1、條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式 事件的相互獨(dú)立性事件的相互獨(dú)立性 重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn) 二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式2.1 2.1 條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式 2.1.1 2.1.1 條件概率條件概率例例1 1 在所有的兩位數(shù)10到99中任取一個(gè)數(shù)。(1) 求此數(shù)能被4整除的概率.(2) 求此數(shù)為偶數(shù)的概率.(3) 若已知此數(shù)為偶數(shù)，求此數(shù)能被4整除的概率.解解 設(shè)A=此兩位數(shù)能被4整除，B=此兩位數(shù)為偶數(shù)， 樣本空間=10,11,12,98,99 共90個(gè)樣本點(diǎn)(1) A=12,16,92,96 共22個(gè)樣本點(diǎn)，P(A)=22/9

2、0=11/45(2) B=10,12,14,16,96,98共45個(gè)樣本點(diǎn), P(B)=45/90=1/2(3) 若已知此數(shù)為偶數(shù), 樣本空間=B=B，其樣本點(diǎn)總數(shù)為45個(gè)；且能夠被4整除的兩位數(shù)樣本空間=A=A,其樣本點(diǎn)總數(shù)為22個(gè)。 故AB=12,16,96=AB，共22個(gè)樣本點(diǎn)。 在已知B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率p=22/45 叫做“條件概率”, 寫成：P(A|B)=22/45 事件A的概率：已知事件B發(fā)生的條件下，事件A的概率：vvAAPA樣本點(diǎn)數(shù)樣本點(diǎn)數(shù))()()(BPABPvvvvBABBABvBvABBAP樣本點(diǎn)數(shù)樣本點(diǎn)數(shù))|(定義定義1 1 對事件A、 B，若P(B)0，

3、則稱為事件A在條件B(發(fā)生)下的條件概率。相對地，有時(shí)就把概率P(A)，P(B) 等稱作無條件概率. P(AB)P(A|B)P(B)vvAAPA樣本點(diǎn)數(shù)樣本點(diǎn)數(shù))(BABvBvABBAP樣本點(diǎn)數(shù)樣本點(diǎn)數(shù))|(方法1： 用原樣本空間計(jì)算條件概率方法2：用新樣本空間B計(jì)算條件概率說明： 條件概率也是概率 條件概率滿足概率性質(zhì)：利用條件概率的定義，推出P(AB)與P(A) 的大小關(guān)系。ABP(A B)P(A)P(AB)P(A)ABAP(A B)P(A)P(B)P(B)BAP(A B)P(A)P(AB)P(B)ABBP(A B)1P(A)P(B)P(B) AB0P(A B)P(A)P(AB)P()P(

4、A)P(A B)0P(B)P(B) 若條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)1、非負(fù)性、非負(fù)性 對任一事件B，必有P(B|A) 02、規(guī)范性、規(guī)范性 3、可加性、可加性1)()(1)(AAPAPABPBA特別地，則若1121)()(,kkkknABPABPBBB則件，為一列兩兩互不相容事，若常用P(B A)1P(B A)一個(gè)家庭中有二個(gè)小孩，已知其中有一個(gè)是女孩，問這時(shí)另一個(gè)小孩也是女孩的概率為多大（假定一個(gè)小孩是男還是女是等可能的）？解解 樣本空間=(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女) A=已知有一個(gè)是女孩=(男,女)，(女,男)，(女,女) B=另一個(gè)也是女孩=(女，女)則314/34/1

5、)()()(APABPABP例例3 3 設(shè)已知某種動(dòng)物自出生能活過20歲的概率是0.8,能活過25歲的概率是0.4, 問現(xiàn)齡20歲的該種動(dòng)物能活過25歲的概率是多少？解解 設(shè) A=該種動(dòng)物能活過20歲 B=該種動(dòng)物能活過25歲 顯然有： P(A)=0.8，P(B)=0.4 BA ， AB=BP(AB)P(B)0.4P(B|A)0.5P(A)P(A)0.8例例4 4 盒子中有4只壞晶體管和6只好晶體管，任取兩只，第1次取出的不放回。若已經(jīng)發(fā)現(xiàn)第1只是好的，求第2只也是好的的概率。解法解法1 1 設(shè)Ai=第i只是好的，i=1,211691210261221012211C C6 93P(A )P10

6、 95P6 51P(A A )P10 93P(A A )5P(A |A )P(A )9解法解法2 2 在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)第1只是好的情況下，再取出第2只晶體管，樣本空間變成只有9個(gè)樣本點(diǎn)（9種可能結(jié)果）。 此時(shí)取出一只是好的樣本點(diǎn)有5個(gè)這種方法是改變樣本空間，用一般的P=r/n計(jì)算。215P(A |A )92.1.2 2.1.2 乘法公式乘法公式 定理定理1 1 若P(A)0，則有 P(AB) = P(A)P(B|A) 若P(B)0，則有 P(AB) = P(B)P(A|B)此公式稱為乘法定理。定理定理2 2 設(shè)A1, A2, , An為n個(gè)任意事件，且滿足 P(A1A2An-1)0, 則有 P(A1

