1、1 1極限存在準則極限存在準則兩個重要極限兩個重要極限1.6 極限存在準則極限存在準則 兩個重要極限兩個重要極限2 21. 夾逼準則夾逼準則證證,ayn, 0 準繩準繩滿足下列條件滿足下列條件:),3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim)2(aynn ,limaznn nx.limaxnn )( ,nazn, 01 N, 02 N使得使得一、極限存在準則一、極限存在準則如果數列如果數列那末數列那末數列的極限存在的極限存在,且且,nnnzyx及及3 3,1 ayNnn時時恒恒有有當當,max21NNN 取取恒恒有有時時當當,Nn , ayan即即,2 azNnn時時恒恒有有當當, a

2、zan上兩式同時成立上兩式同時成立,nnnzxy ,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數列極限存在的準則可以推廣到函數上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限的極限., a annnzxy )1(4 4稱為稱為準繩準繩 假設假設)()()(xhxfxg ,)(lim)2(0Axgxx ,)(lim0Axhxx 那末那末)(lim0 xfxx存在存在,且等于且等于A.夾逼準則夾逼準則. .o0(1)(, )xU x當),|(Mx 或或有有)( x)( x)( x準繩準繩準繩準繩和和00,;,xxxxxx ：定理中把自變量變化的過程改為注。定理仍成立5 5例例1 1).12111(lim

3、222nnnnn 求求解解nnn 22111nnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn,12 nn nnn26 6 注注利用夾逼準則是求極限的一個重要手段利用夾逼準則是求極限的一個重要手段,將復雜的函數將復雜的函數 f (x)做適當的放大和縮小化簡做適當的放大和縮小化簡,找出有共同極限值又容易求極限的函數找出有共同極限值又容易求極限的函數 g(x)和和h(x)即可即可.7 7x1x2x3x1 nxnx2. 單調有界準則單調有界準則滿足條件滿足條件如果數列如果數列nx,121 nn

4、xxxx單調增加單調增加,121 nnxxxx單調減少單調減少單調數列單調數列準準則則 幾何解釋幾何解釋:AM單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限.:nx對對數數列列單調有界單調有界有極限有極限有界有界8 8例例2 2的的重重根根式式證證明明數數列列)(333nxn 證證,1nnxx nx31 x, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 nxnnx lim極限存在極限存在.并求出極限。并求出極限。顯然顯然(1)是單調增加的是單調增加的;(2), 3 是有界的是有界的;存在存在.9 9,31nnxx ,321nnxx 21limnnx,32AA ,2131 A(舍去舍去).2131li

5、m nnx(3)的的重重根根式式證證明明數數列列)(333nxn 極限存在極限存在.),3(limnnx Axnn lim設設2131 A解得解得1010(1)1sinlim0 xxx,O設單位圓設單位圓,sinBDx 于于是是有有,作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形的的高高為為OAB 作為準則作為準則 的應用的應用的的面面積積圓圓扇扇形形AOB)20(, xxAOB圓心角圓心角.ACO 得得,ABx弧弧 ,tanACx 的面積的面積AOC 的的面面積積AOB,BD二、兩個重要極限二、兩個重要極限xOABDC1111,tansinxxx , 1sincos xx

6、x即即.02也也成成立立上上式式對對于于 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又1sinlim0 xxxxxxtan2121sin21 即即夾逼定理夾逼定理該極限的特點該極限的特點:;00)1(型型未未定定式式(2)sin.xx與與分分數數線線另另一一側側的的變變量量形形式式一一致致0lim1sinxxx，或12121sinlim xxx.)00(型未定式型未定式非非 一般有( )x( ) x( )0 x0 正確 xxxsinlim sinlim11313注注: : 這是因為這是因為 在極限)()(sinlimxx中 只要(x)是無窮小 就有 1)()(sinlimxx )()(

7、sinlimxx1sinlim0uuu v 第一個重要極限第一個重要極限1sinlim0 xxx 于是于是( ),0uxu令則141420cos1limxxx1sinlim0 xxx 1)()(sinlimxx(x)0) 例例3 3 例例 1 求xxxtanlim0 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxx

8、cos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解解 例例4 4 例例 2 求20cos1limxxx 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx 20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx 15153 30sinlim3xxx解：3330sinlim31 xxx31 2(1)lim sinnnnnnn22sin2lim 2 例例5例例63 30sinlim3xxx求221sin 3(1)(2)lim(1)xxx求221

9、sin 3(1)lim(1)xxx解：21sin3(1)9lim3(1)xxx21sin3(1)9lim3(1)xxx29 1916 xxxxxxcos1cos1sinlim20111122 (3) 求求 30sintanlimxxxx 解解xxxxxcos)cos1(sinlim30 原原式式1717 2cos1lim)1(xxx 求求解解, xt 令令,時時則則 x, 0t故故 2cos1limxxx 20cos1limttt 201 coslimttt21112220cos1limxxx 21 222002sinsin122=limlim22tttttt1818解解 由于由于 以及以及,

