別為4，6，7

10、，8，10，故樣本數據中的最大值為10.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （本小題滿分12分）設向量（I）若求的值； （）設函數，求的最大值.【測量目標】平面向量的基本概念、向量的數量積運算、兩角和與差的正弦和三角函數的最值.【考查方式】給出兩向量坐標，兩向量模的關系，函數與向量的關系，求的值，函數的最大值. 【難易程度】容易【試題解析】（） （步驟1）又，. （步驟2）（）當時，取最大值1. （步驟3）的最大值為. （步驟4）18（本小題滿分12分）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點.（I）求證：平面平面（II）若求證：二面角的余弦值.第18題

11、圖 【測量目標】面面垂直的判定，二面角，空間直角坐標系和空間向量及其運算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的確定考查定理的靈活應用能力，空間直角坐標系的建立考查空間想象能力及運算求解能力.【難易程度】中等【試題解析】()由是圓的直徑,得,（步驟1）由平面,平面,得,又,平面,平面,平面平面平面平面.（步驟2）()解法一：如圖（1），以點為坐標原點，分別以直線,為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.在中,.又,.（步驟3）故,.設平面的法向量為，則不妨令，則.（步驟4）,設平面的法向量為,則（步驟5）不妨令，則.于是.由圖（1）知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.（步驟6）第18題圖（1）

12、解法二：如圖（2），過作于，平面,平面,.又,且平面,平面,平面.過作于,連接,由三垂線定理得為二面角的平面角.（步驟3）在中,由,得,.在中,由,得.,.（步驟4）在中,二面角的余弦值為.（步驟5）第18題圖（2） 19（本小題滿分12分）現有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答.（I）求張同學至少取到1道乙類題的概率；（II）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設張同學答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立.用表示張同學答對題的個數，求的分布列和數學期望.【測量目標】古典概型，互斥事件與對立事件的概率，離散型隨機變量的分

13、布列及期望.【考查方式】至少類問題反面求解考查轉化化歸能力，分布列及數學期望的求解考查運算求解能力.【難易程度】中等【試題解析】 (1)設事件“張同學所取的3道題至少有1道乙類題”，則有 “張同學所取的3道題都是甲類題”，.（步驟1） (2)所有的可能取值為,.（步驟2）；（步驟3）；（步驟4）；（步驟5）.（步驟6）的分布列為：（步驟7）.（步驟8）20（本小題滿分12分）如圖，拋物線，點在拋物線上，過作的切線，切點為（為原點時，重合于），切線的斜率為.（I）求的值；（II）當在上運動時，求線段中點的軌跡方程. 第題圖 【測量目標】導數的幾何意義，圓錐曲線的軌跡方程.【考查方式】給出兩拋物線

14、方程，利用導數的幾何意義及坐標中點與直線的關系求解；利用橢圓與直線的位置關系及待定系數法求解.【難易程度】中等【試題解析】（）拋物線上任意一點（的切線斜率為，且切線的斜率為，點坐標為（，）， （步驟1） 切線的方程為. (步驟2) .點（在切線及拋物線上， （步驟3）由得. （步驟4）（）設為線段中點，. （步驟5）切線的方程為，. （步驟6）由得的交點（的坐標為 （步驟7）點（在上，即 （步驟8）由得 （步驟9）當時，重合于原點中點為，坐標滿足中點的軌跡方程為 （步驟10）21（本小題滿分12分）已知函數，.當時，（I）求證： ；（II）若恒成立，求實數取值范圍.【測量目標】利用導數求函數的

15、單調區間，不等式恒成立問題.【考查方式】第一問不等式的證明利用構造函數法，通過導數證明，考查簡單的轉化化歸能力；第二問的兩種解法都對轉化化歸能力進一步升級考查，解法一利用第一問的結論進行轉化，解法二通過構造函數，兩次利用導數轉化.【難易程度】較難【試題解析】()證明：要證時，只需證明.（步驟1）記，則，（步驟2）當時，因此在上是增函數，（步驟3）故.所以（步驟4）要證時，只需證明.（步驟5）記，則，（步驟6）當時，因此在上是增函數，（步驟7）故.所以，（步驟8）綜上，（步驟9）()解法一： （步驟10）設，則.（步驟11）記，則，（步驟12）當時，于是在上是減函數，（步驟13）從而當時，故在上

16、是減函數（步驟14）于是，從而.（步驟15）所以，當時，在上恒成立（步驟16）下面證明當時，在上不恒成立 ，（步驟17）記，則，（步驟18）當時，故在上是減函數，（步驟19）于是在上的值域為（步驟20）因為當時，使得，（步驟21）此時，即在上不恒成立（步驟22）綜上，實數的取值范圍是（步驟23）解法二：先證當時，.（步驟10）記，則.（步驟11）記，則，（步驟12）當時，于是在上是增函數，（步驟13）因此當時，從而在上是增函數（步驟14）因此，所以當時，.（步驟15）同理可證，當時，.（步驟16）綜上，當時，.（步驟17）當時，.（步驟18）所以當時，在上恒成立（步驟19）下面證明當時，在上不

17、恒成立，（步驟20） (例如取和中的較小值)滿足（步驟21）即在上不恒成立（步驟22）綜上，實數的取值范圍是（步驟23）請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分.作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號下方的方框涂黑.22（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講如圖，為半圓的直徑，直線與半圓相切于，垂直于，垂直于，垂直與，連接.證明：（I）； （II） 第題圖 【測量目標】幾何證明選講. 【考查方式】給出點、線、面之間的各種關系，根據圓中直線的垂直等角關系證明；根據圓中三角形的全等和線段間的關系求解.【難易程度】容易【試題解析】()直線與相切， （步驟

18、1）為的直徑，,； （步驟2）又,. （步驟3）. （步驟4）（）,是公共邊，,. （步驟5）類似可證,得. （步驟6）又在中，,，. （步驟7）23（本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數方程在直角坐標系中以為極點，軸正半軸為極軸建立坐標系.圓，直線的極坐標方程分別為（I）求與交點的極坐標；（II）設為的圓心，為與交點連線的中點.已知直線的參數方程為（為參數），求的值.【測量目標】極坐標與參數方程.【考查方式】給出各直線的極坐標方程或參數方程，聯立與方程求交點；由參數方程的性質求解.【難易程度】容易【試題解析】()圓的直角坐標方程為，直線的直角坐標方程為.解得 (步驟1)與交點的極坐標為. （步驟2）注：極坐標系下點的表示不是唯一的.（）由（）可得，點與點的直角坐標分別為.直線的直角坐標方程為