1、小學數學奧林匹克競賽真題集錦及解答一、填空題1三個連續偶數，中間這個數是m，則相鄰兩個數分別是_m-2_和_m+2_。2有一種三位數，它能同時被2、3、7整除，這樣的三位數中，最大的一個是_966_，最小的一個是_126_。解題過程：2×3×7=42；求三位數中42的倍數126、168、9663小麗發現：小表妹和讀初三哥哥的歲數是互質數，積是144，小表妹和讀初三哥哥的歲數分別是_9_歲和_16_歲。解題過程：144=2×2×2×2×3×3；（9、16）=14一個四位數，它的第一個數字等于這個數中數字0的個數，第二個數字表示

2、這個數中數字1的個數，第三個數字表示這個數中數字2的個數，第四個數字等于這個數中數字3的個數，那么這個四位數是_1210_。52310的所有約數的和是_6912_。解題過程：2310=2×3×5×7×11；約數和=（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11）6已知2008被一些自然數去除，得到的余數都是10，這些自然數共有_11_個。解題過程：2008-10=1998；1998=2×33×37；約數個數=（1+1）×（1+3）×（1+1）=16（個）其中小于1

3、0的約數共有1，2，3，6，9；16-5=11（個）7從1、2、3、1998、1999這些自然數中，最多可以取多少個數，才能使其中每兩個數的差不等于4？_1000_。解題過程：1，5，9，13，1997（500個） 隔1個取1個，共取250個2，6，10，14，1998（500個）隔1個取1個，共取250個3，7，11，15，1999（500個）隔1個取1個，共取250個4，8，12，16，1996（499個）隔1個取1個，共取250個8黑板上寫有從1開始的若干個連續的奇數：1，3，5，7，9，11，13擦去其中的一個奇數以后，剩下的所有奇數之和為1998，那么擦去的奇數是_27_。解題過程：

4、1+3+5+（2n-1）=n2；45×45=2025；2025-1998=279一個1994位的整數，各個數位上的數字都是3。它除以13，商的第200位（從左往右數）數字是_5_，商的個位數字是_6_，余數是_5_。解題過程：333333333÷13=256410 25641010在小于5000的自然數中，能被11整除，并且數字和為13的數，共有_18_個。解題過程：能被11整除的條件是：奇數位數字和與偶數位數字和相差為11的倍數；1位數不滿足條件；2位數也不滿足條件（各位數字應相等，數字和不等于13）；應為3或4位數；13=12+1；偶數位數字和=1，奇數位數字和=12時

5、，共有14個； 偶數位數字和=12，奇數位數字和=1時，共有4個；14+4=18（個）11設n是一個四位數，它的9倍恰好是其反序數（例如：123的反序數是321），則n_1089_。解題過程：千位只能是1；個位只能是9；百位只能是0或1；如百位是1，則十位必須為0， 但所得數1109不滿足題意；如百位是0，則十位必須為8，得數1089滿足題意12555555的約數中，最大的三位數是_555_。解題過程：555555=3×5×11×37×91；3×5×37=55513設a與b是兩個不相等的自然數，如果它們的最小公倍數是72，那么a與b之

6、和可以有_17_種不同的值。解題過程：72=2×2×2×3×3；a=72，b=（1+3）×（1+2）-1=12-1=11；a=36，b=8或24； a=24，b=9或18；a=18，b=8；a=9，b=8；11+6=1714小明的兩個衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1，2，3，13。如果從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫兩數的乘積，可以得到許多不相等的乘積，那么，其中能被6整除的乘積共有_21_個。解題過程：6×1，2，3，13 共13個；12×7，8，9，13=6×14，16，18，26 共7

7、個；9×10=6×15 共1個； 13+7+1=21（個）15一列數1，2，4，7，11，16，22，29，這列數的組成規律是第2個數比第1個數多1；第3個數比第2個數多2；第4個數比第3個數多3；依此類推。那么這列數左起第1992個數除以5的余數是_2_。解題過程：a2-a1=1；a3-a2=2；an-1-an-2=n-2；an-an-1=n-1； an-a1=1+2+3+n-1=n（n-1）/2；an=n（n-1）/2+1； a1992=1992×（1992-1）/2+1=996×1991+1=（995+1）×（1990+1）+116兩個自

8、然數的和是50，它們的最大公約數是5，則這兩個數的差是_20或40_。解題過程：（a、b）=5；5|a，5|b；a=5，b=45或a=15，b=3517將一個兩位數的個位數字與十位數字交換后得到一個新數，它與原數相加，得到的和恰好是某個自然數的平方，這個和是_121_。解題過程：和可能為兩位數，也可能為三位數，但肯定是11的倍數，即11的平方。18100以內所有被5除余1的自然數的和是_970_。解題過程：1+6+11+16+91+96=（1+96）×20÷2=970199個連續的自然數，它們都大于80，那么其中質數至多_4_個。解題過程：9個連續的自然數，末尾可能是0-9