7、A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)上式表明，可通過一系列的條件概率的乘積來計(jì)算事件積的概率。證明：當(dāng)P(A1A2An-1)0時(shí)，由于A1A1A2A1A2An-1, 則有P(A1)P(A1A2)P(A1A2An-1)0由條件概率的定義，得 順便指出，當(dāng)P(A1A2An-1)=0時(shí)，可知 P(A1A2An)=0 121312n12n 11231212n 1n111212n 112n 1n P(A )P(A |A )P(A |A A )P(A |A AA)P(A A A )P(A A )P(A AAA )P(A )P(A )P(A A )P(A A

8、A)P(A AAA )一批產(chǎn)品的次品率為，正品中一等品率為75，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意取一件，試求恰好取到一等品的概率。 解解72. 075. 096. 0)()()()(75. 0)(,96. 0)(,04. 0)(BAPBPBAPAPBAABABAPBPBPBBA故則取到正品取到次品，取到一等品 例例6 6 設(shè)有10個(gè)球，7新3舊，分別放在三個(gè)盒子中。表示新球，表示舊球?，F(xiàn)從中任取一球，問此球?yàn)樾碌母怕?。解?新=甲且新乙且新丙且新 P(新)=P(甲且新)+P(乙且新)+P(丙且新) =P(甲)P(新|甲)+P(乙)P(新|乙)+P(丙)P(新|丙) =1213121334333318例例7

9、7 為安全起見，工廠同時(shí)裝有兩套報(bào)警系統(tǒng)1,2。已知每套系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)能正確報(bào)警的概率分別為0.92和0.93，又已知第一套系統(tǒng)失靈時(shí)第二套系統(tǒng)仍能正常工作的概率為0.85, 試求該工廠在同時(shí)啟用兩套報(bào)警系統(tǒng)時(shí)，能正確報(bào)警的概率是多少？解解 A=工廠同時(shí)啟用兩套報(bào)警系統(tǒng)時(shí),能正確報(bào)警 =報(bào)警系統(tǒng)1，2中至少有一套能正常工作 Bi=第i套報(bào)警系統(tǒng)能正常工作的事件，i=1,2 則有 A=B1B21122P(B )0.92 P(B )0.93 P(B |B )0.85 則有P(A)=P(B1B2)=P(B1)+P(B2)-P(B1B2) =0.92+0.93-0.862 =0.98811221221

10、221122P(B B )P(B (B )P(BB B )P(B)P(B B )P(B )P(B )P(B |B )0.930.08 0.850.862 對某種產(chǎn)品要依次進(jìn)行三項(xiàng)破壞性試驗(yàn)。已知產(chǎn)品不能通過第一項(xiàng)試驗(yàn)的概率是0.3；通過第一項(xiàng)而通不過第二項(xiàng)試驗(yàn)的概率是0.2；通過了前兩項(xiàng)試驗(yàn)卻不能通過最后一項(xiàng)試驗(yàn)的概率是0.1。求該產(chǎn)品未能通過破壞性試驗(yàn)的概率。解：解：設(shè)A為題設(shè)所求事件，Ai=產(chǎn)品未能通過第i項(xiàng)破壞性試驗(yàn) i=1,2,3 顯然A=A1A2A3123121312P(A) 1 P(A) 1 P(AA A )1 P(A )P(A A )P(A AA )1 0.7 0.8 0.90.

11、496 故 121312121312P(A )0.3P(A A )0.2P(A A A )0.1P(A )0.7P(A A )0.8P(A A A )0.9例例9 一批零件共100個(gè)，次品率為1。每次從其中任取一個(gè)零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。解解9890)(999)(10010)()(. 3 , 2 , 1213121321AAAPAAPAPAAAPiiAi顯然則所求概率為，次取出的零件是次品第設(shè)123121312P A A AP AP A AP A A A109900.00841009998 一個(gè)人依次進(jìn)行四次考試，他第一次考試及格的概率為p(0p0(i=1,2,

12、n) 條件哪里用到？ ）沒有此條件行嗎？kk 1kkkkk 1k 1k 1P(A)P(A)P(AB )P(AB )P(AB )P(B )P(A | B ) kk 1B 例例1111 袋中有大小相同的a個(gè)黃球、b個(gè)白球。現(xiàn)做不放回 地摸球兩次，問第2次摸得黃球的概率？解解 第2次摸球是在第1次摸球后進(jìn)行的，但第1次摸球只有 以下兩種可能的結(jié)果： B1=第1次摸得黃球 B2=第1次摸得白球 現(xiàn)有B1B2=，B1+B2=。 設(shè)A=第2次摸得黃球 P(A)=P(AB1)+P(AB2)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) =aa1baaab ab 1ab ab 1ab例例1212(抽簽問

