1、 一、重點與難點一、重點與難點重點：重點：難點：難點：留數的計算與留數定理留數的計算與留數定理留數定理在定積分計算上的應用留數定理在定積分計算上的應用二、內容提要二、內容提要留數留數計算方法計算方法可去奇點可去奇點孤立奇點孤立奇點極點極點本性奇點本性奇點函數的零點與函數的零點與極點的關系極點的關系對數留數對數留數留數定理留數定理留數在定積留數在定積分上的應用分上的應用 Cdzzf)(計計算算 dxexRdxxfdRaix)(. 3;)(. 2;)cos,(sin. 120 輻角原理輻角原理路西原理路西原理1定義定義 如果函數如果函數)(zf0z在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去

2、心鄰域的某一去心鄰域 00zz內處處解析內處處解析, 則稱則稱0z)(zf為為的孤立奇點的孤立奇點.1. 孤立奇點的概念與分類孤立奇點的概念與分類孤立奇點孤立奇點奇點奇點2孤立奇點的分類孤立奇點的分類根據根據)(zf在其孤立奇點在其孤立奇點0z的去心鄰域的去心鄰域 00zz內的洛朗級數的情況分為三類內的洛朗級數的情況分為三類:i) 可去奇點可去奇點; ii) 極點極點; iii) 本性奇點本性奇點.定義定義 如果洛朗級數中不含如果洛朗級數中不含 的負冪項的負冪項, 那末那末0zz 0z)(zf孤立奇點孤立奇點 稱為稱為 的可去奇點的可去奇點. i) 可去奇點可去奇點ii) 極點極點 01012

3、020)()()()(czzczzczzczfmm 0, 1 mcm )(01zzc, )()(1)(0zgzzzfm 0zz 定義定義 如果洛朗級數中只有有限多個如果洛朗級數中只有有限多個的的10)( zz,)(0mzz 負冪項負冪項, 其中關于其中關于的最高冪為的最高冪為即即級極點級極點.0z)(zfm那末孤立奇點那末孤立奇點稱為函數稱為函數的的或寫成或寫成極點的判定方法極點的判定方法0z在點在點 的某去心鄰域內的某去心鄰域內mzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內解析的鄰域內解析, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg)(zf的負冪項為有的負冪項為有0zz 的洛朗展開式中含

4、有的洛朗展開式中含有限項限項.(a) 由定義判別由定義判別(b) 由定義的等價形式判別由定義的等價形式判別(c) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz判斷判斷 .如果洛朗級數中含有無窮多個如果洛朗級數中含有無窮多個0zz 那末孤立奇點那末孤立奇點0z稱為稱為)(zf的本性奇點的本性奇點.的負冪項的負冪項,注意注意: 在本性奇點的鄰域內在本性奇點的鄰域內)(lim0zfzz不存在且不不存在且不為為. iii)本性奇點本性奇點i) 零點的定義零點的定義不恒等于零的解析函數不恒等于零的解析函數)(zf假如假如能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在, 0)(0 z解析

5、且解析且m為某一正整數為某一正整數, 那末那末0z稱為稱為)(zf的的 m 級零點級零點. 3)函數的零點與極點的關系函數的零點與極點的關系ii)零點與極點的關系零點與極點的關系假如假如0z是是)(zf的的 m 級極點級極點, 那末那末0z就是就是)(1zf的的 m 級零點級零點. 反過來也成立反過來也成立. 2. 留數留數記作記作.),(Res0zzf域域內內的的洛洛朗朗級級數數中中負負.)(101的系數的系數冪項冪項 zzc為中心的圓環為中心的圓環在在即即0)(zzf定義定義 假如假如)(0zfz 為函數為函數的一個孤立奇點的一個孤立奇點, 則沿則沿Rzzz 000的的某某個個去去心心鄰鄰

6、域域在在內包含內包含0z的的任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 C C 的積分的積分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的數稱為后所得的數稱為.)(0的留數的留數在在zzf以以1)留數定理留數定理 設函數設函數)(zf在區域在區域 D內除有限個孤內除有限個孤nzzz,21外處處解析外處處解析, C 是是 D內包圍諸奇內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線點的一條正向簡單閉曲線, 那末那末 nkkCzzfizzf1),(Res2d )(立奇點立奇點留數定理將沿封閉曲線留數定理將沿封閉曲線C積分轉化為求被積函數積分轉化為求被積函數在在C內各孤立奇點處的留數內各孤立奇點處的留數.(1) 假如假如0z

