1、八年級(jí)平面幾何難題集錦1.如圖，已知等邊厶ABC , P在AC延長線上一點(diǎn)，以PA為邊作等邊AAPEEC延長線交 BP于M，連接 AM,求證：（1）BP=CE ；（ 2 ）試證明：EM-PM=AM.2.點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM, CBN都是等邊三角形， 線段AN,MC 交于點(diǎn)E, BM,CN交于點(diǎn)F。求證:（1）AN=MB. （ 2 ）將AACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖所示，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否依然成立?(3)B3.已知，如圖所示，在厶ABC和厶ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，N分別為BE，CD的中點(diǎn).且點(diǎn)B，A, D在一條直線上，連接 BE，CD，M(

2、1 )求證： BE CD : AM AN （2）在圖的基礎(chǔ)上，將 ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖所示的圖形請(qǐng)直接寫出（1 ）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立D圖A圖4.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A , E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE, AD與BE交于點(diǎn)O, AD與BC交于點(diǎn)P, BE與CD交于點(diǎn)Q ,連結(jié)PQ.以F五個(gè)結(jié)論: AD=BE ; DE=DP ; PQ /AE; /AOB=60OACE共有2對(duì)全等三角形CO平分/AOP CO平分/BCD恒成立的結(jié)論有（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）5.已知：如圖， ABC是等邊三角形，過AB

3、邊上的點(diǎn)D作DG / BC，交AC 于點(diǎn)G，在GD的延長線上取點(diǎn) E ,使DE DB，連接AE, CD (1) 求證： AGE DAC ;(2) 過點(diǎn)E作EF / DC，交BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你連接AF ,并判斷 AEF是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論.F6.如圖，以 ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形 ABDE和正方形ACFG，連結(jié)EG，試判斷 ABC與厶AEG面積之間的關(guān)系，并說明理由.7.在厶ABC中，AB BC 2, ABC 120°將厶ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0 °90 °得厶ABCi, AB交AC于點(diǎn)E , AG分別交 AC、BC于D、F兩點(diǎn)如圖1，觀

4、察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段 丘幾與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論;CDAiFEAC18. 如圖所示， ABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90 °,AD是BC邊上的中線，過 C作AD的垂線，交 AB于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F，求證：/ ADC =ZBDE 9. 如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊 經(jīng)過點(diǎn)D ,且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A, B重合），另一條直角邊與/ CBM 的平分線BF相交于點(diǎn)F. 如圖14 ，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)： 通過測(cè)量DE, EF的長度，猜想 DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ; 連接點(diǎn)E與AD邊的

5、中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ; 請(qǐng)證明你的上述兩猜想 如圖14 ，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請(qǐng)你在 AD邊上找到一點(diǎn) N,使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí) DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明A £ B M014-1屈 S A M014-210.已知 Rt ABC 中，AC BC,Z C 90 , D 為 AB 邊的中點(diǎn)，EDF 90°EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于 E、F.當(dāng) EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE AC于E時(shí)（如圖曰、11),易證 Sa defSa cef sa abc 2當(dāng) EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩

6、種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明;右不成立，Sa def、Sacef、Saabc又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.F圖1圖2I11. 已知 AC/BD, /CAB和/DBA的平分線 EA、EB與CD相交于點(diǎn)E.求證：AB=AC+BD.12. 等邊ABC , D 為ABC 外一點(diǎn)，/ BDC=120 °,BD=DC ./MDN=60 。射線DM 與直線AB相交于點(diǎn) M，射線DN與直線AC相交于點(diǎn)N , 當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM=DN 時(shí)，直接寫出 BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān) 系. 當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM DN時(shí)，猜想中的結(jié)論還成立嗎？若

7、成立，請(qǐng)證 明.當(dāng)點(diǎn)MN在邊AB、CA的延長線上時(shí)，請(qǐng)畫出圖形，并寫出BM、NC、MN之間的數(shù)曰.¥ W 量關(guān)糸.13.如圖1 , BD是等腰RtAABC的角平分線，Z BAC = 90C(1)求證 BC=AB+AD ;(2)如圖2 , AF丄BD于F, CE丄BD交延長線于E,求證：BD=2 CE;圖214.已知，如圖1，在四邊形 ABCD中，BC> AB , AD= DC , BD平分/ABC。 求證：/ BAD+ /BCD=180 °。15.如圖，四邊形 ABCD 中，AC 平分/ BAD , CE丄 AB 于 E, AD+AB=2AE ,則/B 與/ADC互補(bǔ)