13、題抽簽問題) 6人分2張球票，抽簽決定。問第1人抽得球票的概率與第2人抽得球票的概率是否相等？解解 設(shè)A=第1人得票，B=第2人得票 P(A)=2/6=1/3 第2人得票與第1人得票有關(guān)聯(lián)， 且A+=， 用全概率公式： P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B| ) =可見，兩人得票的概率相等。3152325131例例1313 某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量15，20%，30和35，又知這四條流水線的產(chǎn)品不合格率依次為0.05，0.04，0.03及0.02?，F(xiàn)從該工廠的這一產(chǎn)品中任取一件，問取到不合格品的概率是多少？解解 設(shè)A=任取一件產(chǎn)品，結(jié)果是不合格

14、品 Bk=任取一件產(chǎn)品，結(jié)果是第k條流水線的產(chǎn)品 k=1,2,3,4 P(B1)=0.15 P(B2)=0.20 P(B3)=0.30 P(B4)=0.35 P(A|B1)=0.05 P(A|B2)=0.04 P(A|B3)=0.03 P(A|B4)=0.02由于B1,B2,B3,B4互斥，B1+B2+B3+B4= 可用全概率公式,有P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)+P(B4)P(A|B4) =0.150.05+0.20.04+0.30.03+0.350.02 =0.0315 一商店出售的某型號(hào)的晶體管是甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的，其中乙廠產(chǎn)

15、品占總數(shù)的，另兩家工廠的產(chǎn)品各占。已知甲、乙、丙各廠產(chǎn)品合格率分別為0.9、0.8、0.7，試求隨意取出一只晶體管是合格品的概率（此貨合格率）。設(shè)A1=晶體管產(chǎn)自甲廠，A2=晶體管產(chǎn)自乙廠， A=晶體管產(chǎn)自丙廠，B=晶體管是合格品。則 P(A1)=P(A3)=0.25 P(A2)=0.5 由全概率公式得：90. 01ABP80. 02ABP70. 03ABP 80. 070. 025. 080. 050. 090. 025. 0332211ABPAPABPAPABPAPBP 設(shè)甲袋中有m-1只白球和1只黑球，乙袋中有m只白球，每次從甲、乙兩袋中分別取出一只球，經(jīng)交換后放回袋中，求經(jīng)n次交換后，

16、黑球在甲袋中的概率，并討論 n時(shí)的情形。 設(shè)經(jīng) k次交換后，黑球在甲袋的概率為pk 。 經(jīng)過k-1次交換后，黑球在甲袋中，再交換一次，黑球仍在甲袋的概率為 。 當(dāng)經(jīng)k-1次交換后，黑球不在甲袋中，再交換一次，黑球在甲袋的概率為 。mm 1m1于是，由全概率公式得kk 1k 1m11pp(1p)mmk 1m21pmm1m 1pm而 nn 1m21ppmmmmmpmmn2112222011212niinmmmpmmnnmmp212121npn時(shí)，當(dāng) 連續(xù)做某項(xiàng)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)只有成功和失敗兩種結(jié)果.已知當(dāng)?shù)趉次成功時(shí)，第k+1次成功的概率為1/2 ，當(dāng)?shù)趉次試驗(yàn)失敗時(shí)，第k+1次成功的概率為3/4，

17、如果第一次試驗(yàn)成功和失敗的概率均為1/2，求第n次試驗(yàn)成功的概率。次試驗(yàn)成功第設(shè)kAkkkP(A )p ,k1,2,kk 1kk 1k 1kk 1P(A )P(A)P(A |A)P(A)P(A |A)k 1k 113P(A)P(A)24k 1k 113P(A)1 P(A)24)2(41431kppkk即k 1kkk 11pp(pp)4 n12132nn 1pp(pp )(pp )(pp)(4114111211pppnnnn3( 1)1p51041即2.2.2 2.2.2 貝葉斯公式貝葉斯公式定理定理4 4 設(shè)B1,B2,為一系列（有限或無限個(gè)）兩兩互不相容的事件，且則對任一具有正概率的事件A，

