1、17淮南師范學院2012屆本科畢業論文畢業論文 題 目： 二次型的正定性及其應用 學生姓名： 孫云云 學生學號： 0805010236 系 別： 數學與計算科學系 專 業： 數學與應用數學 屆 別： 2012 屆 指導教師： 李遠華 目 錄摘 要(1)前言(1)1 二次型的概念(2)1.1 二次型的矩陣形式(2)1.2 正定二次型與正定矩陣的概念(2)2 二次型的正定性一些判別方法及其性質(3)3 二次型的應用(8)3.1 多元函數極值(8)3.2 線性最小二乘法(12)3.3 證明不等式(14)3.4 二次曲線(16)結論(17)致謝(17)參考文獻(17) 二次型的正定性及其應用學生：孫云

2、云指導老師：李遠華淮南師范學院數學與計算科學系摘 要：二次型與其矩陣具有一一對應關系，本文主要通過研究矩陣的正定性來研究二次型的正定性及其應用。通過研究二次型的性質并利用正（負）定矩陣判斷多元函數的極值、證明不等式，由矩陣的特征值求多元函數的最值，再借助于非退化線性替換判斷二次曲線的形狀。 關鍵詞：二次型；矩陣；正定性；應用The second type of positive definite matrix and its applicationsStudent: Sun YunYunInstructor: Li YuanHuaDepartment of mathematics and Co

3、mputational Science, Huainan Normal UniversityAbstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application

4、. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shap

5、e of the quadratic curves. Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation,Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation,Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型常常出現在許多實際應用和理論研究中，有很大的實際使用價值。它不僅在數學的許多分支中用到，而且在物理學中也會經常用到，其中實二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的

6、有定性與其矩陣的有定性之間具有一一對應關系.因此,二次型的正定性判別可轉化為對稱矩陣的正定性判別，因此，對正定矩陣的討論有重要的意義.1 二次型的概念 定義1.1 設P是一個數域，p,n個文字, 的二次齊次多項式稱為數域p上的一個n元二次型，簡稱二次型.當為實數時，f稱為實二次型.當 為復數時,稱 f為復二次型.如果二次型中只含有文字的平方項，即=稱f為標準型.1.1 二次型的矩陣形式 二次型可唯一表示成=，其中，為對稱矩陣，稱上式為二次型的矩陣形式，稱A為二次型的矩陣（必是對稱矩陣），稱A的秩為二次型f的秩.1.2 正定二次型與正定矩陣的概念 定義1.2 設=是n元實二次型（A為實對稱矩陣）

7、，如果對任意不全為零的實數都有，則稱f為正定二次型,稱A為正定矩陣；如果，則稱f為半正定二次型，稱A為半正定矩陣;如果，則稱f為負定二次型，稱A為負定矩陣;如果，稱f 為半負定二次型，稱A為半負定矩陣；既不是正定又不是負定的實二次型稱為不定的二次型，稱A為不定矩陣. 定義1.2 另一種定義 具有對稱矩陣的二次型(1) 如果對任何非零向量, 都有 （或）成立，則稱為正定（負定）二次型，矩陣稱為正定矩陣（負定矩陣）.(2) 如果對任何非零向量, 都有 （或）成立，且有非零向量，使，則稱為半正定（半負定）二次型，矩陣稱為半正定矩陣（半負定矩陣）. 注:二次型的正定(負定)、半正定(半負定)統稱為二次

8、型及其矩陣的有定性.不具備有定性的二次型及其矩陣稱為不定的.二次型的有定性與其矩陣的有定性之間具有一一對應關系.因此,二次型的正定性判別可轉化為對稱矩陣的正定性判別.2 二次型的正定性一些判別方法及其性質 定理2.1 設為正定矩陣,若,則也是正定矩陣. 定理2.2 對角矩陣正定的充分必要條件是. 定理2.3 對稱矩陣為正定的充分必要條件是A的特征值全大于零. 定理2.4 為正定矩陣的充分必要條件的正慣性指數 定理2.5 矩陣為正定矩陣的充分必要條件矩陣是：存在非奇異矩陣,使.即合同. 推論2.1 若為正定矩陣,則. 定理2.6 秩為的元實二次型, 設其規范形為則：(1)負定的充分必要條件是且(

9、即負定二次型,其規范形為)(2)半正定的充分必要條件是(即半正定二次型的規范形為)(3)半負定的充分必要條件是 (即)(4)不定的充分必要條件是 (即) 定義2.1 階矩陣的個行標和列標相同的子式稱為的一個階主子式.而子式稱為的階順序主子式. 定理2.7 階矩陣為正定矩陣的充分必要條件是的所有順序主子式.證明：必要性 設二次型是正定的對于每個k，1£k£n，令，則對于任意一組不全為零的實數，有因此是正定的由推論5.4.1，的矩陣的行列式故矩陣A的順序主子式全大于零充分性 對n作數學歸納法當n=1時，由條件，顯然有是正定的假設充分性的論斷對于n-1元二次型已經成立，那么對n元