8、為什么？16.如圖4，在 ABC中,BD=CD，/ABD= ZACD,求證 AD 平分 ZBAC.17. 如圖，在 ABC中/ABC, ZACB的外角平分線交 P求證:AP 是ZBAC的角平分線圖十一18. 如圖在四邊形 ABCD中，AC平分/ BAD，/ADC +/ABC = 180度,想AD、AE、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想,19. 如圖，已知在 ABC中，/B=60 °QBC的角平分線 AD,CE相交于點(diǎn) 0,求證：0E=0D20. 如圖所示，已知在厶AEC中，/ E=90 °,AD平分/EAC, DF丄AC ,垂足為 F, DB=DC ,求證：BE=CFEB

9、A圖圖圖21. 如圖，0P 是/MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以0P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：(1) 如圖，在 ABC 中，/ACB 是直角，/ B=60 °,AD、CE 分別是/ BAC、/BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出 FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(2) 如圖，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由23.如圖在 ABC 中，AB > AC , Z1Z2, P為AD上任意一點(diǎn)，求證22. 已知：如圖，BF丄

10、AC于點(diǎn)F,CE丄AB于點(diǎn)E,且BD=CD，求證：(1 ) 點(diǎn)D在/A的平分線上24.已知：如圖， ABC 中，/ABC=45 °,CD 丄 AB 于 D , BE 平分/ABC，且 BE丄 AC 于 E, 與CD相交于點(diǎn)F, H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié) DH與BE相交于點(diǎn)G。(!)求證：BF= AC;1(2) 求證：CE= BF;2(3) CE與BC的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論。25. 如圖，在四邊形 ABCD中，AB=BC , BF是/ABC的平分線，AF /DC，連接 AC、CF ,求證：CA是/DCF的平分線。26. 數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖 1，四邊形ABCD是正方形

11、，點(diǎn) E 是邊BC的中點(diǎn). AEF 90°，且EF交正方形外角 DCG的平分線CF 于點(diǎn)F,求證：AE=EF.經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則 AM =EC，易證 AMEECF，所以 AE EF .在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:(1 )小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn) E是邊BC上(除B,C外)的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“ AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；(2 )小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長線上(除 C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“ A

12、E=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由.圖1圖2圖327. KBC 中，/BAC=60 °,£=40 °,AP 平分ZBAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ABC 交 AC 于Q,求證：AB+BP=BQ+AQ 。28問題背景，如下命題： 如圖1,在正三角形 ABC中,N為BC邊上任一點(diǎn),CM為正三角形外角/ ACK的平分線,若/ANM=60 。則 AN=NM 如圖2,在正方形ABCD中,N為BC邊上任一點(diǎn)，CM為正方形外角/ DCK的平分線，若/ANM=90 。，則 AN=NM 如圖3,在正五邊形 ABCDE中,

13、N為BC邊上任一點(diǎn),CM為正五邊形外角/ DCK的平分線，若ZANM=108。，貝U AN=NM圖1MK任務(wù)要求: 請(qǐng)你證明以上三個(gè)命題；請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索： 如圖4,在正n ( n >3)邊形ABCDEF中,N為BC邊上任一點(diǎn),CM為正n邊形外角/DCK的平分線，問當(dāng)/ ANM等于多少度時(shí)，結(jié)論AN=NM 成立(不要求證明) 如圖5,在梯形 ABCD中,AD /BC,AB=BC=CD,N 為BC延長線上一點(diǎn),CM為/DCN的平分線，若ZANM= /ABC,請(qǐng)問AN=NM 是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立, 請(qǐng)說明理由ADE329. 如圖，在 ABC 中，/A=90 

