專題18全等與相似模型之十字模型幾何學是數學的一個重要分支，研究的是形狀、大小和相對位置等幾何對象的性質和變換。在初中幾何學中，十字模型就是綜合了上述知識的一個重要模型。本專題就十字模型相關的考點作梳理，幫助學生更好地理解和掌握。模型1.正方形的十字架模型（全等模型）“十字形”模型，基本特征是在正方形中構成了一個互相重直的“十字形”，由此產生了兩組相等的銳角及一組全等的三角形。1）如圖1，在正方形ABCD中，若E、F分別是BC、CD上的點，AE⊥BF；則AE=BF。2）如圖2，在正方形ABCD中，若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點，AE⊥GF；則AE=GF。3）如圖3，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分別是BC、CD、AB、AD上的點，EH⊥GF；則HE=GF。模型巧記：正方形內十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.例1．（22·23下·廣東·課時練習）如圖，將一邊長為12的正方形紙片的頂點A折疊至邊上的點E，使，若折痕為，則的長為（

）A．13 B．14 C．15 D．16例2．（2023年遼寧省丹東市中考數學真題）如圖，在正方形中，，點E，F分別在邊，上，與相交于點G，若，則的長為．例3．（2023安徽省蕪湖市九年級期中）如圖，正方形中，點E、F、H分別是的中點，交于G，連接．下列結論：①；②；③；④．正確的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例4．（廣西2022-2023學年九年級月考）（1）感知：如圖①，在正方形ABCD中，E為邊AB上一點（點E不與點AB重合），連接DE，過點A作，交BC于點F，證明：．（2）探究：如圖②，在正方形ABCD中，E，F分別為邊AB，CD上的點（點E，F不與正方形的頂點重合），連接EF，作EF的垂線分別交邊AD，BC于點G，H，垂足為O．若E為AB中點，，，求GH的長．（3）應用：如圖③，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，，BF，AE相交于點G．若，圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則的面積為______，的周長為______．模型2.矩形的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相對兩邊上的任意兩點聯結的線段是互相垂直的，此時這兩條線段的的比等于矩形的兩邊之比。通過平移線段構造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質求得線段間的比例關系。如圖1，在矩形ABCD中，若E是AB上的點，且DE⊥AC，則.如圖2，在矩形ABCD中，若E、F分別是AB、CD上的點，且EF⊥AC，則.如圖3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分別是AB、CD、AD、BC上的點，且EF⊥MN，則.例1．（22·23下·廣西·九年級期中）如圖，把邊長為，且的平行四邊形對折，使點和重合，求折痕的長．例2．（22·23下·河北·九年級期中）如圖，在矩形中，、、、分別為、、、邊上的點，當時，證明：．例3．（22-23·貴港·中考真題）已知：在矩形中，，，是邊上的一個動點，將矩形折疊，使點與點重合，點落在點處，折痕為．（1）如圖1，當點與點重合時，則線段_______________，_____________；（2）如圖2，當點與點，均不重合時，取的中點，連接并延長與的延長線交于點，連接，，．①求證：四邊形是平行四邊形：②當時，求四邊形的面積．例4．（2022年四川樂山中考數學適應性試卷）解答(1)如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F，GH分別交AD，BC于點G，H．求證：；(2)如圖2，在滿足（1）的條件下，點M，N分別在邊BC，CD上，若，求的值；(3)如圖3四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，，求的值．模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）1）等邊三角形中的斜十字模型（全等+相似）：如圖1，已知等邊△ABC，BD=EC（或CD=AE），則AD=BE，且AD和BE夾角為60°，△ABC。2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：如圖2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D為BC中點，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個結論中，可“知二得五”。3）直角三角形中的十字模型：如圖3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D為BC中點，BF⊥AD，則AF：FC=2：k2，（相似）例1.（22-23.成都市.八年級期中）如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且BD＝CE，AD與BE相交于點P．下列結論：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正確的結論是________（填序號）例2．（22·23下·淄博·一模）如圖，等邊，點E，F分別在AC，BC邊上，，連接AF，BE，相交于點P．(1)求的度數；(2)求證：．例3．（22·23下·無錫·階段練習）如圖，在邊長為6的等邊中，、分別為邊、上的點，與相交于點，若，則＝°；則的周長為．