10、情形，令，則矩陣A分塊為由A的順序主子式全大于零知道的順序主子式也全大于零因此，由歸納假定，是正定矩陣，即有n-1階可逆矩陣G,使取，則再取，則,令C=C1C2，a=ann-a¢GG¢a則有兩邊取行列式，得由于|A|>0，因此a>0顯然這就是說，矩陣A與單位矩陣合同所以A是正定矩陣，故二次型正定注：(1)若是負定矩陣，則為正定矩陣. (2)是負定矩陣的充要條件是：其中是的階順序主子式.(3)對半正定（半負定）矩陣可證明以下三個結論等價:a.對稱矩陣是半正定（半負定）的;b.的所有主子式大于（小于）或等于零；c.的全部特征值大于（小于）或等于零. 例2.1 設M是

11、n階實對稱矩陣, 則必存在正實數t, 使得tI+M為正定陣，其中I是單位矩陣.證明：矩陣正定的充要條件:對任意x不等于0向量,有，在所有的X中選一個X,使的值最小,其中MAX>0，而這時對應的的值為K,且K肯定大于0.又K,MAX都是常數,則必存在常數T,使TK-MAX>0，即>0故TI+M正定. 例 2.2 考慮二次型,問為何值時，f為正定二次型.解:利用順序主子式來判別,二次型f的矩陣為，A的順序主子式為； ；.于是，二次型f正定的充要條件是：，有，可知，；由,可得, 所以，當時,f正定. 例2.3 已知A-E是n階正定矩陣，證明為正定矩陣.分析：只要證明的特征值全大于零

12、即可證明:由正定知A是實對稱矩陣，從而， 即也是實對稱矩陣.設A的特征值為（k=1,2,n）,則A-E的特征值為（k=1,2,n）,而的特征值為（k=1，2，,n）,因為是正定矩陣，所以,(k=1,2,n),從而，故，（k=1,2,n）即，的特征值全大于零，故，為正定矩陣.3 二次型的應用3.1 多元函數極值 在實際問題中經常要遇到求三元以上函數的極值問題，對此可由二次型的正定性加以解決 定義3.1.1 設元函數在的某個鄰域內有一階、二階連續偏導數.記, 稱為函數在點處的梯度. 定義3.1.2 滿足的點稱為函數的駐點. 定義3.1.3 稱為函數在點處的黑塞矩陣.顯然是由的個二階偏導數構成的階實

13、對稱矩陣. 定理3.1.1 (極值存在的必要條件) 設函數在點處存在一階偏導數，且為該函數的極值點，則. 定理3.1.2 (極值的充分條件) 設函數在點的某個鄰域內具有一階、二階連續偏導數，且則:(1) 當為正定矩陣時，為的極小值; (2) 當為負定矩陣時，為的極大值; (3) 當為不定矩陣時，不是的極值.應注意的問題： 利用二次型的正定性來判斷多元函數的極值雖然是一個很好的方法,但也有一定的局限性,因為充分條件對正定和負定的要求是很嚴格的,若條件不滿足,那結論就不一定成立. 例3.1.1 求三元函數的極值.解:先求駐點，由 得所以駐點為.再求(Hessian)黑塞矩陣因為,所以，可知是正定的

14、，所以在點取得極小值：.當然，此題也可用初等方法求得極小值，結果一樣. 定理3.1.3 設n元實函數在點P0的一個鄰域中連續，且有足夠高階的連續偏導數，則函數在點P0近旁有性質：1）若正定，則P0為極小點；2）若負定，則P0為極大點；3）若不定，則P0非極大點或極小點；4）其余情形時，在點P0性質有待研究余項R的性質來確定.特別當是二次函數時，R=0，只要半正（負）定，則P0為極小（大）點. 例3.1.2 求函數的極值.解：解方程組，易得，于是，經計算得 正定； 負定；不定.故在點，點，Z不取極值；在點，Z取極小值，；在點，Z取極大值，. 下面利用二次型的矩陣的特征值求多元函數的最值.設元二次

15、型 ，則在條件下的最大（小）值恰為矩陣的最大（小）特征值. 例3.1.3 求函數在的最小值. 解：先對二次型將其化為標準形式,然后在條件下討論函數的最小值.該二次型的實對稱矩陣為，它的特征多項式.對于特征值，求得兩個線性無關的特征向量；再用正交化方法，得兩個單位正交的特征向量取正交矩陣 則有.對二次型做正交變換，得 相應地，條件化為. 于是原題意化為對式的三元二次其次函數在滿足條件時求其最小值.此時，顯然有又當時，所以滿足條件的最小值，而且它僅在和處取得最小值.回到變元，則在和處取得最小值. 最后再介紹一個有用的定理： 定理3.1.3 設A為n階正定矩陣與實向量，為實數，則實函數當時取得最小值