14、6;,D 是 AC 上的一點(diǎn)，BD=DC ,P是BC上的任一點(diǎn)，PE丄BD , PF丄AC , E、F為垂足.求證： PE+PF=AB .30. 如圖，已知 ABC 中，AB=AC=6cm ，/B= ZC, BC=4cm，點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn).(1 )如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q在線段CA 上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過 1秒后， BPD與CQP是否全等，請(qǐng) 說明理由；若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使 BPD 與CQP全等？（2 ）若點(diǎn)Q以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) C出發(fā)，點(diǎn)P以原來

15、的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) B同時(shí)出發(fā)，都 逆時(shí)針沿厶ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過 后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在厶ABC的邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程）S31. 已知：在厶ABC中，/ACB為銳角，點(diǎn) D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AD，以AD為一邊 且在AD的左側(cè)作等腰直角 ADE，解答下列各題：如果 AB=AC，/BAC=90 ° .（i）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖甲，線段 BD , CE之間的位置關(guān)系為（ii） 當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖乙，i）中的結(jié)論是否還成立？為什么？32. 已知ABC為等邊三角形，點(diǎn) D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) D不與B、C重合），以

16、AD 為邊作菱形 ADEF（ A、D、E、F按逆時(shí)針排列），使/ DAF=60 °，連接CF .（1 ）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證： BD=CF :AC=CF+CD ;（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) D 在邊 BC 的延長線上且其他條件不變時(shí)， 結(jié)論 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出 AC、 CF、 CD 之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) D 在邊 BC 的延長線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出 AC、 CF、 CD 之間存在的數(shù)量關(guān)系.33. 在ABC中，AD丄BC, BE丄AC, D、E為垂足，AD與BE交與點(diǎn)CH, BD=AD.求證：BH=A

17、CBE 丄 AD34.如圖14-1，在AABC中，BC邊在直線I上，AC丄BC,且AC = BC.AEFP的邊FP也 在直線I上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP. (1)在圖14-1中，請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量， 猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2 )將厶EFP沿直線I向左平移到圖14-2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q,連結(jié)AP , BQ 猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān) 系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；(3 )將厶EFP沿直線I向左平移到圖14-3的位置時(shí)，EP的延長線交 AC的延長線于點(diǎn) Q,連結(jié)AP, BQ.你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù) 量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立

18、，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.圖 14-135.如圖1，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn) G , 則可得結(jié)論： AF=DE :AF丄DE.（不需要證明）（1）如圖2，若點(diǎn)E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，但滿足 CE=DF.則上面 的結(jié)論、是否仍然成立？（請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”）(2)如圖3，若點(diǎn)E、F分別在正方形 ABCD的邊CB的延長線和 DC的延長線上，且CE=DF，此時(shí)上面的結(jié)論、是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由36.如圖1 , A、E、F、C在同一條直線上， AE=CF，過 E、F分別作 DE

19、丄AC , BF丄AC ,若AB=CD，試說明BD平分EF;若將 DEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)變?yōu)閳D2時(shí)，其余條EF,請(qǐng)說明理由。37.如圖， ABC中，/ ACB= 90 °,AC = BC, AE是BC邊上的中線，過 C作CF丄AE,垂足為F,過B作BD丄BC交CF的延長線于 D .求證：(1) AE = CD ;(2)若 AC = 12 cm，求 BD 的長.38. 如圖，兩個(gè)全等的含 30 °、60。角的三角板ADE和三角板 ABC放置在一起，/ DEA= /ACB=90 ° ,DAE= /ABC=30 °, E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接 B

20、D，取BD中點(diǎn)M ,連接ME、MC，試判斷厶EMC的形狀，并說明理由.39. 已知BE, CF是ABC的高，且 BP=AC , CQ=AB，試確定 AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位m ¥方置關(guān)系40. 在 Rt KBC 中，AC = BC,/ACB = 90 °,D 是 AC 的中點(diǎn)，DG 丄 AC 交 AB 于點(diǎn) G.(1 )如圖1 , E為線段DC上任意一點(diǎn)，點(diǎn) F在線段DG上，且DE=DF，連結(jié)EF與CF, 過點(diǎn)F作FH丄FC,交直線 AB于點(diǎn)H . 求證：DG=DC 判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明.(2)若E為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)，點(diǎn) F在射線DG上，(1)中的其

