《※問題解決策略：特殊化》教學設計課型新授課√復習課口試卷講評課口其他課口教學內容分析本課時是本章最后一節內容，特殊化思想是一種重要的數學思維方式，廣泛運用于各種數學活動中，能夠培養學生的數學邏輯推理能力，開闊學生的視野，發展發散思維，在數學及其他學科的學習中都是十分重要的。學習者分析通過之前的學習，學生已經掌握了數學歸納法，直觀分析等數學思想，為特殊化思想的學習奠定了基礎；七年級的學生好奇心重，求知欲強，具備分析問題的能力，教師通過合適的方法講解有助于他們更好地理解特殊化思想.教學目標1.理解特殊化策略的含義.2.會用特殊化策略解決實際問題.教學重點理解特殊化策略的含義.教學難點會用特殊化策略解決實際問題.學習活動設計教師活動學生活動環節一：新知導入教師活動1：按一定規律排列的一列數:3，32，3-1，33，3-4，37，3-11，318，…，若a，b，c表示這列數中的連續三個數，猜想a，b，c滿足的關系式是a=bc.學生活動1：學生動腦思考，積極舉手回答.活動意圖說明：通過設置問題，激發學生的學習興趣，提高課堂活躍性，進而進入新課的學習。環節二：特殊化策略教師活動2：特殊化策略：面對一般性的問題時，可以先考慮特殊情形，借助特殊情形下獲得的結論或方法解決一般性的問題，這就是特殊化策略。特殊情形下，問題變得具體、簡單、易于解決;同時，它與一般性問題關系密切，特殊問題的解決經驗有可能推廣到一般性問題的解決中。因此，從特殊情形出發，有助于我們發現解決問題的思路。問題：如圖，有兩個邊長為1的正方形，其中正方形EFGH的頂點E與正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH繞點E旋轉的過程中，兩個正方形重疊部分的面積是多少?理解問題：(1)在旋轉過程中，兩個正方形的重疊部分會呈現出哪些情形?(2)對于這些不同情形，如何求兩個正方形重疊部分的面積?你遇到的困難是什么?前兩種情況直接計算重疊部分的面積即可；第三種情況需要轉化成前兩種情況之后，再求面積。困難是如何將第三種情況轉化成前兩種情況。擬定計劃：(1)哪些特殊情形下，兩個正方形重疊部分的面積容易求出?(2)其他情形能轉化為容易求解的特殊情形嗎?（1）前兩種情況，兩個正方形重疊部分的面積容易求出。（2）其他情形也可以轉化為容易求解的特殊情形。實施計劃：寫出你的解決方案，并說明道理。小明的思考過程如下。(1)先考慮特殊情形。如圖，這兩種情形下，重疊部分的面積容易求出，都是14(2)將一般情形轉化為特殊情形。如圖，連接EB，EC，兩個正方形重疊部分的面積記作S重疊，則S重疊=S△BEC+S△CEN-S△BEM。可以發現，△BEM≌△CEN，這時，左圖的情形就轉化為右圖的情形，S重疊=S△BEC=14。因此，一般情形下，重疊部分的面積也是1回顧反思：(1)回顧本題的解決過程，你有哪些感悟?(2)具有什么特點的問題，可以從特殊情形入手?如何尋找特殊情形?與同伴進行交流。（1）在解決困難問題時，要先想都有什么情況，特殊情況下是否容易計算，之后再將一般情況轉化成特殊情況進行求解。（2）涉及一般原理、公式或定理的問題，通常可以從特殊情形入手。1.賦特殊值:對于某些有關一般值都成立的問題，有時可以避免考慮一般值，而直接利用特殊值去求解問題.2.由特殊化得出一般化結論:若問題的一般結論為真，則它在特殊時的結論也為真，所以我們在解題時，可先考察其特殊情形的結論.3.以特殊情形為起點，進而發現一般問題的解法:有些問題，情景比較復雜，造成計算量大，或要考慮的情況較多，此時可退到特殊，簡單的情況，它們的特殊簡單情形的求解中的關鍵性步驟，再回到原問題中求解.4.利用特殊化，奠定解題基礎:某些數學問題的解決，可以依賴于某種特殊情形，于是特殊情形的解決，是進一步求解一般情形的很恰當的基礎.5.特殊化探求某些問題的結論，尋求解題突破口:可以先取問題的特殊情形探究問題的特殊情形，探求“定值”的表達形式，這樣就使求解目標明確，容易使問題獲解.6.用特殊化，引起特殊聯想:在解題過程中，有時要把注意力傾注在對象的某些特殊方面，由特殊結構引起特殊聯想，從而找到解題途徑.學生活動2：學生理解特殊化策略的概念。學生了解問題，并回答問題。學生思考回答。活動意圖說明：通過講解特殊化的概念，讓學生了解特殊化思想，之后出示實際案例，引導學生分析，了解特殊法思想在解決實際問題中的便利之處，培養學生的思維能力.環節三：特殊化策略的應用教師活動3：請用特殊化策略解答下列問題。1.