1、1和差倍問題和差問題 和倍問題 差倍問題已知條件 幾個數的和與差 幾個數的和與倍數幾個數的差與倍數公式適用范圍 已知兩個數的和，差，倍數關系公式 (和差)÷2=較小數較小數差=較大數小學奧數很簡單，就這30個知識點和較小數=較大數(和差)÷2=較大數較大數差=較小數和較大數=較小數和÷(倍數1)=小數小數×倍數=大數和小數=大數差÷(倍數-1)=小數小數×倍數=大數小數差=大數關鍵問題 求出同一條件下的和與差 和與倍數 差與倍數2年齡問題的三個基本特征：兩個人的年齡差是不變的；兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；兩個人的年齡的倍數是

2、發生變化的；3歸一問題的基本特點：問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”等詞語來表示。關鍵問題：根據題目中的條件確定并求出單一量；4植樹問題基本類型 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹 封閉曲線上植樹基本公式 棵數=段數1棵距×段數=總長 棵數=段數1棵距×段數=總長 棵數=段數棵距×段數=總長關鍵問題 確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關系5雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來；基本思路：

3、假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：假設后，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。基本公式：把所有雞假設成兔子：雞數（兔腳數×總頭數總腳數）÷（兔腳數雞腳數）把所有兔子假設成雞：兔數（總腳數一雞腳數×總頭數）÷（兔腳數一雞腳數）關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6盈虧問題基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，由于分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量

4、基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據這個關系求出參加分配的總份數，然后根據題意求出對象的總量基本題型：一次有余數，另一次不足；基本公式：總份數（余數不足數）÷兩次每份數的差當兩次都有余數；基本公式：總份數（較大余數一較小余數）÷兩次每份數的差當兩次都不足；基本公式：總份數（較大不足數一較小不足數）÷兩次每份數的差基本特點：對象總量和總的組數是不變的。關鍵問題：確定對象總量和總的組數。7牛吃草問題基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總

5、草量。基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；關鍵問題：確定兩個不變的量。基本公式：生長量=（較長時間×長時間牛頭數-較短時間×短時間牛頭數）÷（長時間-短時間）；總草量=較長時間×長時間牛頭數-較長時間×生長量；8周期循環與數表規律周期現象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規律循環出現。周期：我們把連續兩次出現所經過的時間叫周期。關鍵問題：確定循環周期。閏 年：一年有366天；年份能被4整除；如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；平 年：一年有365天。年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除；9平均數基本公

6、式：平均數=總數量÷總份數總數量=平均數×總份數總份數=總數量÷平均數平均數=基準數每一個數與基準數差的和÷總份數基本算法：求出總數量以及總份數，利用基本公式進行計算.基準數法：根據給出的數之間的關系，確定一個基準數；一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數；以基準數為標準，求所有給出數與基準數的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數；最后求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關系見基本公式。10抽屜原理抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解

7、成三個整數的和，那么就有以下四種情況：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會發現一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m，那么必有一個抽屜至少有:k=n/m +1個物體：當n不能被m整除時。k=n/m個物體：當n能被m整除時。理解知識點：X表示不超過X的最大整數。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據抽屜原則進行運算。12數列求和等差數列：在一列數中，

8、任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。基本概念：首項：等差數列的第一個數，一般用a1表示；項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示；公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示；通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示；數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示基本思路：等差數列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。11定義新運算基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把

9、已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規律進行運算。關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。注意事項：新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。每個新定義的運算符號只能在本題中使用。12數列求和等差數列：在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。基本概念：首項：等差數列的第一個數，一般用a1表示；項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示；公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示；通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示；數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示基本思路：等差數列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,通

10、項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。基本公式：通項公式：an = a1+（n1）d；通項首項（項數一1) 公差；數列和公式：sn,= (a1+ an)n2；數列和（首項末項）項數2；項數公式：n= (an+ a1)d1；項數=（末項-首項）公差1；公差公式：d =（ana1）（n1）；公差=（末項首項）（項數1）；關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；13二進制及其應用十進制：用09十個數字表示，逢10進1；不同數位上的數字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=

11、2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100注意：N0=；N=N（其中N是任意自然數）二進制：用01兩個數字表示，逢2進1；不同數位上的數字表示不同的含義。（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120注意：An不是0就是1。十進制化成二進制：根據二進制滿2進1的特點，用2連續去除這個數，直到商為0，然后把每次所得的余數按自下而上依次寫出即可。先找出不大于該數的2的n次方

12、，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進制展開式特點即可寫出。14加法乘法原理和幾何計數加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務共有：m1+ m2. +mn種不同的方法。關鍵問題：確定工作的分類方法。基本特征：每一種方法都可完成任務。乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務共有：m1×m2. 