21、他條件不變， 借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對(duì)全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變.(本小題直接寫出結(jié)論，不必證明)41. 如圖，AD/BC , AD=BC , AE丄 AD , AF 丄 AB ,且 AE=AD , AF=AB，求證：AC=EF42.直線CD經(jīng)過 BCA的頂點(diǎn)C, CA=CB . E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且 BEC CFA .（1）若直線CD經(jīng)過 BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：如圖 1，若 BCA 90°,90°，則 EF| BE AF （填“ ”，“ ”或“ ”號(hào)）；與BCA應(yīng)滿足的如圖2，若0

22、76; BCA 180°，若使中的結(jié)論仍然成立，則¥萃阜.關(guān)系是BCA，請(qǐng)?zhí)骄縀F、與BE、AF三（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過 BCA的外部,條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.圖1圖2圖343.已知：如圖，四邊形ABCD 中，AC 平分 BAD , CE AB 于 E,且 B+ D=180，求證：AE=AD+BE44. 操作：如圖， ABC是正三角形， BDC是頂角/ BDC = 120。的等 腰三角形，以 D為頂點(diǎn)作一個(gè) 60。角，角的兩邊分別交 AB、AC邊于 M、N兩點(diǎn)，連接MN .探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明.45. 如圖，已知 E是正方形 ABCD

23、的邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn) F在BC上，且/ DAE= /FAE求證：AF=AD-CF一點(diǎn)，且 DE=DB，求證：AC=BE+BC47.在ABC 中，BD=DC , ED 丄 DF .求證：BE+ CF> EF.C46. 如圖所示，已知 ABC中，AB=AC , D是CB延長線上一點(diǎn)，/ ADB=60 ° ,E是AD上48. 已知，如圖，三角形 ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90 °,F是AB的中點(diǎn)，直線I經(jīng)過點(diǎn)C,分別過點(diǎn) A、B作I的垂線，即 AD丄CE, BE丄CE,(1 )如圖1，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，求證： ADC也/CEB ;(2 )如圖2，當(dāng)CE位于點(diǎn)F

24、的左側(cè)時(shí)，求證： ED=BE-AD ;(3 )如圖3，當(dāng)CE在ABC的外部時(shí)，試猜想 ED、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想49. 如圖1、圖2、圖3 , AOB , ACOD均是等腰直角三角形，/ AOB =/COD = 90o ,(1 )在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由。(2 )若ACOD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后， 到達(dá)圖2的位置，請(qǐng)問AC與BD還相等嗎,還具有那種位置關(guān)系嗎？為什(3 )若厶COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋問AC與BD還相等嗎？還具有上么？轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖 3的位置，請(qǐng)問中的位置關(guān)系嗎？為什么？A50. 復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí)，老師布置了一道

25、作業(yè)題：“如圖，已知在厶ABC中，AB = AC, P是ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，將 AP繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 AQ，使/QAP= /BAC,連 接 BQ、CP,貝U BQ=CP.”小亮是個(gè)愛動(dòng)腦筋的同學(xué)，他通過對(duì)圖的分析，證明了厶ABQJACP，從而證得BQ=CP之后，將點(diǎn)P移到等腰三角形 ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“ BQ=CP”仍然成立，請(qǐng)你就圖給出證明.51. 將一張透明的平行四邊形膠片沿對(duì)角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠片 ABC和 DEF .且厶ABC 亠 DEF。將這兩張三角形膠片的頂點(diǎn) B與頂點(diǎn)E重合，把厶DEF 繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，這時(shí) AC與DF相交于點(diǎn)O . 當(dāng) DEF旋

26、轉(zhuǎn)至如圖位置，點(diǎn) B(E) , C, D在同一直線上時(shí)，AFD與 DCA的數(shù)量關(guān)系是 當(dāng) DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？ AO與DO存在怎樣的數(shù) 量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.52. 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求/ EAF的度文檔53.已知四邊形 ABCD 中，AB AD , BC CD , AB BC , / ABC 120° ,Z MBN 60°, / MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AD, DC （或它們的延長線） 于E, F 當(dāng)Z MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE CF時(shí)（如圖1），易證AE CF EF 當(dāng)Z MBN

