1、平行四邊形典型例題1.已知如圖12-M9,所示口ABCD的對角線AC、BD相交于點6 OE ± AD于E, OF丄 BC 于 F.圖 12-1 -19求證：四邊形AECF是平行四邊形錯證：在AAOE和ZkCOF中VOE丄 AD, OF丄BC A ZAEO=ZCFO=90°.四邊形ABCD為平行四邊形OA = OC, AD/BC ZEAC=ZACF AOE9 ACOF (AAS):. OF=OE.四邊形AECF是平行四邊形錯誤分析：上而證明由0F=OE, OA=OC不能說明EF與AC互相平分，因為原題設(shè)中沒有說明E、O、F 三點共線，因此先證E. O、F三點共線.正確證明：在

2、ZkAOE和ZkCOF中VOE丄AD OF丄BCZAEO = ZCFO=90°.四邊形ABCD為平行四邊形OA=OC, AD/BC ZEAC=ZACF AOE9 ACOF (AAS):. OF= OE又ADBC, OE丄AD, OF丄BC.E、O、F三點共線四邊形AECF是平行四邊形2. 如圖12-1-22所示，現(xiàn)有一塊等腰直角三角形的鐵板，通過切割焊接成一個含有45°角的平行四邊形, 請你設(shè)計一種最簡單的方案，并證明你的方案確實得到的是一個符合條件的平行四邊形.D B圖 12-1 -22分析：運(yùn)用三角形全等，平行四邊形的識別方法來解答，在證明時不要忽略證明F, E, D共

3、線.解：取AC、BC的中點E、D連結(jié)ED,則沿ED切割下來，如圖使點E不變，點C與點A重合，再焊接 上去最簡單.證明：在 RtAABC 中 VAC=BC A ZB=45°又TE、D分別為AC、BC的中點A EC = DC ZCED=ZCDE=45° ZAEF= ZCED=45° :. ZAEF+ ZAED= ZCED+ ZAED = 180°F、E、D 在一條直線上 VZEAF=ZC=90° :.AF/CD又VAF=CD=DB 四邊形AFDB是平行四邊形，且ZB=45°3. 如圖12-1-23,在口ABCD的對角線上取兩點E、F,且B

4、F=DE,請至少用兩種不同的方法證明四邊形 AECF是平行四邊形，并指出哪種方法最簡便.B9 12-1 - 23分析：可證兩組對邊分別相等，也可證對角線互相平分.證明方法（一）在厶ABF 和厶CDE 中，AB=CD, BF=DE, ZABF=ZCDE./.AABFACDE af=ce同理可證AE=CF,故四邊形AECF是平行四邊形方法（二）連AC交BD于O在ZjABCD 中，OA=OC, OB=ODVBF=DE OE=OF二四邊形AECF為平行四邊形4. 如果一塊木板兩邊是線段，把兩把曲尺的一邊緊靠木板邊緣，再看木板另一邊緣對曲尺另一邊上的刻 度是否相等，就可以判斷木板的兩個邊緣是否平行，這是

5、為什么？分析：這是一道生活實踐題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解決和分析一些生活實踐問題，此題就是運(yùn)用平行四邊形的 識別方法來判斷兩邊是否平行.解：如果曲尺的刻度相等，則木板的兩個邊緣就平行，因為，兩把曲尺與木板的兩個邊緣構(gòu)成一個四邊形, 當(dāng)曲尺的刻度相等，則四邊形中就有一組對邊平行且相等，所以四邊形為平行四邊形，則木板的兩邊緣平 行.如果曲尺的刻度不相等，則木板的兩個邊緣就不平行，因為曲尺與木板邊緣構(gòu)成的四邊形不是平行四邊形.5. 已知如圖12-1-4所示，口ABCD中，AB的延長線上取一點E,使BE=AB,在CE上取一點M使CM =CD,連結(jié)DM并延長交AE的延長線于點F求證:BD=BF圖 12-1-4

