1、第九章 多元函數微分法及其應用教學目的：1、理解多元函數的概念和二元函數的幾何意義。2、了解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上的連續函數的性質。3、理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。4、理解方向導數與梯度的概念并掌握其計算方法。5、掌握多元復合函數偏導數的求法。6、會求隱函數（包括由方程組確定的隱函數）的偏導數。7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。8、了解二元函數的二階泰勒公式。9、理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件

2、，會求二元函數的極值，會用拉格郎日乘數法求條件極值，會求簡多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。教學重點：1、二元函數的極限與連續性；2、函數的偏導數和全微分；3、方向導數與梯度的概念及其計算；4、多元復合函數偏導數；5、隱函數的偏導數6、曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；7、多元函數極值和條件極值的求法。教學難點：1、二元函數的極限與連續性的概念；2、全微分形式的不變性；3、復合函數偏導數的求法；4、二元函數的二階泰勒公式；5、隱函數（包括由方程組確定的隱函數）的偏導數；6、拉格郎日乘數法；7、多元函數的最大值和最小值。§9. 1 多元函數的基本概念一、教學目

3、的與要求：1理解多元函數的概念和二元函數的幾何意義。2了解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上的連續函數的性質。二、重點（難點）：二元函數極限的定義與連續性三、教學方式：講授式教學結合多媒體講授內容：一、平面點集n維空間 1平面點集 由平面解析幾何知道, 當在平面上引入了一個直角坐標系后, 平面上的點P與有序二元實數組(x, y)之間就建立了一一對應. 于是, 我們常把有序實數組(x, y)與平面上的點P視作是等同的. 這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面. 二元的序實數組(x, y)的全體, 即R2=R´R=(x, y)|x, yÎR就表示坐標平面. 坐標平面上具

4、有某種性質P的點的集合, 稱為平面點集, 記作 E=(x, y)| (x, y)具有性質P. 例如, 平面上以原點為中心、r為半徑的圓內所有點的集合是 C=(x, y)| x2+y2<r2. 如果我們以點P表示(x, y), 以|OP|表示點P到原點O的距離, 那么集合C可表成 C=P| |OP|<r. 鄰域: 設P0(x0, y0)是xOy平面上的一個點, d是某一正數. 與點P0(x0, y0)距離小于d的點P (x, y)的全體, 稱為點P0的d鄰域, 記為U (P0, d), 即 或. 鄰域的幾何意義: U (P0, d)表示xOy平面上以點P0(x0, y0)為中心、d

5、>0為半徑的圓的內部的點P (x, y)的全體. 點P0的去心d鄰域, 記作, 即 . 注: 如果不需要強調鄰域的半徑d, 則用U (P0)表示點P0的某個鄰域, 點P0的去心鄰域記作. 點與點集之間的關系: 任意一點PÎR2與任意一個點集EÌR2之間必有以下三種關系中的一種: (1)內點: 如果存在點P的某一鄰域U(P), 使得U(P)ÌE, 則稱P為E的內點; (2)外點: 如果存在點P的某個鄰域U(P), 使得U(P)ÇE=Æ, 則稱P為E的外點; (3)邊界點: 如果點P的任一鄰域內既有屬于E的點, 也有不屬于E的點, 則稱P點為

6、E的邊點. E的邊界點的全體, 稱為E的邊界, 記作¶E. E的內點必屬于E; E的外點必定不屬于E; 而E的邊界點可能屬于E, 也可能不屬于E . 聚點: 如果對于任意給定的d>0, 點P的去心鄰域內總有E中的點, 則稱P是E的聚點. 由聚點的定義可知, 點集E的聚點P本身, 可以屬于E, 也可能不屬于E . 例如, 設平面點集 E=(x, y)|1<x2+y2£2. 滿足1<x2+y2<2的一切點(x, y)都是E的內點; 滿足x2+y2=1的一切點(x, y)都是E的邊界點, 它們都不屬于E; 滿足x2+y2=2的一切點(x, y)也是E的邊界