9、，末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除，末尾是5 的一定被5整除，每連續3個自然數中一定有一個是3的倍數，只有末尾是1、3、7、9的數可能是質數于是質數只可能在這5個連續的奇數中，所以質數個數不能超過420如果一個自然數的約數的個數是奇數，我們稱這個自然數為“希望數”，那么，1000以內最大的“希望數”是_961_。解題過程：自然數的因數都是成對出現的，比如1和本身是一對，出現奇數個因數的時候是因為其中有一對因數是相等的，即這個自然數是完全平方數。1000以內最大的完全平方數是 312=961，所以這個希望數是 96121兩個數的最大公約數是21，最小公倍數是126。這兩個數的和是_105或

10、147_。解題過程：126=21×2×3；這兩個數是42和63，或21和12622甲數是36，甲乙兩數的最小公倍數是288，最大公約數是4，乙數應該是_32_。解題過程：4| 36 4×8=32 36÷4=9 288÷4÷9=823一個三位數能同時被2、5、7整除，這樣的三位數按由小到大的順序排成一列，中間的一個是_560_。解題過程：2×5×7=70；70×2，3，4，13，14=140，210，280，910，98024有四個互不相等的自然數，最大數與最小數的差等于4，最小數與最大數的積是一個奇數，而

11、這四個數的和是最小的兩位奇數，那么這四個數的乘積是_30_。解題過程：最小數、最大數均為奇數，中間有一個偶數，4個數和為11，分別為1、2、3、525兩個整數相除得商數是12和余數是26，被除數、除數、商數及余數的和等于454，除數是_30_。解題過程：設除數是X，則12X+26+X+12+26=454；X=3026在1×2×3××100的積的尾部有_21_個連續的零。解題過程：尾數為5的共10個，尾數1個0的9個，2個0的1個，共21個027有0、1、4、7、9五個數字，從中選出四個數組成一個四位數（例如1409），把其中能被3整除的這樣的四位數，從小

12、到大排列起來，第5個數的末位數字是_9_。解題過程：1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、4107、41701479、1497、1749、179428一些四位數，百位數字都是3，十位數字都是6，并且他們既能被2整除又能被3整除。甲是這樣四位數中最大的，乙是最小的，則甲乙兩數的千位數字和個位數字（共四個數字）的總和是_18_。解題過程：求?36?中能被3整除的偶數；甲為9366，乙為1362；9+6+1+2=1829把自然數按由小到大的順序排列起來組成一串數：1、2、3、9、10、11、12、，把這串數中兩位以上的數全部隔開成一位數字，組成第二串數：1、

13、2、9、1、0、1、1、1、2、1、3、。則第一串數中100的個位數字0在第二串數中是第_192_個數。解題過程：1-9（共9個），10-99（共180個），100（共3個）30某個質數與6、8、12、14之和都仍然是質數，一共有_1_個滿足上述條件的質數。解題過程：除2和5以外，其它質數的個位都是1，3，7，9；6，8，12，14都是偶數，加上唯一的偶數質數2和仍然是偶數，所以不是2；14加上任何尾數是1的質數，最后的尾數都是5，一定能被5整除；12加上任何尾數是3的質數，尾數也是5；8加上任何尾數是7的質數，尾數也是5；6加上任何尾數是9的質數，尾數也是5；所以，這個質數的末位一定不是1，

14、3，7，9；只有5符合31已知a與b的最大公約數是12，a與c的最小公倍數是300，b與c的最小公倍數也是300。那么滿足上述條件的自然數a、b、c共有_30_組。（例如a12，b300，c300，與a300，b12，c300是不同的兩個自然數組）解題過程：（a，b）=12，a=12m，b=12n（m，n=1或5或25，且（m，n）=1）；a，c=300，b，c=300，c=25k（k=1，2，3，4，6，12）；當m=1，n=1時，a=12，b=12，c=25k當m=1，n=5時，a=12，b=60，c=25k當m=1，n=25時，a=12，b=300，c=25k當m=5，n=1時，a=60

15、，b=12，c=25k當m=25，n=1時，a=300，b=12，c=25k故有30組32從左向右編號為1至1991號的1991名同學排成一行。從左向右1至11報數，報數為11的同學原地不動，其余同學出列；然后留下的同學再從左向右1至11報數，報數為11的同學留下，其余同學出列；留下的同學第三次從左向右1至11報數，報到11的同學留下，其余同學出列。那么最后留下的同學中，從左邊數第一個人的最初編號是_1331_。解題過程：11×11×11=133133在1，9，8，9后面寫一串這樣的數字：先計算原來這4個數的后兩個之和8917，取個位數字7寫在1，9，8，9的后面成為1，9

16、，8，9，7；再計算這5個數的后兩個之和9716；取個位數字6寫在1，9，8，9，7的后面成為1，9，8，9，7，6；再計算這6個數的后兩個之和7613，取個位數字3寫在1，9，8，9，7，6的后面成為1，9，8，9，7，6，3。繼續這樣求和，這樣填寫，成為數串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4那么這個數串的前398個數字的和是_1990_。解題過程：1，9，|8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，|8，9，7，6，3，398-2=396；396÷12=33；8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60；60×33+10=1990二、判斷題1兩