7、為為)(zf的可去奇點的可去奇點, 那么那么. 0),(Res0 zzf)()(lim),(Res0000zzfzzzzfzz 假如假如 為為 的一級極點的一級極點, 那末那末0z)(zf a) (2) 假如假如0z為為的本性奇點的本性奇點, 則需將則需將成洛朗級數求成洛朗級數求1 c)(zf)(zf展開展開(3) 假如假如0z為為的極點的極點, 則有如下計算規則則有如下計算規則)(zf2)留數的計算方法留數的計算方法 c)設設,)()()(zQzPzf )(zP及及)(zQ在在0z假如假如,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP那末那末0z為一級極點為一級極點, 且有且有都解析，都解析，

8、.)()(),(Res000zQzPzzf 假如假如 為為 的的 級極點級極點, 那末那末0z)(zfm)()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz b).),(Res1 Czf也可定義為也可定義為 Czzfid)(21記作記作 Czzfizfd)(21),(Res1.定義定義 設函數設函數)(zf在圓環域在圓環域 z0內解析內解析C為圓環域內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線為圓環域內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線那末積分那末積分值為值為)(zf在在 的留數的留數.的值與的值與C無關無關 , 則稱此定則稱此定 Czzfid)(21 3)無窮遠點的留數無窮遠點的留

9、數如果函數如果函數)(zf在擴充復平面內只有有限個在擴充復平面內只有有限個孤立奇點孤立奇點, 那末那末在所有各奇點在所有各奇點 (包括包括 點點) 的留數的總和必等于零的留數的總和必等于零.)(zf 定理定理3. 留數在定積分計算上的應用留數在定積分計算上的應用，令令 iez )(21sin iieei ,212izz )(21cos iiee zz212 20d)sin,(cos RI1三角函數有理式的積分三角函數有理式的積分當當 歷經變程歷經變程 2,0時時, z 沿單位圓周沿單位圓周1 z的的正方向繞行一周正方向繞行一周.izzizzzzRIzd21,21122 zzfzd )(1 .

10、),(Res21 nkkzzfi.)(1), 2 , 1(的的孤孤立立奇奇點點內內的的為為包包含含在在單單位位圓圓周周其其中中zfznkzk 則則為偶函數為偶函數如果如果,)(xR nkkzzRixxR10.),(Resd)(則則次次多多項項式式為為次次多多項項式式為為設設, 2,)(,)(, )()()( nmmzQnzPzQzPzR nkkzzRiI1.),(Res2.)(), 2 , 1(在上半平面內的極點在上半平面內的極點為為其中其中zRnkzk .)(,)(.d)(沒有孤立奇點沒有孤立奇點在實軸上在實軸上且且數高兩次數高兩次的次數至少比分子的次的次數至少比分子的次分母分母的有理函數的

11、有理函數是是其中其中zRxxRxxRI 2無窮積分無窮積分則則在實軸上沒有孤立奇點在實軸上沒有孤立奇點且且的次數高一次的次數高一次分母的次數至少比分子分母的次數至少比分子函數函數的有理的有理是是其中其中,)(,)(),0(d)(zRxxRaxexRIaix nkkaixaixzezRixexR1,)(Res2d)(.)(), 2 , 1(在上半平面內的極點在上半平面內的極點為為其中其中zRnkzk 3混合型無窮積分混合型無窮積分,2d1cos02mexxmx , 0d1sin2 xxmx).10(sind1,2dsin0 aaxeexxxxax 特別地特別地 4. 4.對數留數對數留數定義定義

12、具有下列形式的積分具有下列形式的積分: Czzfzfid)()(21.)(的對數留數的對數留數關于曲線關于曲線稱為稱為Czf,)(上上解解析析且且不不為為零零在在簡簡單單閉閉曲曲線線如如果果Czf,以以外外也也處處處處解解析析的的內內部部除除去去有有限限個個極極點點在在C那那么么.d)()(21PNzzfzfiC 內零點的總個數內零點的總個數, P為為 f(z)在在C內極點的總個數內極點的總個數.其中其中, N為為 f(z)在在C且且C取正向取正向. 假如假如 f(z)在簡單閉曲線在簡單閉曲線C上與上與C內解析內解析, 且在且在C上不等于零上不等于零, 那么那么 f(z)在在C內零點的個數等于

13、內零點的個數等于 21乘以當乘以當z沿沿C的正向繞行一周的正向繞行一周 f(z)的輻角的改變量的輻角的改變量. 輻角原理輻角原理 路西定理路西定理,)()(內解析內解析上和上和在簡單閉曲線在簡單閉曲線與與設設CCzgzf與與內內那那么么在在上上滿滿足足條條件件且且在在)(, )()(zfCzgzfC .)()(的的零零點點的的個個數數相相同同zgzf 三、典型例題三、典型例題.,)(判別類型判別類型并并在擴充復平面上的奇點在擴充復平面上的奇點求下列函數求下列函數zf例1例1;)2(;sin)1(1tan3zezzz 解解:0)()1(內的洛朗展式為內的洛朗展式為在在由于由于 zzf zzzzz