7、點, 它們都屬于E; 點集E以及它的界邊¶E上的一切點都是E的聚點. 開集: 如果點集E 的點都是內點, 則稱E為開集. 閉集: 如果點集的余集E c為開集, 則稱E為閉集. 開集的例子: E=(x, y)|1<x2+y2<2. 閉集的例子: E=(x, y)|1£x2+y2£2. 集合(x, y)|1<x2+y2£2既非開集, 也非閉集. 連通性: 如果點集E內任何兩點, 都可用折線連結起來, 且該折線上的點都屬于E, 則稱E為連通集. 區域(或開區域): 連通的開集稱為區域或開區域. 例如E=(x, y)|1<x2+y2<

8、;2. 閉區域: 開區域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區域. 例如E = (x, y)|1£x2+y2£2. 有界集: 對于平面點集E, 如果存在某一正數r, 使得 EÌU(O, r), 其中O是坐標原點, 則稱E為有界點集. 無界集: 一個集合如果不是有界集, 就稱這集合為無界集. 例如, 集合(x, y)|1£x2+y2£2是有界閉區域; 集合(x, y)| x+y>1是無界開區域; 集合(x, y)| x+y³1是無界閉區域. 2. n維空間 設n為取定的一個自然數, 我們用Rn表示n元有序數組(x1, x2, 

9、15; × × , xn)的全體所構成的集合, 即 Rn=R´R´× × ×´R=(x1, x2, × × × , xn)| xiÎR, i=1, 2, × × ×, n. Rn中的元素(x1, x2, × × × , xn)有時也用單個字母x來表示, 即x=(x1, x2, × × × , xn). 當所有的xi (i=1, 2, × × ×, n)都為零

10、時, 稱這樣的元素為Rn中的零元, 記為0或O . 在解析幾何中, 通過直角坐標, R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立一一對應, 因而Rn中的元素x=(x1, x2, × × × , xn)也稱為Rn中的一個點或一個n維向量, xi稱為點x的第i個坐標或n維向量x的第i個分量. 特別地, Rn中的零元0稱為Rn中的坐標原點或n維零向量. 為了在集合Rn中的元素之間建立了解, 在Rn中定義線性運算如下: 設x=(x1, x2, × × × , xn), y=(y1, y2, × × ×

11、; , yn)為Rn中任意兩個元素, lÎR, 規定 x+y=(x1+ y1, x2+ y2, × × × , xn+ yn), lx=(lx1, lx2, × × × , lxn). 這樣定義了線性運算的集合Rn稱為n維空間. Rn中點x=(x1, x2, × × × , xn)和點 y=(y1, y2, × × × , yn)間的距離, 記作r(x, y), 規定 . 顯然, n=1, 2, 3時, 上述規定與數軸上、直角坐標系下平面及空間中兩點間的距離一至.

12、Rn中元素x=(x1, x2, × × × , xn)與零元0之間的距離r(x, 0)記作|x|(在R1、R2、R3中, 通常將|x|記作|x|), 即 . 采用這一記號, 結合向量的線性運算, 便得 . 在n維空間Rn中定義了距離以后, 就可以定義Rn中變元的極限: 設x=(x1, x2, × × × , xn), a=(a1, a2, × × × , an)ÎRn. 如果 |x-a|®0, 則稱變元x在Rn中趨于固定元a, 記作x®a . 顯然, x®a 

13、19; x1®a1, x2®a2, × × × , xn®an . 在Rn中線性運算和距離的引入, 使得前面討論過的有關平面點集的一系列概念, 可以方便地引入到n(n³3)維空間中來, 例如, 設a=(a1, a2, × × × , an)ÎRn, d是某一正數, 則n維空間內的點集 U(a, d)=x| xÎ Rn, r(x, a)<d就定義為Rn中點a的d鄰域. 以鄰域為基礎, 可以定義點集的內點、外點、邊界點和聚點, 以及開集、閉集、區域等一系列概念. 二. 多元

14、函數概念 例 圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h之間具有關系 V =pr2h.這里, 當r、h在集合(r , h) | r>0, h>0內取定一對值(r , h)時, V對應的值就隨之確定. 例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關系 ,其中R為常數. 這里, 當V、T在集合(V ,T) | V>0, T>0內取定一對值(V, T)時, p的對應值就隨之確定.例3 設R 是電阻R1、R2并聯后的總電阻, 由電學知道, 它們之間具有關系 .這里, 當R1、R2在集合( R1, R2) | R1>0, R2>0內取定一對值( R1 , R2