27、繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？ 若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段 AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你 的猜想，不需證明.（圖1）（圖2）（圖3）54. 已知：PA= 2 ,PB=4,以AB為一邊作正方形 ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線 AB的兩側(cè).(1) 如圖，當(dāng) /APB=45 °時(shí)求 AB及PD的長；(2) 當(dāng)ZAPB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)/APB的大小.55. 在等邊 ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn) M、N , D為VABC外一點(diǎn)，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：當(dāng)

28、M、N分別在直線 AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AMN的周長Q與等邊 ABC的周長L的關(guān)系.圖1圖2圖3(I)如圖1，當(dāng)點(diǎn) M、N邊AB、AC上，且 DM=DN 時(shí)，BM、NC、MN 之間的數(shù)Q量關(guān)系是;此時(shí)匸 ;（II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DM DN時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論 還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（III）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，若AN= X，貝U Q= （用x、L表示）.56. 如圖，正方形 ABCD的邊長為1 , G為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) G與C、D不重合）， 以CG為一邊向正方形 ABCD外作正方形GCEF,求證

29、： ABCG /DCE BH丄DE57. (1)如圖7,點(diǎn)0是線段AD的中點(diǎn)，分別以 AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等 邊三角形 OAB和等邊三角形 OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC .求/AEB的大 小；圖7A(2 )如圖8, AOAB固定不動(dòng)，保持 OCD的形狀和大小不變， 將 AOCD 繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)(A OAB 和AOCD不能重疊)，求ZAEB的大小.58. 女口圖，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2 ，/ABC= ZAED=90 °，求五邊形 ABCDE 的面積59. (1 )如圖1，現(xiàn)有一正方形 ABCD，將三角尺的指直角頂點(diǎn)放在 A點(diǎn)處，兩條直角邊也 與

30、CB的延長線、DC分別交于點(diǎn)E、F.請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量，判斷 AE與AF之間的數(shù)量 關(guān)系，并說明理由.(2 )將三角尺沿對(duì)角線平移到圖2的位置，PE、PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3 )如果將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖 3的位置，PE、PF之間是否還具有(2)中的數(shù)量關(guān)系？如果 有，請(qǐng)說明EF , H 為60. E、F分別是正方形 ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，且 Z EAF 45 , AH 垂足，求證：AH AB .F61.如圖，正方形 ABCD中， FADFAE .求證：BE DF AE.F62.如圖，在等腰 ABC中，AB AC ,D是BC的中點(diǎn)，過A作AE DE ,AF DF，且 AE

31、AF .求證：EDB FDC .F63.如圖，在 ABC中，AB=AC, D , E分別是腰 AB, AC延長線上的點(diǎn)，且 BD=CE，連結(jié)DE 交 BC于 G,求證：DG=EG.64.等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于（）A. 30 0 B. 30 0 或 150 0 C . 120 0 或 150 0 D . 30 0 或 120 0 或 150 065.如圖，在 ABC中，AB=7 , AC=11 ,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AD是/BAC的平分線，MF/AD，貝U CF的長為C66.如圖，已知在厶ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且 BE=AC，延

32、長BE交AC于F,求證：AF=EF.67.如圖， ABC 中，AD 丄BC 于 D,/B=2 /C,求證：AB+BD=CD .B68.如圖，已知 ABC是等邊三角形，E是AC延長線上一點(diǎn)，選擇一點(diǎn) D，使得ACDE是等邊三角形，如果M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段BE的中點(diǎn)，求證： CMN是等邊三角形.A69.如圖，/ MAN =16 0, Ai點(diǎn)在 AM上，在 AN上取一點(diǎn) A2，使A2Ai = AAi，再在 AM 上取一點(diǎn)A3,使A3A2 = A2Ai，如此一直作下去，到不能再作為止，那么作出的最后一點(diǎn)是()A . A5B. A6c. A7D . A8(第6970.如圖，在 ABC中，AD 是ZBAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，過 M作ME /AD交BA1延長線于 E,交AC于F,求證：BE= CF= - (AB+AC).2D MC71.如圖