6、分析：由于BD, 8卩是厶BDF的兩邊，所以要證BD = BF,可由證ABDF中ZBDF=ZF入手，易知ZF =ZCDM=ZCMD= ZEMF,故只要證BDCE,由此由證法一又注意到BF=BE+EF,易知BE = AB = CD=CM, EF=EM,故BF=CE,從而只要證BD=CE,由此有證法二.證法（一）：四邊形ABCD為平行四邊形.ABTTcD又TE點在AB延長線上，且BE=AB AABTFcD四邊形 BECD 是平行四形BDCE Z. ZBDF=ZEMFI ZEMF= ZCMD ZBDF= ZCMD又 VCM=CD ZCMD=ZCDM :. ZBDF=ZCDMAFCD AZCDM =

7、ZF Z.BDF=ZF即 BD = BF證法（二）：四邊形ABCD為平行四邊形/.ABTTcD又TE點在AB延長線上且BE=AB ABETTcD四邊形BECD是平行四邊形BD=CE, BE=CD又 T ZEMF=ZCMD, CD=CM ZCMD=ZCDMA ZEMF=ZCDM VBE/7CD .ZF=ZEMF AEF=EM.-.BF=BE+EF=CD+EM=CM+EM=CE=BD即 BF=BD習(xí)題精選一、填空題1. 過6BCD的頂點A、C分別作對角線BD的垂直線，垂足為E、F,貝9四邊形AECF是.2. 延長厶佔。的中線AD到E,使DE=AD則四邊形ABEC是四邊形.3. 在四邊形ABCD中Z

8、A=50°欲使四邊形為平行四邊形，則ZB二, ZC=, ZD4. 在四邊形中，任意相鄰兩個內(nèi)角互補(bǔ)，則這個四邊形是四邊形.5. 如圖12-1-29,在6BCD中，E、F為AB、CD的中點，連結(jié)DE、EF、BF則圖中共有個平行四邊形.6.在6BCD中連結(jié)BD作AE丄BD, CF丄BD,垂足分別為E、F,連結(jié)CE、AF,點P、Q在 線段 BDjt,且 BP=DQ,連結(jié) AP、CP、AQ、CQ, MN 分別交 AB、CD 于 M、N 連結(jié) AM、CM、NA、 NC,那么圖中平行四邊形（除6BCD外）有個，它們是.二、判斷題1. 平行四邊形的對邊分別相等（）2. 平行四邊形的對角線相等（）3

9、. 平行四邊形的鄰角互補(bǔ)（）5. 平行四邊形的對角線互相平分一組對角（）6. 對角線平分平行四邊形的四個三角形的面積相等（三、選擇題1. 能判斷四邊形是平行四邊形的條件是（）A. 一組對邊平行,B. 一組對邊平行,C. 一組對邊平行,D. 一組對邊相等,另一組對邊相等一組對角相等一組鄰角互補(bǔ)一組鄰角相等2. 能確定平行四邊形的大小和形狀的條件是（）A. 已知平行四邊形的兩鄰邊B. 已知平行四邊形的兩鄰角C. 已知平形四邊形的兩對角線D. 已知平行四邊形的兩邊及夾角3.平行四邊形一邊為32,則它的兩條對角線長不可能為A. 20 和1840 和 50( )B.D.直線EF過0點且平行于BC,B.兩

10、條對角線互相C. 60 和3032 和 504. 如圖12-1-30所示，已知OkBCD的對角線的交點是0, 直線GH過0且平行AB,則圖中有（）個平行四邊形.A- 5個B. 6個C7個D10個5. 能判定四邊形為平行四邊形的是（）A. 一組對角相等垂直D. 一C.兩條對角線互相平分 對鄰角互補(bǔ)6. 以下結(jié)論正確的是（）A. 對角線相等，且一組對角也相等的四邊形是平行四邊形.B. 一邊長為5,兩條對角線分別是4和6的四邊形是平行四邊形.C. 一組對邊平行，且一組對角相等的四邊形是平行四邊形.D. 對角線相等的四邊形是平行四邊形.7. 在OkBCD中，點E、F分別在邊BC、AD上，如果點E, F