15、)時, R的對應值就隨之確定. 定義1 設D是R2的一個非空子集, 稱映射f : D®R為定義在D上的二元函數, 通常記為z=f(x, y), (x, y)ÎD (或z=f(P), PÎD)其中點集D稱為該函數的定義域, x, y稱為自變量, z稱為因變量. 上述定義中, 與自變量x、y的一對值(x, y)相對應的因變量z的值, 也稱為f在點(x, y)處的函數值, 記作f(x, y), 即z=f(x, y). 值域: f(D)=z| z=f(x, y), (x, y)ÎD. 函數的其它符號: z=z(x, y), z=g(x, y)等. 類似地可定義三

16、元函數u=f(x, y, z), (x, y, z)ÎD以及三元以上的函數. 一般地, 把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內的點集D, 映射f : D®R就稱為定義在D上的n元函數, 通常記為 u=f(x1, x2, × × × , xn), (x1, x2, × × × , xn)ÎD, 或簡記為 u=f(x), x=(x1, x2, × × × , xn)ÎD, 也可記為 u=f(P), P(x1, x2, × × × , xn

17、)ÎD . 關于函數定義域的約定: 在一般地討論用算式表達的多元函數u=f(x)時, 就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數的自然定義域. 因而, 對這類函數, 它的定義域不再特別標出. 例如, 函數z=ln(x+y)的定義域為(x, y)|x+y>0(無界開區域); 函數z=arcsin(x2+y2)的定義域為(x, y)|x2+y2£1(有界閉區域). 二元函數的圖形: 點集(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)ÎD稱為二元函數z=f(x, y)的圖形, 二元函數的圖形是一張曲面. 例如 z=ax+by+c是一張平面,

18、 而函數z=x2+y2的圖形是旋轉拋物面. 三. 多元函數的極限 與一元函數的極限概念類似, 如果在P(x, y)®P0(x0, y0)的過程中, 對應的函數值f(x, y)無限接近于一個確定的常數A, 則稱A是函數f(x, y)當(x, y)®(x0, y0)時的極限. 定義2 設二元函數f(P)=f(x, y)的定義域為D, P0(x0, y0)是D的聚點. 如果存在常數A, 對于任意給定的正數e總存在正數d, 使得當時, 都有 |f(P)-A|=|f(x, y)-A|<e成立, 則稱常數A為函數f(x, y)當(x, y)®(x0, y0)時的極限,

19、記為 , 或f(x, y)®A (x, y)®(x0, y0), 也記作 或f(P)®A(P®P0). 上述定義的極限也稱為二重極限. 例4. 設, 求證. 證 因為 , 可見"e >0, 取, 則當 , 即時, 總有|f(x, y)-0|<e, 因此. 必須注意: (1)二重極限存在, 是指P以任何方式趨于P0時, 函數都無限接近于A. (2)如果當P以兩種不同方式趨于P0時, 函數趨于不同的值, 則函數的極限不存在. 討論: 函數在點(0, 0)有無極限？ 提示: 當點P(x, y)沿x軸趨于點(0, 0)時, ; 當點P(x,

20、 y)沿y軸趨于點(0, 0)時, . 當點P (x, y)沿直線y=kx有 . 因此, 函數f(x, y)在(0, 0)處無極限. 極限概念的推廣: 多元函數的極限. 多元函數的極限運算法則: 與一元函數的情況類似. 例5 求. 解: =1´2=2. 四. 多元函數的連續性 定義3 設二元函數f(P)=f (x, y)的定義域為D, P0(x0, y0)為D的聚點, 且P0ÎD . 如果 , 則稱函數f (x, y)在點P0(x0, y0)連續. 如果函數f (x, y)在D的每一點都連續, 那么就稱函數f (x, y)在D上連續, 或者稱f (x, y)是D上的連續函數

21、. 二元函數的連續性概念可相應地推廣到n元函數f(P)上去. 例6設f(x,y)=sin x, 證明f(x, y)是R2上的連續函數. 證 設P0(x0, y0)Î R2. "e>0, 由于sin x在x0處連續, 故$d>0, 當|x-x0|<d時, 有 |sin x-sin x0|<e. 以上述d作P0的d鄰域U(P0, d), 則當P(x, y)ÎU(P0, d)時, 顯然 |f(x, y)-f(x0, y0)|=|sin x-sin x0|<e, 即f(x, y)=sin x在點P0(x0, y0) 連續. 由P0的任意性知,