10、limaan 夾逼定理夾逼定理.limaxnn a13lim1 aannn3 an 3limann.lim, 0)2(nnnnnnxcbaxcba 求求設設nx1919(2)exxx )11(lim,)11(nnnx 設設作為準則作為準則 的應用的應用可證明數列可證明數列xn單調增加單調增加且有界且有界.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)045459828281718. 2( e無理數無理數2020M 準則準則IIII的幾何解釋的幾何解釋x1x5x4x3x2xnA 以單調增加數列為例，數列的點只可能向右一個方向以單調增加數列為例，數列的點只可能向右一個方向移動，或者無限向

11、右移動，或者無限趨近于某一定點移動，或者無限向右移動，或者無限趨近于某一定點A，而，而對有界數列只可能后者情況發生。對有界數列只可能后者情況發生。 212112510501001000022.252.48832.59372.69152.71692.7181n11nn1lim 1nnen從表格可看出，數列單調遞增，且從表格可看出，數列單調遞增，且 3nx 22ennn )11(lim1(1)nnxn證：設 21! 2)1(1! 11nnnnnnnnnnnn1!)1()1( ).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 23類似地類似地,1111 1(1)2!11121(1)(1

12、)(1)!111112(1)(1)(1).(1)!111nxnnnnnnnnnnn ,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調調遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e2424v 第二個重要極限第二個重要極限準則準則II及第二個重要極限及第二個重要極限v 準則準則II II v 單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限 我們還可以證明我們還可以證明這就是第二個重要極限這就是第二個重要極限根據準則根據準則II 數列數列xn必有極限必有極限, 此極限用此極限用e來表

13、示來表示, 即即ennn)11 (lim 已證明已證明 (2)xn 3 (1)xnxn+1 nN 設nnnx)11 ( exxx )11(lim2525exxx)1 (lim1闡明闡明: : 此極限也可寫為此極限也可寫為ezzz1)1 (lim01,zx若令,0 xz 則當時，1lim,xxex同理可得： （1- ）10lim(1)xxxe2626 “以以1加非零無窮小為底加非零無窮小為底,指數是無窮小的指數是無窮小的倒數倒數,其極限為數其極限為數e”.exxx )11(lim該極限的特點該極限的特點:;1)1(型型未未定定式式 exxx 10)1(lim(2) 括號中括號中1后的變量后的變量

14、(包括符號包括符號)與冪互為倒數與冪互為倒數. 注注若極限呈若極限呈,1 型型 但第二個特點不具備但第二個特點不具備,通常湊指數冪使通常湊指數冪使(2) 成立成立.這個重要極限應靈活的記為這個重要極限應靈活的記為:那么那么一般有一般有exxx )()(1)()1(lim 1( )( )0lim 1( )xxxe或2727v 第二個重要極限第二個重要極限準則準則II及第二個重要極限及第二個重要極限v 準則準則II II v 單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限 exxx)11 (lim 注注: : 在極限)(1)(1limxx中 只要(x)是無窮小 就有 exx)(1)(1lim 2828

15、解解 exxx)11 (lim exx)(1)(1lim(x)0) 例例 7 例例 3 求xxx)11 (lim 令令t=-x 則則x 時時 t 于是于是 xxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1lim 或 ) 1()11 (lim)11 (limxxxxxx11)11 (limexxx) 1()11 (lim)11 (limxxxxxx 11)11 (l

16、imexxx 2929nnn211lim 2 e例例82 n nn11lim例例9 xxxx 21lim xlim2 eexx 11xx 213e )1( )1( 1lim 1xxx( 2)22lim 1xxx30302211 lim21nnnnn（ ） 12221lim2nnnn例例10nnn22122 12)22(2 nnnn)1( 2( 22)212limnn nnnee 202 lim 1 sinxxx（ ）0sin2lim2xxxee xxxsin10sin1limxxsin2)1( 31311. 選擇題選擇題).(sin1sinlim)1(20的值為的值為xxxx. 0)(;)(;

17、)(; 1)(DCBA不存在不存在 D).(1sinlim)2( xxx. 0)(; 1)(;)(;)(DCBA不存在不存在 C3232).(11lim)3(2 xxx.21)(; 0)(;)(;)(2DCBeA Axxxx2)23(lim. 2 求求解解222)211(lim xxxxx原式原式222limeexxxxxxx22131lim 或或xxxxx222131lim 33332. 兩個重要極限兩個重要極限夾逼準則夾逼準則; 單調有界準則單調有界準則 .三、小結三、小結1. 極限存在準則極限存在準則( )x( )x( )0 xe 1 lim( )x( )0 x1( )x sinlim13434作業作業習題習題1-6 (551-6 (55頁頁) ) 1. 2. 4.(2) (3) (4)35352.2.exxx)1(lim1證證: :