18、有kk 1k(1)B (2)P(B )0 k1,2,3, kkkjjj 1P(B )P(A|B )P(B |A) (k1,2,3,)P(B )P(A|B )證明：該定理可以推廣到可列多個(gè)的情況。貝葉斯公式的意義：當(dāng)不知道某信息（事件A）時(shí)，我們對各事件B1, B2, 發(fā)生的可能性大小的認(rèn)識(shí)為：P(B1), P(B2), .當(dāng)知道某信息（事件A）已經(jīng)發(fā)生時(shí)，我們對各事件B1, B2, 發(fā)生的可能性大小的要重新認(rèn)識(shí)： P(B1|A), P(B2|A), .kkkkjjj 1P(AB )P(B )P(A|B )P(B |A) (k1,2,3,)P(A)P(B )P(A|B )用乘法公式用全概率公式例

19、例1717 (市場問題)某公司計(jì)劃將一種無污染副作用的凈化設(shè)備投放市場。公司市場部事先估計(jì)該產(chǎn)品暢銷的概率是0.5，一般為0.3，滯銷為0.2。為測試銷路，決定先進(jìn)行試銷，并設(shè)定了以下的標(biāo)準(zhǔn)：若產(chǎn)品暢銷，則在試銷期內(nèi)賣出7000到10000臺(tái)產(chǎn)品的概率是0.6；若產(chǎn)品的銷路一般，則在產(chǎn)品的試銷期內(nèi)賣出7000到10000臺(tái)產(chǎn)品的概率是0.9；若產(chǎn)品滯銷，則在試銷期間能賣出7000到10000臺(tái)產(chǎn)品的概率是0.2。 若在試銷期滿后，實(shí)際賣出產(chǎn)品是9000臺(tái)。問該產(chǎn)品(1)“銷路為一般”；(2)“暢銷”；(3)“暢銷或銷路一般”的概率各是多少？解法解法1 1 A1=該產(chǎn)品是暢銷品 P(A1)=0.

20、5 A2=該產(chǎn)品的銷路一般 P(A2)=0.3 A3=該產(chǎn)品是滯銷品 P(A3)=0.2 B=試銷期內(nèi)能賣出該產(chǎn)品7000到10000臺(tái)于是，市場部前期工作成果可表成： P(A1)=0.5 P(A2)0.3 P(A3)=0.2 P(B|A1)=0.6， P(B|A2)=0.9， P(B|A3)=0.2現(xiàn)事件B發(fā)生，用貝葉斯公式可算得所要的概率：22221122331111P(A B)(1) P(A |B) P(B)P(A )P(B|A ) P(A )P(B|A )P(A )P(B|A )P(A )P(B|A )0.3 0.90.27 0.440.5 0.60.3 0.90.2 0.20.61P

21、(A B)P(A )P(B|A )(2) P(A |B) P(B)33330.5 0.60.49P(B)0.61P(A )P(B|A )0.2 0.2(3) P(A |B)1 P(A |B)110.93P(B)0.61 1212(3)P(AA B)P(A B)P(A B)0.490.440.93解法解法2 兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為0.05，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為0.02，加工的零件混放在一起，若第一臺(tái)車床與第二臺(tái)車床加工的零件數(shù)為5:4。求()任意地從這些零件中取出一個(gè)合格品的概率； ()若已知取出的一個(gè)零件為合格品，那么，它由 哪一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的可能性較大。是第一車床加工

22、的零件設(shè)1A是第二車床加工的零件A是合格品B951AP942AP95. 0|1ABP98. 0|2ABP 1122P BP AP B AP AP B A548670.950.9899900 111P AP B A5900475P A B0.95P B9867867 222P AP B A4900392P A B0.98P B9867867 （）因此，第一臺(tái)可能性較大。 （1） 某實(shí)驗(yàn)室在器皿中繁殖成k個(gè)細(xì)菌的概率為并設(shè)所繁殖的每個(gè)細(xì)菌為甲類菌或乙類菌的概率相等，求下列事件的概率：(1) 器皿中所繁殖的全部是甲類菌的概率。(2) 已知所繁殖的全部是甲類菌，求細(xì)菌個(gè)數(shù)為2的概率。(3) 求所繁殖的

23、細(xì)菌中有i個(gè)甲類菌的概率。 A=繁殖的細(xì)菌全是甲類菌， Bk=繁殖了k個(gè)細(xì)菌， k=1,2, Ai=所繁殖的細(xì)菌中有i個(gè)甲類菌， i=1,2, kkpe,0,k0,1,2,k! （1 1）由全概率公式有kkk 1P(A)P(B )P(A|B )kkk 11ek!2k2ek!k 112ee1222P(B )P(A|B )P(B |A)P(A)（2 2）22121e2!2e(e1)2128(e1)（3 3） 由題意kkP(B )ek!ik ikiiikkk111P(A |B )CC222 根據(jù)全概率公式ikikk iP(A )P(B )P(A |B )kkikk i1e Ck!2kk i1ei!(