22、 sin x作為x, y的二元函數在R2上連續. 證 對于任意的P0(x0, y0)ÎR2. 因為 , 所以函數f(x,y)=sin x在點P0(x0, y0)連續. 由P0的任意性知, sin x作為x, y的二元函數在R2上連續. 類似的討論可知, 一元基本初等函數看成二元函數或二元以上的多元函數時, 它們在各自的定義域內都是連續的. 定義4設函數f(x, y)的定義域為D, P0(x0, y0)是D的聚點. 如果函數f(x, y)在點P0(x0, y0)不連續, 則稱P0(x0, y0)為函數f(x, y)的間斷點. 例如 函數,其定義域D=R2, O(0, 0)是D的聚點.

23、f(x, y)當(x, y)®(0, 0)時的極限不存在, 所以點O(0, 0)是該函數的一個間斷點. 又如, 函數, 其定義域為D=(x, y)|x2+y2¹1, 圓周C=(x, y)|x2+y2=1上的點都是D的聚點, 而f(x, y)在C上沒有定義, 當然f(x, y)在C上各點都不連續, 所以圓周C上各點都是該函數的間斷點. 注: 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點. 可以證明, 多元連續函數的和、差、積仍為連續函數; 連續函數的商在分母不為零處仍連續; 多元連續函數的復合函數也是連續函數. 多元初等函數: 與一元初等函數類似, 多元初等函數是指可用一個式子所表示

24、的多元函數, 這個式子是由常數及具有不同自變量的一元基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算而得到的. 例如, sin(x+y), 都是多元初等函數. 一切多元初等函數在其定義區域內是連續的. 所謂定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域. 由多元連續函數的連續性, 如果要求多元連續函數f(P)在點P0處的極限, 而該點又在此函數的定義區域內, 則 . 例7 求. 解: 函數是初等函數, 它的定義域為 D=(x, y)|x¹0, y¹0. P0(1, 2)為D的內點, 故存在P0的某一鄰域U(P0)ÌD, 而任何鄰域都是區域, 所以U(P0)是f(x, y)的一

25、個定義區域, 因此 . 一般地, 求時, 如果f(P)是初等函數, 且P0是f(P)的定義域的內點, 則f(P)在點P0處連續, 于是 . 例8 求. 解: . 多元連續函數的性質: 性質1 (有界性與最大值最小值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數, 必定在D上有界, 且能取得它的最大值和最小值. 性質1就是說, 若f(P)在有界閉區域D上連續, 則必定存在常數M>0, 使得對一切PÎD, 有|f(P)|£M; 且存在P1、P 2ÎD, 使得 f(P1)=maxf(P)|PÎD, f(P2)=minf(P)|PÎD, 性質2 (介值定理

26、) 在有界閉區域D上的多元連續函數必取得介于最大值和最小值之間的任何值. §9. 2 偏導數一、教學目的與要求：1理解多元函數偏導數概念，偏導數的計算。2了解高階偏導數的定義和算法。二、重點（難點）：偏導數計算三、教學方式：講授式教學結合多媒體講授內容：一、偏導數的定義及其計算法 對于二元函數z=f(x, y), 如果只有自變量x 變化, 而自變量y固定, 這時它就是x的一元函數, 這函數對x的導數, 就稱為二元函數z=f(x, y)對于x的偏導數. 定義 設函數z=f(x, y)在點(x0, y0)的某一鄰域內有定義, 當y固定在y0而x在x0處有增量Dx時, 相應地函數有增量f(

27、x0+Dx, y0)-f(x0, y0). 如果極限 存在, 則稱此極限為函數z=f(x, y)在點(x0, y0)處對x的偏導數, 記作, , , 或.例如. 類似地, 函數z=f(x, y)在點(x0, y0)處對y 的偏導數定義為, 記作 , , , 或fy(x0, y0). 偏導函數: 如果函數z=f(x, y)在區域D內每一點(x, y)處對x的偏導數都存在, 那么這個偏導數就是x、y的函數, 它就稱為函數z=f(x, y)對自變量的偏導函數, 記作, , , 或.偏導函數的定義式: . 類似地, 可定義函數z=f(x, y)對y的偏導函數, 記為 , , zy , 或. 偏導函數的