如圖，點P是等邊三角形ABC內的任意一點，過點P向三邊作垂線，垂足分別為D，E，F。小穎從特殊情形入手，認為PD+PE+PF等于△ABC的高，AF+BD+CE等于△ABC周長的12證明：過點A作AH⊥BC于H，連接PA、PB、PC．∵S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC，即12BC·AH=12AB·PF+12又∵AB=BC=AC，∴AH=PD＋PE＋PF．∴PD＋PE＋PF的值是等邊△ABC的高，是不變的值．由于△ABC是等邊三角形，故它的三邊AB=BC=AC，而PD、PE、PF恰好是這三邊上的高，因此本題可想到用三角形的面積法解題．連接PA、PB、PC，把△ABC分成了三個三角形△PAB、△PBC、△PAC，這三個三角形面積的和正好等于等邊△ABC的面積，由面積之間的關系即可說明PD＋PE＋PF等于△ABC的高，即為定值．證明：假設P為△ABC三條角平分線的交點，∵△ABC為等邊三角形，∴∠FAP=∠FBP在△AFP和△BFP中，∠FAP=∠FBP，∠AFP=∠BFP，FP=FP∴△AFP≌△BFP∴AF=BF=12同理BD=CD=12BC，AE=CE=1∴AF+BD+CE等于△ABC周長的122.如圖，四邊形ABCD的面積是16，各邊中點分別為M，N，P，Q，MP與NQ相交于點O，求圖中陰影部分的面積。解：∵四邊形ABCD的面積是16，點M，N，P，Q分別為各邊的中點，所以四邊形QMNP為平行四邊形，所以S△QMO=S△QPO=S△MNO=S△NPO所以S△AMQ=14S△ABD，S△CNP=14S相加得S△AMQ+S△CNP=14SABCD同理，S△BMN+S△DPQ=14SABCD所以SMNPQ=12SABCD所以S△QMO+S△NPO=14S所以S△AMQ+S△CNP+S△QMO+S△NPO=12SABCD=13.甲、乙兩人輪流在一張圓桌上放置同樣大小的硬幣，每人每次只能放置一枚硬幣，且放置過程中不允許重疊與傾斜，硬幣不能超出桌面的邊界。規定誰在桌上放下最后一枚硬幣，誰就獲勝。你知道獲勝的策略嗎?解：甲先把一枚硬幣放在圓桌面的圓心處。以后無論乙將硬幣放在何處，甲都總能在乙上次放的硬幣的對稱點放置硬幣。按照上述方法，甲就能保證獲勝。4.一個三位數除以它的各位數字之和，商最大是多少?解：設這個三位數為abc=100a+10b+C，可得（100a+10b+c）÷（a+b+c）=[（10a+10b+10c）+（90a-9c）]÷（a+b+c）=10+9（10a-c）÷（a+b+c）；要使商最大，那么被除數應最大，除數應最小，可得c=0，b=0，此時商的最大值為：10+9×10a÷a=10+90=100。特殊化的方法就是在求解一般數學命題的解答時，從考慮一組給定的對象轉向考慮其中的部分對象或僅僅一個對象，也就是為了解答一般問題，先求解特例，然后應用特殊的方法或結論再來求解一般問題.學生活動3：學生小組合作，利用特殊化策略解決實際問題.活動意圖說明：通過解決實際問題，檢驗學生對特殊化策略的掌握程度，加深對特殊化策略的理解，培養學生發散的思維方式。板書設計課題：※問題解決策略：特殊化特殊化策略：面對一般性的問題時，可以先考慮特殊情形，借助特殊情形下獲得的結論或方法解決一般性的問題，這就是特殊化策略。課堂練習【知識技能類作業】必做題：1.用字母a表示任意一個有理數，下列四個代數式中，值不可能為0的是()A.1+a2B.|a+1|C.a2D.a3+12.有80粒珠子甲乙兩人輪流從中取，取珠規則為每人至少取1粒，至多取4粒，誰取到最后一粒誰就輸，若甲先取，怎樣取能保證獲勝？解：首先，因為每人每次至少取1粒，至多取4粒，所以兩人一輪取的珠子數量之和可以控制。我們要保證每輪兩人取的珠子總數為固定值，這個值就是1+4=5粒。甲先取，先計算80÷5=16，沒有余數。甲先取44粒珠子，此時剩下80?4=76粒珠子。之后乙取，無論乙取1粒、2粒、3粒還是44粒，甲都取5減去乙取的粒數。例如乙取1粒，甲就取5?1=4粒；乙取2粒，甲就取5?2=3粒等。這樣經過若干輪后，最后一定剩下11粒珠子留給乙取，從而乙取到最后一粒珠子輸掉游戲。這種策略的核心在于甲先取后，通過控制每輪取珠數量之和為55，來掌握游戲的節奏，確保最后一粒珠子留給乙。如圖，已知AB∥CD，∠C＝75°，∠AEC＝30°，求∠A的度數.解:過點E向左作EF∥CD，則∠FEC＝∠C＝75°.∵∠AEC＝30°，∴∠FEA＝∠FEC－∠AEC＝75°－30°＝45°.