例4．（22·23下·六安·一模）如圖1，等邊中，點D、E分別在上，且，連接交于點(1)求證：；(2)如圖2，連接，若，判斷與的位置關系并說明理由；(3)如圖3，在的條件下，點G在上，的延長線交于H，當時，請直接寫出線段FH的長．

例5．（22·23上·深圳·期中）如圖，在中，，，點D為邊上的中點，連接，過點B作于點E，延長交于點F．則的長為．例6．（22·23下·滄州·二模）如圖，在中，，，點D是線段上的一點，連接，過點B作，分別交、于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接，下列結論錯誤的是（

）A．B．若點D是AB的中點，則C．當B、C、F、D四點在同一個圓上時，D．若，則例7．（22·23·廣東·期中）如圖，在中，，，，點為上一點，連接，為上一點，于點，當時，求的長．例8．（22-23下·深圳·一模）如圖①，在Rt中，，，點D為邊上的一點，連接，過點C作于點F，交于點E，連接．(1)若，求證：；(2)如圖②，若，，求的值．例9．（22·23上·長春·階段練習）某數學興趣小組在數學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究：【觀察與猜想】(1)如圖①，在正方形中，點、分別是、上的兩點，連接，，，則的值為___________．【類比探究】(2)如圖②，在矩形中，，，點是邊上一點，連接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如圖③，在中，，點在邊上，連結，過點作于點，的延長線交邊于點．若，，，則___________．課后專項訓練1．（22·23下·杭州·一模）如圖，在等邊的AC，BC邊上各取一點M，N使，AN，BM相交于點O．若，，則BO的長是（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（2023.湖北.九年級期末）如圖，將邊長為12cm的正方形ABCD折疊，使得點A落在CD邊上的點E處，折痕為MN．若CE的長為7cm，則MN的長為（）A．10 B．13 C．15 D．無法求出3．（2023.南充市中考模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為CD的中點，連結AP，過點B作BE⊥AP于點E，延長CE交AD于點F，過點C作CH⊥BE于點G，交AB于點H，連接HF，下列結論正確的是（）A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF?CF4．（黑龍江省牡丹江市2021年中考數學真題試卷）如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點，BE＝1.將正方形沿GF折疊，使點A恰好與點E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（

）A．2 B．2 C．6 D．55．（22·23下·東營·中考模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點D是線段AB上的一點，連結CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連結DF，給出以下四個結論：①；②若點D是AB的中點，則AF=AB；③當B、C、F、D四點在同一個圓上時，DF=DB；④若，則其中正確的結論序號是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④6．（22·23下·江門·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．點D是線段BC上的一點，連接AD，過點C作CG⊥AD，分別交AD、AB于點G、E，與過點B且垂直于BC的直線相交于點F，點D是BC的中點，連接DE．則=；7．（22·23下·山西·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC邊上的中線，過點B作AE的垂線BD，垂足為H，交AC于點D，則AD的長為．8．（山東2022-2023學年九年級下學期期末數學試題）如圖，正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于G，連接AG、HG．下列結論：①AG=AD；②AG⊥GH；③∠DAG=60°；④∠AGE=∠BCE．其中正確的有．9．（江西2023-2024學年九年級月考數學試題）在矩形紙片中，，，將紙片折疊．(1)如圖1，若沿對折，使點C恰好落在上得到點E，求的長．(2)如圖2，若沿對角線折疊，使點C落在點F處，與交于點E，求的長．(3)如圖3，若沿折疊，使點C與點A重合，求折痕的長．

