1、/B高考要求內容要求層次重、難點函數的零點函數的令點B1. 理解函數零點的概念2. 掌握函數零點的性質3. 明確零點是一個值”，而非一個點的坐標4. 會利用函數的零點探索二次方程根的分布問題二分法A了解二分法的原理W要知識框架重難點一、函數的零點1. 零點的概念：對于函數y=f(x)(x6D),把使f(x)=0成立的實數x叫做函數y=f(x)(x6D)的零點.2. 函數零點的意義：方程f(x)=0有實數根u函數y=f(x)的圖象與x軸有交點u函數y=f(x)有零點.3. 零點存在性判定定理：如果函數y=f(x)在區間a,b上的圖象是連續不斷的一條曲線，且f(a)f(b)<0,則函數y=f

2、(x)在區間(a,b)內有零點，即存在c6(a,b),使得f(c)=0,這個c就是方程f(x)=0的根.4. 二次函數零點的判定(1)二次函數零點的判定二次函數y=ax2+bx+c的零點個數，方程ax2+bx+c=0的實根個數見下表.判別式方程的根函數的零點兩個不相等的實根兩個零點兩個相等的實根一個一重零點無實根無零點(2)二次函數零點的性質二次函數的圖象是連續的，當它通過零點時(不是二次零點)，函數值變號.相鄰兩個零點之間的所有的函數值保持同號.【說明】對任意函數，只要它的圖象是連續不間斷的，上述性質同樣成立.(3)二次函數的零點的應用利用二次函數的零點研究函數的性質，作出函數的簡圖.根據函

3、數的零點判斷相鄰兩個零點間函數值的符號，觀察函數的一些性質.【定理1】k:x1_x2u.2.：=b4ac-0af(k)>0b>k一2a如圖所示:【定理2】X1<x2:：k=b2-4ac：二0<af(k)>0-<k2a如圖所示:【定理3】x1:k:x2匕af(k)<0.如圖所示:二 0 : x2 匕ac <0 .a(a+b+c)<0.【定理4】有且僅有ki< xi (或 x2 ) < k 2 yf(kl)f(k2)：二0如圖所示:a:二0【定理5】ki:二xi二k2Pi二x2:二P2匕f(ki)>0f(k2)<0或f(

4、Pi)<0f(P2)0f(ki)<0f(k2)>0f(Pi)>0f(P2):0【定理 6】k1 < x1 w x2 c k2 =a > 0T(k1)A0f(k2)>0 b k1 :二一：二 k2 2aa<0或f(k1)<0f(k2)<0bk1:二一：二k22a如圖所示:二、二分法(1)對于在區間b,b上連續，且滿足f(aW(b)<0的函數y=f(x)通過不斷把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，從而得到零點從而得到零點近似值的方法，叫做二分法.(2)用二分法求函數零點的近似值第一步：確定區間la,

5、b,驗證f(aW(b)<0,給定精確度.第二步：求區間(a,b)的中點為.第三步：計算fx1©f(%)=0,則xi就是函數的零點；f(a)f(x,)<0,則令b=xi；函f(xiW(b)<0,則令a=xi.第四步：判斷是否達到精確度s,即若ab<名，則得到零點的近似值a(或b),否則重復第二、三、四步.岸例題精講1.函數零點的判定及求解xxx_2【例1】(2010宣武一模理4)設函數f(x)=x3口1，則其零點所在的區間為(2A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【例2】函數igx-的零點所在的區間是()xA.(0,1)B.(1,2)C.(2

6、,3)D,(3,10)x1,x<0,【例3】已知函數f(x)=<則函數y=ff(x)+1的零點個數是(log2x,x0,A.4B.3C.2D.1【例4】(2009石景山一模)已知函數y=f(x)和y=g(x)在一2,2的圖象如下所示：給出下列四個命題：方程f g(x )=0有且僅有6個根方程ff(xg=0有且僅有5個根其中正確的命題是方程g ' (x )j=0有且僅有3個根方程g -g(x方=0有且僅有4個根(將所有正確的命題序號填在橫線上).【例5】1一設函數 f(x)=-x-lnx ( x>0 ),則 3y = f(x)()A.在區間B.在區間11e,1一,1 L

7、3 ),(1,e )內均有零點.,(1,e州軍均無零點.(2)求函數f(x)的單調區間與極值；1C.在區間D.在區間.-,1內有零點，在區間(1,e州無零點.e1一一.-,1內無零點，在區間(1,e戶有零點.e【例6】(2009年山東文)若函數f(x尸ax-x-a(a>0且a#1)有兩個零點，則實數a的取值范圍是.2.二次函數根的分布及零點問題223【例1】已知關于X的萬程x(2m8)x+m-16=0的兩個實根x1和x2,滿足*2<一父入，求實數m的2取值范圍.2【例2】若關于x的萬程3x5x+a=0的一個根在(2,0)內，另一個跟在(1,3)內，求a的范圍.2xx【例3】若關于x