24、ki)! 2ik ik i11ei! 2(ki)! 2i21ei! 2, 2 , 1 , 0i 例例2020(貝葉斯決策）假定具有癥狀S的疾病有d1,d2,d3三種現(xiàn)從20000份患有疾病d1,d2,d3的病史卡中，統(tǒng)計(jì)得到下列數(shù)據(jù)：求當(dāng)一個(gè)具有癥狀S的病人來就診時(shí)，他患有疾病d1，d2，d3的可能性各有多大？解解 設(shè)A=患者出現(xiàn)癥狀S Di=患者患有疾病di，i=1，2，3 每觀察一張病卡可看成是作了一次試驗(yàn)，由于統(tǒng)計(jì)的病卡很多，這樣以頻率來近似代替概率是可行的由統(tǒng)計(jì)數(shù)字，得 123123775052507000P(D ) P(D ) P(D )20000200002000075004200

25、3500P(A|D ) P(A|D ) P(A|D )775052507000由貝葉斯決策公式，得 當(dāng)一個(gè)具有癥狀S的病人來就診時(shí)，他患有疾病d1的可能性最大，概率為0.4934。111112233222112233333112233P(D )P(A|D )P(D |A)P(D )P(A|D )P(D )P(A|D )P(D )P(A|D )0.37500.49340.76P(D )P(A|D )P(D |A)0.2763P(D )P(A|D )P(D )P(A|D )P(D )P(A|D )P(D )P(A|D )P(D |A)P(D )P(A|D )P(D )P(A|D )P(D )P(A

26、|D )0.23032.3 2.3 事件的相互獨(dú)立性事件的相互獨(dú)立性定義定義2 2: 若兩事件A, B，滿足 P(AB)=P(A)P(B)則稱A,B（或B,A）相互獨(dú)立，簡稱獨(dú)立。若P(A)0,則事件A與B獨(dú)立的充分必要條件是 P(B|A)=P(B) 若P(B)0,則事件A與B獨(dú)立的充分必要條件是 P(A|B)=P(A)一般情況：P(A|B)P(A), 說明B的發(fā)生對A發(fā)生的概率 有影響，這就是不獨(dú)立。獨(dú)立：A發(fā)生與否對B的概率無影響?yīng)毩ⅲ築發(fā)生與否對A的概率無影響P(A)0，A與B獨(dú)立 P(B|A)=P(B)P(AB)=P(A)P(B|A) 由A、B獨(dú)立，有 P(AB)=P(A)P(B) P

27、(A)0，P(B|A)=P(B) (2) (2) P(B)0， A與B獨(dú)立 P(A|B)=P(A) P(AB)=P(B)P(A|B) 由A、B獨(dú)立，有 P(AB)=P(A)P(B) P(B)0，P(A|B)=P(A)定理定理5 5 若四對事件 中有一對是相互獨(dú)立的，則另外三對事件也是相互獨(dú)立的。即這四對事件或者都相互獨(dú)立，或者都不相互獨(dú)立。：因?yàn)锳，B事件相互獨(dú)立，即P(AB)=P(A)P(B) 。 所以 相互獨(dú)立A, B; A, B; A, B; A, B P ABP AABP AP ABP AP A P BP A1 P BP A P B又A 、B BPAPBAPBA相互獨(dú)立，、 P ABP

28、 BABP BP ABP BP AABP BP AP ABP BP AP A P BP BP A1 P BP BP A P BP B 1 P AP B P A又 相互獨(dú)立。、所以BA BPAPBAPBA相互獨(dú)立，、 P ABP AABP AP ABP AP A P BP A1 P BP A P B又相互獨(dú)立。、所以BA BPAPBAPBA相互獨(dú)立，、 P ABP AABP AP ABP AP BAB又 APBPBPAPBPAPAPAPBPAPBPAPBPAPBAPBPAP11所以，A、B事件相互獨(dú)立。 由事件的獨(dú)立性定義可得： 即使在 P(A)=0 或P(B)=0時(shí)，事件的獨(dú)立性定義仍 適用。

29、 與任何事件A是獨(dú)立的。P(A)=P()P(A)=P(A) 與任何事件A是獨(dú)立的。P(A)=P()P(A)=P() A與B獨(dú)立并不是說A,B互不相容（即不是AB=）； A與B獨(dú)立的含義是：P(A|B)=P(A), P(B|A)=P(B)ABABABBB或 甲、乙同時(shí)向一敵機(jī)炮擊，已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.6，乙擊中敵機(jī)的概率為0.5，求敵機(jī)被擊中的概率。 記。敵機(jī)被擊中，乙擊中敵機(jī)，甲擊中敵機(jī) P CP ABP AP BP ABP AP BP A P B0.60.50.60.50.8 事件的獨(dú)立性概念可以推廣到有限個(gè)事件的情形。定義定義3 3 設(shè)A1, A2, , An是n個(gè)事件，若對所有可能

