1、一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積 二、由平行截面面積求體積二、由平行截面面積求體積 第十章第十章 定定積積分的運用一分的運用一由平行截面面積求體積直接運用求旋轉體的體積面積公式直角坐標，極坐標一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積 假設函數y=f(x)( f(x)0)在區間a, b上延續，那么由曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積為 復習：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 baf(x)dx。 由上下兩條延續曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積 S 如何求？思索如下問題：Ox y 1

2、、假設圖形在x軸上方，ab yf (x) y=g(x) y=g(x)留意圖形的構成S baf(x)dx baf(x)g(x)dx。 f(x)dxbag(x)dx ab yf(x) y=g(x)Ox y 2、假設圖形不在x軸上方， yf(x)+m y=g(x)+mm將圖形平移到x軸的上方S baf(x)mdxg(x)mdx baf(x)g(x)dx。 由上下兩條延續曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積 S 如何求？思索如下問題： 1、假設圖形在x軸上方，S baf(x)dx baf(x)g(x)dx。 f(x)dxbag(x)dx f(x)mdxbag(x

3、)mdx 結論：由上下兩條延續曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注： (1)當曲線f(x)=0或g(x)=0時，上述公式也成立。Ox yab yf(x)g(x)=0Ox yab yg(x)f(x)=0Ox yab yf(x)g(x)=0ab yf(x)g(x)=0Ox yab yf(x)g(x)=0 (2)當左右兩邊縮為一點時，上述公式也成立。 (3)積分區間就是圖形在x軸上的投影區間。 結論：由上下兩條延續曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注

4、： (1)當曲線f(x)=0或g(x)=0時，上述公式也成立。 (4)假設 y=f(x)有分段點 c，那么需把圖形分割后計算。Ox yab yf(x)g(x)=0 yf1(x) yf2(x)cSbaf (x)g(x)dx f1(x)g(x)dxf2(x)g(x)dx。 f (x)g(x)dx f1(x)g(x)dxf2(x)g(x)dx。 結論：由上下兩條延續曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注： (1)當曲線f(x)=0或g(x)=0時，上述公式也成立。 (2)當左右兩邊縮為一點時，上述公式也成立。 (3)積分區間就

5、是圖形在x軸上的投影區間。討論： 由左右兩條延續曲線x=y(y)、x=j(y)與上下兩條直線y=c、 y=d所圍成的圖形的面積 S 如何求？Ox ycdx=y(y)x=j(y)dyyySdc)()(。 答案： 結論：由上下兩條延續曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為abxyOS1結論：由上下兩條延續曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為 例1. 求橢圓 所圍成的圖形面積。 解：設橢圓在第一象限的面積為S1，那么橢圓的面積為22221xyab22022

6、000241, let sin , we get 4cos(1 cos2 ) .4 aaxSydxbdxxataSabtdtabt dtab 221xyba 解： 由對稱性，圖形面積是第一 象限部分的兩倍。 S =2 dxxxdxxx)112()211(23121022dxxxdxxx)112()211(23121022x3所圍成的圖形的面積。 例 2 求曲線 y21x2、y211x與直線 x3、 xO-1 1 y y211x 33 y21x2 解： 由對稱性，圖形面積是第一 象限部分的兩倍。 S =2 dxxxdxxx)112()211(23121022103)6 arctg(xx x3所圍

7、成的圖形的面積。 dxxxdxxx)112()211(23121022103)6 arctg(xx 303) arctg6(xx )233(31.11 例 2 求曲線 y21x2、y211x與直線 x3、 例3 計算拋物線y22x 與直線xy4所圍成的圖形的面積。8 y-2 2 x2O444(8, 4)(2, -2) 解：求兩曲線的交點得：(2，2)，(8，4)。將圖形向y軸投影得區間2，4。 1861421)214(4232242yyydyyy18。思索：為什么不向x軸投影？ S1861421)214(4232242yyydyyy oyxababoyx普通地 , 當曲邊梯形的曲邊由參數方程