16、.證明:，由A正定，存在（對稱）而，其中，正定，故，所以取得最小值.3.2 線性最小二乘法 眾所周知，線性方程組可能無解.即任何一組都可能使得不等于0，我們設法找到，使得最小，這樣稱為方程組的最小二乘解.這種問題就叫最小二乘法問題.若記A為上述方程組的系數矩陣，.于是，使得值最小的X一定是方程組的解，而其系數矩陣是一個正定矩陣，它的慣性指數等于n，因此這個線性方程組總是有解的，這個解就是最小二乘解. 例3.2.1 已知某種材料在生產過程中的廢品率y某種化學成分x有關,下列表中記載了某工廠生產中y與相應的x的幾次數值x1.000.90.90.810.600.560.35y3.63.73.83.9

17、4.04.14.2我們想找出y對x的一個近似公式.解:把表中數值畫出圖來看,發現它的變化趨勢近于一條直線,因此我們決定選取x的一次式ax+b來表達,當然最好能選到適當的a,b使得下面的等式3.6a+b-1.00=03.7a+b-0.9=03.8a+b-0.9=03.9a+b-0.81=04.0a+b-0.60=04.1a+b-0.56=04.2a+b-0.35=0都成立,實際上是不可能的.任何a,b代入上面各式都發生些誤差,于是想找到a,b使得上面各式的誤差的平方和最小,即找a,b使(3.6a+b-1.00)+(3.7a+b-0.9)+(3.8a+b-0.9)+(3.9a+b-0.81)+(4

18、.0a+b-0.60)+(4.1a+b-0.56)+(4.2a+b-0.35)最小,這里討論的是誤差的平方即二乘方,故稱為最小二乘法,用最小二乘法解.易知A=,B=.最小二乘解a,b所滿足的方程就是AA-AB=0.即為解得 a=-1.05,b=4.81.(取三位有效數字) 3.3 證明不等式其證明思路是:首先構造二次型, 然后利用二次型正（半）定性的定義或等價條件,判斷該二次型（矩陣）為正（半）定矩陣,從而得到不等式. 例3.3.1求證：（其中是不全為零的實數）.證明：設二次型，則f的矩陣是，因為，的各階順序主子式為：；，所以，正定，從而（因為是不全為零的實數），即.（其中是不全為零的實數）,

19、結論得證. 例3.3.2（不等式）設為任意實數,則.證明:記，因為對于任意,都有, 故關于的二次型是半正定的.因而定理2.7的注意知,該二次型矩陣的行列式大于或等于0,即，故得. 例3.3.3 證明：證明：記,其中,將矩陣的第2,3,列分別加到第一列,再將第2,3, 行減去第1行,得, 于是的特征值為0,由定理可知, 為半正定矩陣, 即二次型是半正定的,從而得,即,結論得證. 例3.3.4 設是一個三角形的三個內角, 證明對任意實數,都有.證明：記，其中.對做初等行變換得:,于是的特征值為0,1,從而得二次型是半正定的,即對于任意實數,得證. 例3.3.5 設為階半正定矩陣,且,證明.證明：設

20、的全部特征值為,則的全部特征值為.因為為實對稱矩陣,所以存在正交矩陣,使得,由于為半正定矩陣，且，則是半正定的，且其中至少有一個，同時至少有一個等于0.故，結論得證.以上是根據不等式的要求證明該二次型為半正定二次型,從而證明不等式.使用這種方法簡單方便.3.4 二次曲線事實上，化簡二次曲線并判斷曲線的類型所用的坐標變換就是二次型中的非退化線性替換，因此可以利用二次型判斷二次曲線的形狀.例3.5.1 判斷二次曲線的形狀.解：設，令，則.對實施非退化線性替換：,即則，從而.即，故曲線表示橢圓.結論 二次型的研究起源于解析幾何中二次曲線和二次曲面的理論，二次型的理論在數學和物理的許多分支都有著廣泛的應用。用二次型來解決初等數學、微積分中的一些問題，有時會起到意想不到的效果。本文通過研究二次型的性質，借助例子說明二次型在求多元函數的的極值、最值、證明不等式、及判斷二次曲線的形狀等方面的應用。將多元元函數求極值問題化為一個二次型問題。在三元及三元以上多元函數求極值時，這個方法比一般工科高等數學教材中介紹的求極值方法好用，而且能夠確定是極大值還是極小值。致謝 值此本科學位論文完成之