30、的組合1ijkR1, 說明系統(tǒng)II的可靠性大于系統(tǒng)I的可靠性。 R2-R1=rn(2-r)n-2+rn 令f(r)=(2-r)n-2+rn , 得f(1)=0 -n(2-r)n-1+nrn-1=nrn-1-(2-r)n-1 當(dāng)0r1時(shí)， ,即f(r)是單調(diào)減函數(shù)，因此，當(dāng)0rf(1)0，所以有R2-R10。iiiiiii2iiP(C )P(AB )1 P(AB )1 P(A B ) 1 P(A )P(B )1 (1 r)r(2r) 212n12nnnRP(C CC )P(C )P(C )P(C ) r (2r)f (r)f (r)0例例2424 某工人看管甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)床。在1小時(shí)內(nèi)這3臺(tái)機(jī)

31、床需要照管的概率分別為0.2，0.1，0.4,各臺(tái)機(jī)床需要照管是相互獨(dú)立的，且當(dāng)一臺(tái)機(jī)床需要照管時(shí)，時(shí)間不會(huì)超過1小時(shí)試求在1小時(shí)內(nèi)，機(jī)床因得不到需要的照管而被迫停機(jī)的概率？解法解法1 1 設(shè)用A,B,C分別表示“在1小時(shí)內(nèi)甲、乙、丙機(jī)床需要照管”的事件。則已知 P(A)0.2，P(B)0.1，P(C)0.4 且A,B,C獨(dú)立。 設(shè)D=機(jī)床在1小時(shí)內(nèi)因得不到需要的照管而停機(jī) =在1小時(shí)內(nèi)發(fā)生了至少有兩臺(tái)機(jī)床需要照管 =ABACBCP(D)=P(ABACBC) =P(AB)+P(AC)+P(BC)-P(ABAC)-P(ABBC)-P(ACBC) +P(ABACBC) =P(AB)+P(AC)+P

32、(BC)-P(ABC)-P(ABC)-P(ABC) +P(ABC) =P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC) =P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)-2P(A)P(B)P(C) =0.20.1+0.20.4+0.10.4-20.20.10.4 =0.124解法解法2 2D = 至多只有 1 臺(tái)機(jī)需要照管 P(D ) = P(AB C) + P(A BC) + P(ABC) + P(A B C) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) = 0.876P(D) = 1 - P(D) =

33、1 - 0.876 = 0.124 2.4 2.4 重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn) 二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式n n重獨(dú)立試驗(yàn)重獨(dú)立試驗(yàn) 做n個(gè)試驗(yàn)，它們是完全同樣的一個(gè)試驗(yàn)做n次重復(fù)，而且這些重復(fù)試驗(yàn)具備兩個(gè)條件： 每次試驗(yàn)條件都相同，因此各次試驗(yàn)中同一個(gè)事件(A)的出現(xiàn)概率相等； 各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立；滿足這兩個(gè)條件的n次重復(fù)試驗(yàn)，稱為n重獨(dú)立試驗(yàn)。 n n重伯努利重伯努利( ( Bernoulli )Bernoulli )試驗(yàn)試驗(yàn) 如果每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩種，即只有兩個(gè)可能事件A與，且 P(A)=p，P()=1-p=q則這n重獨(dú)立試驗(yàn)又稱為n重伯努利( Bernoulli )試驗(yàn)，或稱伯努利

34、概型。 試驗(yàn)試驗(yàn)11電腦故障電腦故障 某電腦公司售出200臺(tái)電腦，公司在考慮售后服務(wù)維修人員的安排時(shí)需處理P(A)=p，n=200的伯努利試驗(yàn)問題。其中p是電腦故障率。試驗(yàn)試驗(yàn)22疾病發(fā)生疾病發(fā)生 某疾病的發(fā)生率為0.001。當(dāng)衛(wèi)生部門要對一個(gè)擁有5000名員工的單位估計(jì)此種疾病的發(fā)病情況時(shí)，需用p= 0.001的n重伯努利試驗(yàn)?zāi)Ｐ停渲衝=5000。試驗(yàn)試驗(yàn)3產(chǎn)品抽樣產(chǎn)品抽樣 在產(chǎn)品抽驗(yàn)中，如果采用不放回方式抽取n次(每次取一件產(chǎn)品)，那么這n次試驗(yàn)就不是重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)(此時(shí)，每次試驗(yàn)條件不完全重復(fù)，每次抽取正品的概率也不相等)。 但是，如果采用放回抽樣，即每次抽取檢查后放回，這樣所作的n次試