28、定義式: .求時, 只要把y暫時看作常量而對x求導數; 求時, 只要把x暫時看作常量而對y求導數. 討論: 下列求偏導數的方法是否正確？ , . , . 偏導數的概念還可推廣到二元以上的函數. 例如三元函數u=f(x, y, z)在點(x, y, z)處對x的偏導數定義為 , 其中(x, y, z)是函數u=f(x, y, z)的定義域的內點. 它們的求法也仍舊是一元函數的微分法問題. 例1 求z=x2+3xy+y2在點(1, 2)處的偏導數. 解 , ., . 例2 求z=x2sin 2y的偏導數. 解 , . 例3 設, 求證: . 證 , . . 例4 求的偏導數. 解 ; . 例5 已

29、知理想氣體的狀態方程為pV=RT(R為常數), 求證: . 證 因為, ; , ; , ; 所以. 例5 說明的問題: 偏導數的記號是一個整體記號, 不能看作分子分母之商. 二元函數z=f(x, y)在點(x0, y0)的偏導數的幾何意義: fx(x0, y0)=f(x, y0)x¢是截線z=f(x, y0)在點M0處切線Tx對x軸的斜率. fy(x0, y0) =f(x0, y)y¢是截線z=f(x0, y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率. 偏導數與連續性: 對于多元函數來說, 即使各偏導數在某點都存在, 也不能保證函數在該點連續. 例如 在點(0, 0)有, fx(0,

30、 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函數在點(0, 0)并不連續.提示: , ; , . 當點P(x, y)沿x軸趨于點(0, 0)時, 有 ; 當點P(x, y)沿直線y=kx趨于點(0, 0)時, 有 . 因此, 不存在, 故函數f(x, y)在(0, 0)處不連續. 類似地, 可定義函數z=f(x, y)對y的偏導函數, 記為 , , zy , 或. 偏導函數的定義式: .二. 高階偏導數 設函數z=f(x, y)在區域D內具有偏導數, , 那么在D內fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函數. 如果這兩個函數的偏導數也存在, 則稱它們是函數z=f(x, y)的二偏導數.

31、 按照對變量求導次序的為同有下列四個二階偏導數 如果函數z=f(x, y)在區域D內的偏導數fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏導數, 則它們的偏導數稱為函數z=f(x, y)的二階偏導數. 按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數 , , , .其中, 稱為混合偏導數., , , .同樣可得三階、四階、以及n 階偏導數.二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數. 例6 設z=x3y2-3xy3-xy+1, 求、和. 解 , ; , ; , . 由例6觀察到的問題: 定理 如果函數z=f(x, y)的兩個二階混合偏導數及在區域D內連續, 那么在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等. 類似

32、地可定義二元以上函數的高階偏導數. 例7 驗證函數滿足方程. 證 因為, 所以 , , , .因此 . 例8證明函數滿足方程, 其中. 證: , .同理 , .因此 .提示: .§9. 3 全微分及其應用一、教學目的與要求：1理解多元函數全微分的概念，會求全微分。2了解全微分存在的必要條件和充分條件。 二、重點（難點）：多元函數連續、可偏導及可微分之間的關系三、教學方式：講授式教學結合多媒體講授內容：一、全微分的定義 根據一元函數微分學中增量與微分的關系, 有 偏增量與偏微分: f(x+Dx, y)-f(x, y)»fx(x, y)Dx, f(x+Dx, y)-f(x, y

33、)為函數對x的偏增量, f x(x, y)Dx為函數對x的偏微分; f(x, y+Dy)-f(x, y)»fy(x, y)Dy, f(x, y+Dy)-f(x, y)為函數)對y的偏增量, f y(x, y)Dy為函數對y的偏微分. 全增量: Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y). 計算全增量比較復雜, 我們希望用Dx、Dy的線性函數來近似代替之. 定義 如果函數z=f(x, y)在點(x, y)的全增量 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y) 可表示為 , 其中A、B不依賴于Dx、Dy 而僅與x、y 有關, 則稱函數z=f(x, y)在點(x, y)可微分

