1、)1()2()3(幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的在該點處的切線是點上至少有一在曲線弧CABC32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續上連續在在 ,)3 , 1(上可導上可導在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf引例：引例：證證.)1(mM 若若,)(連連續續在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同時時在在端端點點,f

2、(a)M不失一般性可設.)(),(Mfba 使使內內至至少少存存在在一一點點則則在在),()( fxf, 0)()( fxf, 0 x若若; 0)()( xfxf則有則有, 0 x若若; 0)()( xfxf則有則有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f)(f)()(ff. 0)( f只只有有二、二、RolleRolle 定理的條件的討論定理的條件的討論 （1 1）羅爾定理的條件缺一不可）羅爾定理的條件缺一不可. . 1 010 )( 1時時時時例例xxxxf;1 , 0)()1(Cxf );1 , 0()()2(Dxf ).1()0

3、()3(ff 10 xy. 0)(, f使使不不例例2;1 , 1,)( xxxf例例3;1 , 1)()1( Cxf);1 , 1()()2( Dxf).1()1()3(ff . 0)(, f使使不不10 xy10 xy1 ;1 , 0,)( xxxf;1 , 0)()1(Cxf );1 , 0()()2(Dxf ).1()0()3(ff . 0)(, f使使不不2) 1|x(|1y例如例如2, 2x2) 1x(1y23, 0 x23x0)23, 0 x) 1x(1y2在在x=0處不可導處不可導在端點處函數值不相等在端點處函數值不相等在閉區間上不連續在閉區間上不連續對以上三個函數對以上三個函

4、數Rolle定理結論均成立定理結論均成立例例1 1.65,6sinln)x(f的正確性上在驗證羅爾定理對xy解解), 1, 0(,22:的定義函數kkxk域f(x).65,6f(x)續上連在內處處存在內處處存在在在又又)65,6(cot xy)65()6( ff并且并且2ln 三、羅爾定理的初步應用.65,6sinln的條件的條件上滿足羅爾定理上滿足羅爾定理在在函數函數 xy, 0cot xy由由內顯然有解內顯然有解在在)65,6( .2 x,2 取取. 0)( f則則這就驗證了命題的正確性這就驗證了命題的正確性.例例2 2.10155的正實根的正實根有且僅有一個小于有且僅有一個小于證明方程證明方程 xx證證, 15)(5 xxxf設設,1 , 0)(連續連續在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實根.,xx(0,1),x設另有011. 0)(1 xf使使定理的條件足上在羅爾滿x