14、zzzzzf!7! 5! 31sin)(75333 ! 9!7! 5! 31642zzz.)(,)(0的本性奇點的本性奇點是是的可去奇點的可去奇點是是得得zfzzfz ;)2(1tanze解解,1tanzw 令令, 01cos z由由,1tan 的的一一級級極極點點為為zw 又又且且為為本本性性奇奇點點僅僅有有唯唯一一的的奇奇點點而而, zew zkzz1tanlim), 1, 0(211 kkzk得得.)(wezf 則則), 1, 0(211 kkzk所以所以.)(的本性奇點的本性奇點都是都是zf因因為為時時當當, zzzzezf1tanlim)(lim .)(的的可可去去奇奇點點是是故故知

15、知zfz ,1 例例2 2 求函數求函數 的奇點，并確的奇點，并確定類型定類型. .322)1()1(sin)5()( zzzzzzf解解110 z,z,z是奇點是奇點. zzzzzzzfsin)1()1(51)(32因因為為),(1zgz 是單極點；是單極點；所以所以0 z1 z是二級極點是二級極點;1 z是三級極點是三級極點.例例3 3 證明證明 是是 的六級極點的六級極點. .0 z)1(1)(33 zezzf.)1(1)(033的的六六級級極極點點是是所所以以 zezzfz的六級零點，的六級零點，是是因為因為)1()(1033 zezzfz證證)1()(133 zezzf ! 3! 2

16、1296zzz,1! 2)(12333 zzz例例4 4 求下列各函數在有限奇點處的留數求下列各函數在有限奇點處的留數. .,11sin)1( z,1sin)2(2zz,sin1)3(zz.coshsinh)4(zz解解(1)在在 內內, 10z,)1( ! 311111sin3 zzz11 ,)1sin(1Res Cz所所以以. 1 ,! 5! 3sin53 zzzz因因為為內內，所所以以在在 z0 5322! 51! 3111sinzzzzzz 3! 51! 31zzz120 ,1sinRes Czz故故.61 解解zz1sin)2(2zzsin1)3(解解), 2, 1, 0( nnz為

17、奇點為奇點,0 n當當 時時 為一級極點，為一級極點， nzznznzsin1)(lim 因因為為)sin()1(limnzznznnz ,1) 1(nn zzzfzzzsinlim)(lim020 由由.0是是二二級級極極點點知知 z, 1 ,1)1(,sin1Resnnzzn 所所以以 zzzzzzzsin1ddlim0 ,sin1Res20zzzzz20sincossinlim . 0 zzzfcoshsinh)()4( 解解的一級極點為的一級極點為)(zf , 2, 1, 02 kikzkkzzkzzzzf )(coshsinh),(Res故故kzzzz sinhsinh. 1 例例5

18、 5 計算積分計算積分.d)()sin(28zizzizz 為一級極點，為一級極點， 為七級極點為七級極點.0 ziz )(lim0),(Res0zzfzfz 80)()sin(limizizz ;sini iizizizzf )(1)()sin()(8iiziiziz 11)()sin(8 22357)(1)(11)( ! 71)( ! 51)( ! 31)(1iziiziiiziziziz解解 izi1! 11! 31! 51! 71 !71! 51! 311),(Resiizf所所以以由留數定理得由留數定理得 ),(Res0),(Res2d)()sin(28izfzfizizzizz .

19、!71! 51! 311sin2 iii例例6 6 .d)1()5(3243213zzzzz 解解248326131151)( zzzzzzf24321115111 zzz28434211125511 zzzzz在在 內內, z3)1(2d)1()5(3243213 izzzzz故故.2 i 1),(Res Czf所所以以, 1 42211511zzz,1 z 51255),(Res2d)1)(3(1kkzzzfizzz解解例例7 7 計算計算 .d)1)(3(1255zzzz ),(Res3),(Res),(Res51 zfzfzzfkk)1)(3(1)3(lim3),(Res53 zzzzfz,2421 55511311) 1)(3(1zzzzzz,1131156 zzz, 0),(Res zf所所以以 51255),(Res2d)1)(3(1kkzzzfizzz24212 i.121i 例例8 8 計算計算. )0(sind02 axax解解 00222cos1dsindxaxxax 022cos1)2d(21xax