17、個連續整數中必有一個奇數一個偶數。（ ）2偶數的個位一定是0、2、4、6或8。（ ）3奇數的個位一定是1、3、5、7或9。（ ）4所有的正偶數均為合數。（× ）5奇數與奇數的和或差是偶數。（ ）6偶數與奇數的和或差是奇數。（ ）7奇數與奇數的積是奇數。（ ）8奇數與偶數的積是偶數。（ ）9任何偶數的平方都能被4整除。（ ）10任何奇數的平方被8除都余1。（ ）11相鄰偶數最大公約數為2，最小公倍數為它們乘積的一半。（ ）12任何一個自然數，不是質數就是合數。 （× ）13互質的兩個數可以都不是質數。（ ）14如果兩個數的積是它們的最小公倍數，這兩個數一定是互質數。（）三、計

18、算題1能不能將（1）505；（2）1010寫成10個連續自然數之和？如果能，把它寫出來；如果不能，說明理由。解題過程：S=n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+（n+4）+（n+5）+（n+6）+（n+7）+（n+8）+（n+9）=10n+45（一定是奇數）（1）505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54（2）1010是偶數，不能寫成10個連續自然數之和2（1）從1到3998這3998個自然數中，有多少個能被4整除？（2）從1到3998這3998個自然數中，有多少個數的各位數字之和能被4整除？解題過程：（1）3998÷4=999（個）2（2）考慮個位，選法有

19、10種;十位，選法有10種;百位選法有10種;選定之后個位、十位、百位數字之和除以4的余數有3種情況，余0、余1、余2、余3，對應這四種在千位上剛好有一種與之對應，共有1000個；1000-1=999（個）3請將1，2，3，99，100這一百個自然數中既是奇數又是合數的自然數排成一行，使每兩個相鄰的數都不互質（若一行寫不下，可移至第二行接著寫，若第二行仍寫不下，可移至第三行接著寫）。解題過程：9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，9915，25，35，55，65，85，9521，35，49，77，9133，55，77，9925，35，55，65

20、，85，95；15，9，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99；77，91，494一個自然數除以8得到的商加上這個數除以9的余數，其和是13。求所有滿足條件的自然數。解題過程：設這個數為n，除以9的余數r8，所以除以8得到的商q13-8=5，且q13n=8q+k=9p+r=>k=9p+r-8p=9p+r-8×（13-r）=9×（p+r）-104=4q=5，n=8×5+4=44q=6，n=8×6+4=52q=7，n=8×7+4=60q=8，n=8×8+4=68q=9，n=8×9

21、+4=76q=10，n=8×10+4=84q=11，n=8×11+4=92q=12，n=8×12+4=100q=13，n=8×13+4=1085有紅、黃、藍、綠四種顏色的卡片，每種顏色的卡片各有3張。相同顏色的卡片上寫相同的自然數，不同顏色的卡片上寫不同的自然數。老師把這12張卡片發給6名同學，每人得到兩張顏色不同的卡片。然后老師讓學生分別求出各自兩張卡片上兩個自然數的和。六名同學交上來的答案分別為：92、125、133、147、158、191。老師看完6名同學的答案后說，只有一名同學的答案錯了。問：四種顏色卡片上所寫各數中最小數是多少？解題過程：設四張

22、卡片上的數從小到大分別為A、B、C、D，則六位同學所計算的分別為A+B、A+C、A+D、B+C、B+D、C+D這6個和數，且最小的兩個依次為A+B、A+C，最大的兩個依次為C+D、B+D。（A+B）+（C+D）=（A+C）+（B+D）=（A+D）+（B+C）；而92+191=283=125+158，133+147=280283；所以，A+B=92，A+C=125，B+D=158，C+D=191；133、147中有一個不正確。若147是正確的，則B+C=147，A+D=283-147=136。C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33=> C=90，B=57，A=92-57=35，

23、D=191-90=101若133是正確的，則A+D=133，B+C=283-133=150。C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33 =>B=50，C=83，A=92-50=42，D=191-83=108所以，四種顏色卡片上所寫各數中最小數是35或42。6有三個數字能組成6個不同的三位數，這6個三位數的和是2886，求所有這樣的6個三位數中最小的三位數。（說明理由）解題過程：設這三個數字從小到大分別為A、B、C，顯然，它們互不相等且都不等于0。則222×（A+B+C）=2886 => A+B+C=2886÷222=13百位數為1是最小的，另兩個數分別為

24、3和9；所以最小的三位數為1397求小于1001且與1001互質的所有自然數的和。解題過程：10017×11×13121000=（11000）×1000÷250050071421994（7994）×142÷2710711122990（11990）×90÷2450451326988（13988）×76÷23803877+154+231+924=（77+924）×12÷2=600691+182+273+910=（91+910）×10÷2=5005143+286+429+858=（143+858）×6÷2=3003500500710714504538038+6006+5005+30033603608三張卡片，在它們上面各寫一個數字（如圖）。從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數、二位數、三位數。請你將其中的質數都寫出來。解題過程：2、3、13、23、319一串數排成一行，它們的規律是這樣的：頭兩個數都是1，從第三個數開始，每一個數都是前兩個數的和，也就是：