35、驗(yàn)就是重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。 在實(shí)際問題中，完全滿足n重獨(dú)立試驗(yàn)的兩個(gè)條件是不多見的，常常是近似滿足條件，此時(shí)，可用 n重獨(dú)立試驗(yàn)來近似處理。例如，以抽樣問題為例，當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量很大時(shí)，相對來說，抽取的產(chǎn)品件數(shù)n很小，即使所作的是無放回抽取，我們可以近似地當(dāng)作有放回抽取，近似地把它看成是n重獨(dú)立試驗(yàn)（此時(shí)，每次試驗(yàn)出現(xiàn)正品的可能性相等）。例例2 25 5 (打靶問題) 某老練的射手打五發(fā)子彈，中靶概率為0.8，問： (1) 他打中兩發(fā)的概率是多少？ (2) 打中的概率是多少？解解 設(shè)Ai=第i次擊中靶，射手老練，可理解為他每次打中否，彼此不相互影響，為相互獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。(1) P(A1A2345)=P(A

36、1)P(A2)P(3)P(4)P(5) =0.82(1-0.8)3 記P5(2)為打5發(fā)中2發(fā)的概率，則 P5(2)=2235C 0.8 (10.8)(2) “打中”=“5槍中至少打中1槍” P(“打中”)=1-P(“5槍全不中”) =1-P(12345) =1-P(1)P(2)P(3)P(4)P(5) =1-(1-0.8)5 =1-0.25 =0.99968定理定理7 7（二項(xiàng)概率公式）設(shè)一次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率為P(A)=p(0p1)，則在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A恰好出現(xiàn)k次的概率Pn(k)為 證證 設(shè)Ai=第i次試驗(yàn)中出現(xiàn)A，（i=1,2,n). 由于每次伯努利試驗(yàn)的可能結(jié)果為A或，

37、可知當(dāng)n次試驗(yàn)中，事件A在指定的k次試驗(yàn)中出現(xiàn)(或是前k次出現(xiàn))，在其余n-k次試驗(yàn)中不出現(xiàn)的概率為 P(A1A2Akk+1n)，kkn-knnP (k) =C p q (q1 pP(A),k =0,1,2,n) 式中knC 也作b(k,n,p)可表。再由試驗(yàn)結(jié)果的獨(dú)立性得 P(A1A2Akk+1n) =P(A1)P(A2)P(Ak)P(k+1)P(n) =pk(1 - p)n-k =pkqn-k n重貝努利試驗(yàn)中出現(xiàn)k 次的方式就是至n的n個(gè)自然數(shù)中取出 k個(gè)數(shù)的一種組合，即共有 個(gè)事件。而這些事件是兩兩互斥的，故 （k=0,1,2,n) kknknnP (k)C p qknC注：注：1)1

38、)由于上式剛好是二項(xiàng)式(p+q)n的展開式中第k+1項(xiàng) 的系數(shù)，故我們把它稱為二項(xiàng)概率公式。 顯然： 2) 也被記作b(k,n,p) nnnkkn knnk 0k 0PkC p qpq1kkn knC p q 例例2626 某車間有臺(tái)車床，每臺(tái)車床由于種種原因，時(shí)常需要停車，設(shè)各臺(tái)車床的停車或開車是相互獨(dú)立的，若每臺(tái)車床在任意時(shí)刻處于停車狀態(tài)的概率為1/3，求任意時(shí)刻車間里有臺(tái)車床處于停車狀態(tài)的概率。解解 把任一時(shí)刻對一臺(tái)車床的觀察看成是一次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果只有停車或開車兩種可能，且各車床的停車或開車是相互獨(dú)立的，故我們可用二項(xiàng)概率公式計(jì)算，得 212-22121211P2= C1 -0.127

39、233 例例27 27 設(shè)某種藥物對某種疾病的治愈率為0.8，現(xiàn)有10個(gè)患這種疾病的病人同時(shí)服用此藥，求其中至少有6人被治愈的概率。解解 把每個(gè)病人服此藥當(dāng)作一次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果有“治愈”(事件A)和“未治愈”(事件)兩種，而且各病人的“治愈”或“未治愈”是相互獨(dú)立的，故可用伯努利概型計(jì)算這一問題。 P(“10人中至少有6人被治愈”) 97. 0)8 . 01 (8 . 0)(k10(106101010610106kkkkkkCkPP個(gè)人被治愈”）人中恰好有“ 這個(gè)結(jié)果說明：這個(gè)結(jié)果說明： 服用此藥，人中至少有人被治愈的可能性是很大的。 反之，沒有人以上被治愈的事很少會(huì)發(fā)生（概率為 0.03）。