8、的萬程2-2a+a+1=0有兩個不同的正實根，則實數a的取值范圍為.【例4】已知mwR,函數f(x)=m(x21)+xa恒有零點，求實數a的取值范圍.3.函數圖象與方程1 x【例5】(2010?上海)(上海卷理17)若x0是方程=x3的解，則x0屬于區間()2212121A-B1JB-<2,3；C-b,3.JD,10,3；【例6】設X,x2,x3依次是方程log1x+2=x,log2(x+2)="二x,2x+x=2的實數根，試比較X,x2,兄的大小.【例1】試判斷方程|x29|=a+2實根的個數.【例2】(2011湖南六校聯考)設整，x2是方程lnx2=m(m為實常數)的兩個根

9、，則x+x2的值為()A.4B.2C.-4D.與m有關【例3】(2011浙江金華十校)已知f(x)=x2-2x+c,f1(x尸f(x),fn(x)=f,fn(x)(n>2,nwN*)若函數y=fn(x)x不存在零點，則c的取值范圍是()1_3_9_9A.c<_B.c>C.c>D.c>4444【例4】(07廣東)已知a是實數，函數f(x)=2ax2+2x3a,如果函數y=f(x)在區間1,1上有零點，求a的取值范圍.【例5】已知函數f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.(1)求f(x近區間E,t+1上的最大值h(t1ax.(2)是否存在實數m使得y=f(x

10、)的圖像與y=g(x)的圖像有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由.函數零點的綜合應用【例1】(2010年西城二模理14)已知函數f(x)=ex+alnx的定義域是D,關于函數f(x)給出下列命題： 對于彳J意aw(0,+s),函數f(x)是D上的減函數； 對于彳J意aw(q,0),函數f(x)存在最小值； 存在aw(0,)，使得對于任意的xwD,都有f(x)>0成立； 存在aW(-,0),使得函數f(x)有兩個零點.其中正確命題的序號是.(寫出所有正確命題的序號).【例2】(2009天津文21)設函數f(x尸x3+x2+(m2-1)x(xWR),其中m>

11、0.3(1)當m=1時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線的斜率；(3)已知函數f (x )有三個互不相同的零點0, X1 , X2 ,且Xi <X2 .若對任意的XE k,X2,f(x)>f(1)恒成立，求m的取值范圍.【例3】(2009?廣東)已知二次函數y=g(X)的導函數的圖象與直線y=2X平行，且y=g(X)在x=_1處取得極小值m-1(m00).設f(X)=g(Xp.(1)若曲線y=f(X曠的點p到點Q(0,2)的距離的最小值為2,求m的值；(2)k(kwR)如何取值時，函數y=fx-kX存在零點，并求出零點.【例4】(湖南理22)已知函數f(x)=x3,g(

12、x)=x+jX.求函數h(x)=f(x)g(x)的零點個數，并說明理由；【例5】設函數f(x)=x3+2ax+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中xWR,a,b為常數，已知曲線y=f(x)與y=g(x)在點(2,0)處有相同的切線1.(I)求a,b的值，并寫出切線1的方程；(II)若方程f(x)+g(x)=mx有三個互不相同的實根0,%,X2,其中x1<x2,且對任意的xx1,x2|,伙)+g(X<m(x-1)恒成立，求實數m的取值范圍.三少課堂總結1. 函數零點的判定判斷函數y=f(x盧某區間上是否有零點，有幾個零點，常用以下方法：解方程：方程根的個數即為零點的個數定理法：利

13、用函數零點存在性定理直接判斷圖像法：轉化為求兩個函數圖像的交點個數問題進行判斷2. 函數與方程思想函數的思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而是問題獲得解決.方程的思想，就是分析數學中的變量間的等量關系，從而建立方程或方程組或構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題.是問題獲得解決.有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌、達到解決問題的目的.0贏*課堂檢測k.【習題1】已知二次方程(m2)x2+3mx+1=0的兩個根分別屬于(1,0)和(0,2),求m的取值范圍.x22x3xW0【習題2】(2010福建)函數f(x)=4x2x3,x0,的零點的個數為()-2lnx,x0A.0B.1C.2D.3【習題3】已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區間(-1,0)內，另一根在區間(1,2)內，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區間(0,1)內，求m的范圍.2【習題4】(2010廣東深圳)已知函數f