13、5;mn種不同的方法。關鍵問題：確定工作的完成步驟。基本特征：每一步只能完成任務的一部分。直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。直線特點：沒有端點，沒有長度。線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。線段特點：有兩個端點，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點：只有一個端點；沒有長度。數線段規律：總數1+2+3+（點數一1）；數角規律=1+2+3+（射線數一1）；數長方形規律：個數=長的線段數×寬的線段數：數長方形規律：個數=1×1+2×2+3×3+行數×列數15質數與合數質數：一個數除了1和它本身之外，沒有別的約

14、數，這個數叫做質數，也叫做素數。合數：一個數除了1和它本身之外，還有別的約數，這個數叫做合數。質因數：如果某個質數是某個數的約數，那么這個質數叫做這個數的質因數。分解質因數：把一個數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。分解質因數的標準表示形式：N=，其中a1、a2、a3an都是合數N的質因數，且a1<a2<a3<<an。求約數個數的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)××(rn+1)互質數：如果兩個數的最大公約數是1，這兩個數叫做互質數。16約數與倍

15、數約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。最大公約數的性質：1、 幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。2、 幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。3、 幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。4、 幾個數都乘以一個自然數m，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以m。例如：12的約數有1、2、3、4、6、12；18的約數有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公約數有：1、2、3、6；那么12和18最大的公約數是：6，記作（12，18）=6

16、；求最大公約數基本方法：1、分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。2、短除法：先找公有的約數，然后相乘。3、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數。公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。12的倍數有：12、24、36、48；18的倍數有：18、36、54、72；那么12和18的公倍數有：36、72、108；那么12和18最小的公倍數是36，記作12，18=36；最小公倍數的性質：1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。求最

17、小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的方法17數的整除一、基本概念和符號：1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有余數，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”；因為符號“”，所以的符號“”；二、整除判斷方法：1. 能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。2. 能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。3. 能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。4. 能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。5. 能被7整除：末三位上數字所組成的數與末三位以

18、前的數字所組成數之差能被7整除。逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。6. 能被11整除：末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。7. 能被13整除：末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。三、整除的性質：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。2. 如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整

19、除，那么a也能被c整除。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。18余數及其應用基本概念：對任意自然數a、b、q、r，如果使得a÷b=qr，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數，q叫做a除以b的不完全商。余數的性質：余數小于除數。若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。19余數、同余與周期一、同余的定義：若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。已知三個整數a、b、m，如

20、果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作ab(mod m)，讀作a同余于b模m。二、同余的性質：自身性：aa(mod m)；對稱性：若ab(mod m)，則ba(mod m)；傳遞性：若ab(mod m)，bc(mod m)，則a c(mod m)和差性：若ab(mod m)，cd(mod m)，則a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：若a b(mod m)，cd(mod m)，則a×c b×d(mod m)；乘方性：若ab(mod m)，則anbn(mod m)；同倍性:若a b(mod m)，整數c，則a×c b×c(mo

21、d m×c)；三、關于乘方的預備知識：若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余數特征：一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則Mn(mod 9)或（mod 3）；一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則MY-X或M11-（X-Y）(mod 11)；五、費爾馬小定理：如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則ap-11(mod p)。20分數與百分數的應用基本概念與性質：分數：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。分

22、數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。分數單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。常用方法：逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考。對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關系；把不同的標準（在分數中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結

23、果，然后再進行調整，求出最后結果。量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發生變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單一化、量率關系明朗化。同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。濃度配比法：一般應用于總量和分量都發生變化的狀況。21分數大小的比較基本方法：通分分子法：使所有分數的分子相同，根據同分子分數大小和分母的關系比較。通分分母法：使所有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分

24、子的關系比較。基準數法：確定一個標準，使所有的分數都和它進行比較。分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數值越大。倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關系比較分數的大小。（具體運用見同倍率變化規律）轉化比較方法：把所有分數轉化成小數（求出分數的值）后進行比較。倍數比較法：用一個數除以另一個數，結果得數和1進行比較。大小比較法：用一個分數減去另一個分數，得出的數和0比較。倒數比較法：利用倒數比較大小，然后確定原數的大小。基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較。22分數拆分一、 將一個分數單位分解成兩個分

25、數之和的公式： =+；=+（d為自然數）；23完全平方數完全平方數特征：1. 末位數字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2. 除以3余0或余1；反之不成立。3. 除以4余0或余1；反之不成立。4. 約數個數為奇數；反之成立。5. 奇數的平方的十位數字為偶數；反之不成立。6. 奇數平方個位數字是奇數；偶數平方個位數字是偶數。7. 兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y224比和比例比：兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項，比號后面的數叫

26、比的后項。比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。比的性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數（零除外），比值不變。比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質：兩個外項積等于兩個內項積(交叉相乘)，ad=bc。正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比。反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比。比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個數按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系.基本公式：路程=

27、速度×時間；路程÷時間=速度；路程÷速度=時間關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）追及問題：追及時間路程差÷速度差（寫出其他公式）流水問題：順水行程=（船速+水速）×順水時間逆水行程=（船速-水速）×逆水時間順水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順水速度+逆水速度）÷2水 速=（順水速度-逆水速度）÷2流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已

28、知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。26工程問題基本公式：工作總量=工作效率×工作時間工作效率=工作總量÷工作時間工作時間=工作總量÷工作效率基本思路：假設工作總量為“1”（和總工作量無關）；假設一個方便的數為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數），利用上述三個基本關系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。經驗簡評：合久必分，分久必合。27邏輯推理基本方法簡介：條件分析假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶數成立，在判斷過程中出現了矛盾，那么a一定是奇數。條件分析列表法：當題設條件比