40、 如果我們做一次這樣的試驗(yàn)，結(jié)果沒有人以上被治愈，我們應(yīng)當(dāng)對此藥的“治愈率為 0.8”的說法表示懷疑。 小概率事件不可能在一次試驗(yàn)中發(fā)生的原理是假設(shè)檢驗(yàn)的理論根據(jù)。例例2828 某人從A處出發(fā)去B處，倘若他只知道B處在A處的東北方向上，如圖所示，圖中每條線表示一條道路，當(dāng)他每到一交叉路口時(shí)，對行進(jìn)的路線要作一次選擇，每次都以概率p選擇向東走，以概率1-p選擇向北走，試求經(jīng)過8次選擇可到達(dá)B處的概率。解解 若把在交叉路口選擇一次 行進(jìn)路線看作試驗(yàn)E0, 顯 然，E0有兩個(gè)可能結(jié)果： A(“向東”)和(“向北”)， 并且P(A)=p,P()=1-p。 述試驗(yàn)又相當(dāng)于將E0獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行8次，故為8

41、重伯努利試驗(yàn)。 根據(jù)圖中B處的位置，為了保證經(jīng)過8次行進(jìn)路線的選擇能到達(dá)B處，必須且只須恰好有4次選擇向東走（另4次選擇向北走），因此，所求概率為事件B4的概率，有 444488P(B )= P(4)= C p (1-p)作業(yè)：作業(yè)：P33363、6、12、15、20、22習(xí)題2-16 用X射線檢查肺癌的可靠性有下列數(shù)據(jù)，肺癌患者通過檢查被確診的有98，而未患肺癌者經(jīng)檢查有99%可正確診斷為未患肺癌，誤診率分別為2%及1%。在某人口密集的工業(yè)區(qū)，估計(jì)有3%的人患肺癌，現(xiàn)從該地區(qū)任選1人檢查，試求： (1)若此人被診斷為患肺癌，他確患此病的概率； (2)若此人被診斷為未患肺癌，他實(shí)患此病的概率

42、(3)解釋以上結(jié)論的意義。 解：設(shè)A=此人確實(shí)患肺癌 B=此人被診斷為患肺癌 P(B|A)0.98 P(B|A)0.99 P(A)0.03(1) 若此人被診斷為患肺癌，他確患此病的概率(2) 若此人被診斷為未患肺癌，他實(shí)患此病的概率P(AB)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.03 0.980.75200.03 0.980.97 0.01P(AB)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.03 0.020.00060.03 0.020.97 0.99(3) 解釋以上結(jié)論的意義: 對被查出患有肺癌，確實(shí)患有

43、肺癌的概率是0.7520則實(shí)際未患癌的可能性有近1/4。應(yīng)不要太緊張，可作進(jìn)一步檢查。 對未被診斷為未患肺癌，他實(shí)患此病的概率0.0006,則實(shí)際未患此病的概率是：0.9994 可以相信未患癌癥的檢查結(jié)果。習(xí)題2-22 有三箱同型號(hào)產(chǎn)品，分別裝有合格品20件、12件、17件；不合格產(chǎn)品5件、4件、5件?，F(xiàn)任意打開一箱，并從箱內(nèi)取出一件進(jìn)行檢驗(yàn)。由于檢驗(yàn)誤差，每件合格品被檢驗(yàn)誤定為不合格品的概率是0.04，不合格品被誤定為合格品的概率是0.06。試求下列事件的概率： (1) 取出的這件產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)為合格品； (2) 被檢驗(yàn)定為合格品的產(chǎn)品真是合格品。解：設(shè)Bi=取出產(chǎn)品是第i箱的 i=1, 2,

44、3 P(B1)=1/3 P(B2)=1/3 P(B3)=1/3 設(shè)A=取出的產(chǎn)品被檢驗(yàn)為合格品 C=取出的產(chǎn)品真是合格品 P(C|B1)=20/25 P(C|B2)=12/16 P(C|B3)=17/22 由于每件合格品被檢驗(yàn)誤定為不合格品的概率是0.04，不合格品被誤定為合格品的概率是0.06，則 P(A|C)0.04 P(A|C)0.06112233P(C)P(B )P(C|B )P(B )P(C|B )P(B )P(C|B )120112117 0.77423253 16322(1) 取出的這件產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)為合格品的概率(2) 被檢驗(yàn)定為合格品的產(chǎn)品真是合格品概率 P(AC)P(C)P(A|C)P(C|A)P(A)P(A)0.7742 (1 0.04) 0.98210.7568P(A)P(C)P(A|C)P(C)P(A|C) 0.7742 (1 0.04)0.2258 0.060.7568作業(yè)講解作業(yè)講解4. 解解相互獨(dú)立。與CBABAPCPBPAPBPAPCPCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACPBCACPBCACCBA)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(5. 解解3 . 04 . 02001506 . 0100)()(4 . 0)(6 . 0)()()()(1)(1)()(