10．（2023年成都市中考三模數學試題）已知正方形的邊長為6，動點分別在邊上運動，連接．(1)如圖1，過作交邊于點，交于點．i）若為的中點，為的中點，求的長；ⅱ）探索線段之間的數量關系，寫出你的結論并證明．(2)如圖2，將四邊形沿翻折得到四邊形與相交于點，調整點和點的位置使得線段始終經過頂點．i）若點到的距離，求的長；ⅱ）點到的距離是否存在最大值？若存在，請直接寫出這個最大距離；若不存在，請說明理由．

11．（四川省成都市2023-2024學年九年級上學期10月月考數學試題）【模型發現】如圖1，在正方形中，E為邊上一點（不與點B、C重合），過點D作垂直于的一條直線，垂足為G，交于點F．小明發現可以通過證明：得（不需證明）【模型探究】（1）如圖2，在正方形中，P為邊上一點（不與點B、C重合），M為線段上一點（不與C、D重合），過點M作，垂足為G，交于點N，請直接寫出與及線段、、之間的數量關系．（2）如圖3，在（1）的條件下，若垂足G恰好為的中點，連接，交于點H，連接并延長交邊于點I，再連接，請探究線段、的數量關系；【拓展應用】（3）如圖4，若正方形的邊長為8，點M、N分別為邊、上的點，過A作，已知，將正方形沿著翻折，的對應邊恰好經過點A，連接交于點Q.過點Q作，垂足為R，求線段的長．（直接寫出結論即可）

12．（成都市錦江區2022-2023學年九年級上學期期中數學試題）（1）問題探究：如圖1，在正方形，點，分別在邊，上，于點，點，分別在邊、上，．①判斷與的數量關系：；②推斷：的值為：；（無需證明）（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，．將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，得到四邊形，交于點，連接交于點．試探究與之間的數量關系，并說明理由；（3）拓展應用1：如圖3，四邊形中，，，，，點，分別在邊、上，求的值．（4）拓展應用2：如圖2，在（2）的條件下，連接，若，，求的長．13．（22·23下·江蘇·九年級期中）平行四邊形中，，分別是邊、上的點，，G為垂足．（1）如圖1，當，時，求證：（2）如圖2，當，，，求的最小值（3）如圖3，當，，E為的中點，直接寫出的值．14．（2022年湖北中考模擬）知矩形ABCD中，，點E是BC邊上一點，于點O，分別交AB、CD于點F、G．(1)特例發現：如圖1，若，則______；(2)類比探究：如圖2，若，請探究的值，并寫出探究過程；(3)拓展應用：如圖3，在（2）的條件下，將矩形ABCD沿CF折疊，使點A恰好落在BC邊上的點E處，得到四邊形PEFG，PE與CD交于點H，連接PC．已知，，求PC的長15．（成都市錦江區2022-2023學年九年級下學期入學練習數學試題）（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，若，則的值為______；（2）如圖2，在矩形ABCD中，，，點E是AD上的一點，連接CE，BD，若，則的值為______；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，點E為AB上一點，連接DE，過點C作DE的垂線交ED的延長線于點G，交AD的延長線于點F，求證：；（4）如圖4，在中，，，將沿BD翻折，點A落在點C處，得到，點F為線段AD上一動點，連接CF，作交AB于點E，垂足為點G，連接AG．設，求AG的最小值．16．（2023年廣東省深圳市中考模擬數學試題）【問題解決】如圖1，已知正方形中，，分別是，邊上的點，與交于點．當時，求證：；【類比遷移】如圖2，在菱形中，，分別是，邊上的點，與交于點．若，求證：．【拓展延伸】如圖3，在四邊形中，，分別是，邊上的點，與交于點．，，，，若，請求出的值．17．（22·23下·安徽·模擬預測）如圖1，在等邊中，點D，E分別在邊上，且，連接相交于點F．

(1)求的度數；(2)如圖2，連接，當時，求的值；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿翻折，使點C落在點G處，連接并延長交于點H，交于點I．當時，求的長．18．（22·23下·深圳·期中）課本再現如圖1，在等邊中，E為邊上一點，D為上一點，且，連接與相交于點F