34、, 而稱ADx+BDy為函數z=f(x, y)在點(x, y)的全微分, 記作dz, 即 dz=ADx+BDy. 如果函數在區域D內各點處都可微分, 那么稱這函數在D內可微分. 可微與連續: 可微必連續, 但偏導數存在不一定連續. 這是因為, 如果z=f(x, y)在點(x, y)可微, 則 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)=ADx+BDy+o(r),于是 , 從而 . 因此函數z=f(x, y)在點(x, y)處連續. 可微條件: 定理1(必要條件) 如果函數z=f(x, y)在點(x, y)可微分, 則函數在該點的偏導數、必定存在, 且函數z=f(x, y)在點(x, y

35、)的全微分為 . 證 設函數z=f(x, y)在點P(x, y)可微分. 于是, 對于點P的某個鄰域內的任意一點P ¢(x+Dx, y+Dy), 有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別當Dy=0時有 f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式兩邊各除以Dx, 再令Dx®0而取極限, 就得 , 從而偏導數存在, 且. 同理可證偏導數存在, 且. 所以 . 簡要證明: 設函數z=f(x, y)在點(x, y)可微分. 于是有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別當Dy=0時有 f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式兩

36、邊各除以Dx, 再令Dx®0而取極限, 就得 , 從而存在, 且. 同理存在, 且. 所以. 偏導數、存在是可微分的必要條件, 但不是充分條件. 例如, 函數在點(0, 0)處雖然有f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0, 但函數在(0, 0)不可微分, 即Dz-fx(0, 0)Dx+fy(0, 0)Dy不是較r高階的無窮小. 這是因為當(Dx, Dy)沿直線y=x趨于(0, 0)時, . 定理2(充分條件) 如果函數z=f(x, y)的偏導數、在點(x, y)連續, 則函數在該點可微分. 定理1和定理2的結論可推廣到三元及三元以上函數. 按著習慣, Dx、Dy分別記作dx、

37、dy, 并分別稱為自變量的微分, 則函數z=f(x, y)的全微分可寫作 . 二元函數的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數的微分符合疊加原理. 疊加原理也適用于二元以上的函數, 例如函數u=f (x, y, z) 的全微分為 . 例1 計算函數z=x2y +y2的全微分. 解 因為, , 所以dz=2xydx+(x2+2y)dy . 例2 計算函數z=exy在點(2, 1)處的全微分. 解 因為, , , , 所以 dz=e2dx+2e2dy . 例3 計算函數的全微分. 解 因為, , , 所以 . §9. 4 多元復合函數的求導法則一、教學目的與要求：1掌握多元復合函

38、數導數的求法。2了解全微分形式的不變性。二、重點（難點）：多元復合函數導數的求法三、教學方式：講授式教學結合多媒體講授內容： 設z=f(u, v), 而u=j(t), v=y(t), 如何求？ 設z=f(u, v), 而u=j(x, y), v=y(x, y), 如何求和？ 1. 復合函數的中間變量均為一元函數的情形 定理1 如果函數u=j(t)及v=y(t)都在點t可導, 函數z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續偏導數, 則復合函數z=fj(t), y(t)在點t可導, 且有 . 簡要證明1: 因為z=f(u, v)具有連續的偏導數, 所以它是可微的, 即有 .又因為u=j(t)及

39、v=y(t)都可導, 因而可微, 即有 , , 代入上式得 , 從而 . 簡要證明2: 當t取得增量Dt時, u、v及z相應地也取得增量Du、Dv及Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 有 , , 令Dt®0, 上式兩邊取極限, 即得 . 注:. 推廣: 設z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 則z=fj(t), y(t), w(t)對t 的導數為: . 上述稱為全導數. 2. 復合函數的中間變量均為多元函數的情形 定理2 如果函數u=j(x, y), v=y(x, y)都在點(x, y)具有對x及y的偏導數,

40、函數z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續偏導數, 則復合函數z=f j(x, y), y(x, y)在點(x, y)的兩個偏導數存在, 且有 , . 推廣: 設z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 則 , . 討論: (1)設z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 則？ 提示: , . (2)設z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 則？ 提示: , . 這里與是不同的, 是把復合函數z=fj(x, y), x, y中的y看作不變而對x的偏導數, 是把f(u, x, y)中的u及y看作不變而 對