8、)()(tytx給出時, 按順時針方向規定起點和終點的參數值21,tt那么曲邊梯形面積2121d)()()()( ttttbattttdtydxA)(1axt對應)(1bxt對應極坐標情形極坐標情形,0)(, ,)(C設求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .在區間,上任取小區間d,那么該小區間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2S所求曲邊扇形的面積為d)(21212dAA)(r x d 對應 從 0 變例例5. 計算阿基米德螺線計算阿基米德螺線解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a到 2 所圍圖形面積 . ttadcos82042例例6. 計

9、算心形線計算心形線所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對稱性)2t令28a43212223a二、由平行截面面積求體積二、由平行截面面積求體積 設一立體在x軸上的投影區間為a, b ，過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的延續函數，求此立體的體積。 V ni 1S(i)xi。 (3)令l=maxDxi，那么立體體積為 (1) 在a, b內插入分點： a=x0 x1x2 xn-1xn=b， (2)過xi(i=1, 2, , n-1)且垂直于x軸的平面，把立體分割成n個小薄片，第i個小薄片體積的近似值S(xi)D

10、xi。 將n個小薄片體積的近似值相加得立體體積的近似值xOax1xi-1 xixn bV ni 10limlS( )xi baS(x)dx。 iabzxyco垂直 x 軸的截面是橢圓1)1 ()1 (22222222axaxczby例例7. 計算由曲面計算由曲面1222222czbyax所圍立體(橢球體)解解:它的面積為)1 ()(22axbcxS因此橢球體體積為bc20abca34特別當 a = b = c 時就是球體體積 .)(axaxbcaxd)1 (22aV02x233axx的體積.例例8. 一平面經過半徑為一平面經過半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心 , 并與底面交成 角

11、,222Ryx解解: 如下圖取坐標系如下圖取坐標系,那么圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .oRxyxoRxy思索思索: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時截面面積函數是什么 ?如何用定積分表示體積 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22Oxba y區間a, b上截面積為S(x)的立體體積：右圖為由延續曲線 yf(x)、直線 xa 、 xb 及 x 軸所圍

12、成的曲邊梯形繞 x軸旋轉一周而成的立體。 yf (x)V baf(x)2dxbaf(x)2dx。 V baS(x)dx。 關鍵是確定截面面積2( )( )S xf x當思索延續曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉一周圍成的立體體積時, dcdyyV2)(xoy)(yxcdy2( )( )S yy 截面面積為于是有 例9 銜接坐標原點O及點P(h，r)的直線、直線xh 及x軸圍成一個直角三角形。將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體。計算這圓錐體的體積。 解：過原點 O 及點 P(h，r)的直線方程為 yxhr。 Vh0 (xhr)2dx 所求圓錐體的體積為 22 hrh0 x2dx

13、xhry hrxyO曲線y=f(x)繞 x 軸旋轉而成的立體體積：V baf(x)2dx。 區間a, b上截面積為 S(x) 的立體體積：V baS(x)dx。 x2dx231hr。 ( , )P r hayxb例例10. 計算由橢圓計算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標方程利用直角坐標方程)(22axaxaaby那么截面面積xxaabad)(220222(利用對稱性)3222312xxaab0a234aboadxyV022x2( )S xy于是方法方法2 利用橢圓參數方程利用橢圓參數方程tbytaxsincos那么xyVad2

14、02ttabdsin23222 ab32234ab02特別當b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積.343axyoa2例例11. 計算擺線計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉而成的立體體積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉而成的體積為軸旋轉而成的體積為xyVaxd202利用對稱性利用對稱性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyoa2a繞 y 軸旋轉而成的體積為)cos1 (

15、)sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0留意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 留意分段點！分部積分對稱關于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226ox1 2yBC3A例例12. 求曲線求曲線132xy與 x 軸圍成的封鎖圖形繞直線 y3 旋轉得的旋轉體體積.(94 考研)解解: 利用對稱性利用對稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361