又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠A＝∠FEA＝45°.選做題：4.觀察下列各式:(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;......(1)根據以上規律，則(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7?1;(2)你能否由此歸納出一般性規律:(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)=xn+1?1;(3)根據以上規律求1+3+32+…+334+335的結果.解:原式=12x(3-1)×(1+3+32+…+334+335)=35.已知對任意大于2的正整數n，n5-5n3+4n都是正整數m的倍數，求m的最大值.解:n5-5n3+4n=n(n4-5n2+4)=n(n2-4)(n2-1)=n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1).因為n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)是五個連續正整數的乘積，所以它是5的倍數，又當n=3時，原式=120，故m的最大值是120.【綜合拓展類作業】6.如圖，已知直線l1∥l2，直線l3和直線l1，l2交于點C和D，直線l3上有一點P.如圖1，若P點在C，D之間運動時，問∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系是否發生變化，并說明理由；（2）若點P在C，D兩點的外側運動時（P點與點C，D不重合，如圖2和圖3），試直接寫出∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系，不必寫理由.解：（1）當P點在C，D之間運動時，∠APB＝∠PAC＋∠PBD，關系不發生變化.理由：過點P向左作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1.∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD.（2）當點P在C，D兩點的外側運動時，在l2下方時，則∠PAC＝∠PBD＋∠APB；在l1上方時，則∠PBD＝∠PAC＋∠APB.課堂總結特殊化策略：面對一般性的問題時，可以先考慮特殊情形，借助特殊情形下獲得的結論或方法解決一般性的問題，這就是特殊化策略。作業設計【知識技能類作業】必做題：1.有一個兩位數，減去它各位數上的數字之和的三倍，得23；除以它各位數上的數字之和，商是5余數是1，則這個兩位數（B）A．不存在B．有唯一的一個C．有兩個D．有無數多個2.如圖，△ABC的面積為1cm2，AP垂直于ABC的平分線BP于點P，則△PBC的面積為(B)A.0.4cm2B.0.5cm2C.0.6cm2D.0.7cm23.用簡便方法計算:2-3-4+5+6-7-8+9+…+66-67-68+69.解:原式=(2一3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0+0+…+0=0.選做題：4.對于任意正整數n，整式（4n＋1）（4n－1）－（4－n）（4＋n）的值一定是17的倍數，試說明理由.解：（4n＋1）（4n－1）－（4－n）（4＋n）＝16n2－1－（16－n2）＝16n2－1－16＋n2＝17n2－17＝17（n2－1）.因為n為正整數，所以n2－1是整數，所以整式（4n＋1）（4n－1）－（4－n）（4＋n）的值一定是17的倍數.5.求（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1的個位數字.解：原式＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1＝（24－1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1＝264－1＋1＝264.因為21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64……個位數字按照2，4，8，6依次循環.，而64＝16×4，所以原式的個位數字為6.【綜