11、分別由下列各種情況得到的,那么四邊形AECF不一定是平行四邊形的是（）A. AE、CF 分別平分ZDABx ZBCDB. AE, CF 使ZBEA=ZCFDC. E、F分別是BC、AD的中點32D. BE=5BC, AF= 5 AD8. 6BCD對角線交點為0, A0BC的周長為59cm,且AD=28cm，兩對角線之差為14cm,則對角線長為（）A. 12cm 和9cmB. 24cm 和 38cmC. 8. 5cm 和22. 5cmD. 15. 5cm 和 29. 5cm四、解答題1.如圖12-1-31所示,在HABCD中，AE平分ZBAD, CF平分ZBCD,四邊形AECF是平 行四邊形嗎？

12、09 12 -1 -312.如圖12-1-32所示，四邊形ABCD中ZB=ZD, Z1 = Z2,則四邊形ABCD是平行四邊 形嗎？為什么？912-1 -323.如圖12-1-33所示，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點0, E、F分別是0D、0B 上一點，若ZECD=ZFAB, EC=AF,則四邊形AECF是平行四邊形嗎？為什么？4.如圖12-1-34所示, ABCD是平行四邊形.四邊形ABCD中AB二CD, ZDBC = 90° , FD±AD于D,求證四邊形5如圖12-1-35所示,A ABC中DE在BC邊上，、M在AB、AC±,且E與DM互相平 分，

13、MDAB, NE/AC 求證：BD=DE=CE圖 12-1 -35五、證明題1.已知：如圖12-1-18,在DABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，且BE二DF.求證：(1) AE=CF(2) AE/CF2-已知：如圖12-1-19, 且 DE=BF,求證 AE=CF四邊形ABCD為平行四邊形，E、F是直線BD延長線上的兩點,參考答案一、填空題1. 平行四邊形點撥：由一組對邊平行且相等，即可判斷2. 平行四邊形3. 130° , 50° , 130°4. 平行四邊形點撥：由題意可得兩組對邊分別平行5. 4 個 點撥： 6BCD, 口DFE, DEFCB, ZjE

14、DFB6. 3 個口AECF, 口APCQ,二、判斷題1. V2. X點撥：對角線不一定相等，但互相平分3. V4. J5. X點撥：對角線不平分一組對角，只是自己互相平分 6. J三、選擇題1. B 2. D 3. A 4. D 5. C 6. C 7. B 8. B四、解答題1. 解：四邊形AECF是平行四邊形點撥：由6BCD 知ZBCD=ZBAD, 乂 AE 平分ZBAD, CF 平分ZBCD,故ZEAF=ZECF, 乂ZAFEC,故ZAEC+ZEAF=18O° ,即ZAEC+ZECF=180° ,所以 AECF,故四邊形 AECF 是平行四邊形.2. 解：四邊形AB

15、CD是平行四邊形由Z1 = Z2 得 DCAB,所以ZD+ZDAB=180° , 乂ZB=ZD,所以ZDAB+ZB = 180° , 所以ADBC,即四邊形ABCD為平行四邊形.3. 解：是平行四邊形點撥：AB/CD,故 ZACD=ZCAB, 乂 ZECD=ZFAB,故 ZACD-ZECD= ZCAB-ZFAB,即 ZACE=ZCAF,所以CE二AF, CE=AF,故AFCE是平行四邊形.4. 證明：TBD丄ADZBDA二90°V ZDBC = 90° , DC=AB, DB=DBAAADBACBD AAD=BC四邊形ABCD是平行四邊形5證明:VNE, MD互相平分四邊形MNDE為平行四邊形MNDE乂 J MD AB, NE AC四邊形 MNBD、T MN=BD, MN=CEBD二DE=CE五、證明題1-證明：四邊形ABCD為平行四邊形z.abILdc A ZABE= ZCDF在ZXABE 和 ZkCDF 中AB=D