41、x的偏導數. 與也朋類似的區別. 3復合函數的中間變量既有一元函數, 又有多元函數的情形 定理3 如果函數u=j(x, y)在點(x, y)具有對x及對y的偏導數, 函數v=y(y)在點y可導, 函數z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續偏導數, 則復合函數z=fj(x, y), y(y)在點(x, y)的兩個偏導數存在, 且有 , . 例1 設z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求和. 解 =eusin v×y+eucos v×1 =ex yy sin(x+y)+cos(x+y), =eusin v×x+eucos v×1 =exy

42、x sin(x+y)+cos(x+y). 例2 設, 而. 求和. 解 . . 例3 設z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全導數. 解 =v×et+u×(-sin t)+cos t =etcos t-e tsin t+cos t =et(cos t-sin t)+cos t . 例4 設w=f(x+y+z, xyz), f具有二階連續偏導數, 求及. 解 令u=x+y+z, v=xyz , 則w=f(u, v). 引入記號: , ; 同理有,等. , . 注: , . 例5 設u=f(x, y)的所有二階偏導數連續, 把下列表達式轉換成極坐標系中的

43、形式: (1); (2). 解 由直角坐標與極坐標間的關系式得 u=f(x, y)=f(rcos, rsin)=F(r, ), 其中x=rcos, y=rsin, , .應用復合函數求導法則, 得 , .兩式平方后相加, 得 .再求二階偏導數, 得 .同理可得 .兩式相加, 得 . 全微分形式不變性: 設z=f(u, v)具有連續偏導數, 則有全微分 . 如果z=f(u, v)具有連續偏導數, 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有連續偏導數, 則 . 由此可見, 無論z 是自變量u、v的函數或中間變量u、v的函數, 它的全微分形式是一樣的. 這個性質叫做全微分形式不變性. 例6 設

44、z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不變性求全微分. 解 = e usin vdu+ e ucos v dv = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy =e xy y sin(x+y)+cos(x+y)dx+ e xy x sin(x+y)+cos(x+y)dy . §9. 5 隱函數的求導法則一、教學目的與要求：會求隱函數（包括由方程組確定的隱函數）的偏導數。二、重點（難點）：隱函數的偏導數三、教學方式：講授式教學

45、結合多媒體講授內容：一、一個方程的情形 隱函數存在定理1 設函數F(x, y)在點P(x0, y0)的某一鄰域內具有連續偏導數, F(x0, y0)=0, Fy(x0, y0)¹0, 則方程F(x, y)=0在點(x0, y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數y=f(x), 它滿足條件y0=f(x0), 并有 . 求導公式證明: 將y=f(x)代入F(x, y)=0, 得恒等式 F(x, f(x)º0, 等式兩邊對x求導得 , 由于F y連續, 且Fy(x0, y0)¹0, 所以存在(x0, y0)的一個鄰域, 在這個鄰域同Fy ¹0

46、, 于是得 . 例1 驗證方程x2+y2-1=0在點(0, 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x=0時y=1的隱函數y=f(x), 并求這函數的一階與二階導數在x=0的值. 解 設F(x, y)=x2+y2-1, 則Fx=2x, Fy=2y, F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2¹0. 因此由定理1可知, 方程x2+y2-1=0在點(0, 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x=0時y=1的隱函數y=f(x). , ; ； . 隱函數存在定理還可以推廣到多元函數. 一個二元方程F(x, y)=0可以確定一個一元隱函數, 一個三元方程F(x, y, z)=0可以

47、確定一個二元隱函數. 隱函數存在定理2 設函數F(x, y, z)在點P(x0, y0, z0)的某一鄰域內具有連續的偏導數, 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)¹0 , 則方程F(x, y, z)=0在點(x0, y0, z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續偏導數的函數z=f(x, y), 它滿足條件z0=f(x0, y0), 并有 , . 公式的證明: 將z=f(x, y)代入F(x, y, z)=0, 得F(x, y, f(x, y)º0, 將上式兩端分別對x和y求導, 得 , . 因為F z連續且F z(x0, y0, z0

48、)¹0, 所以存在點(x0, y0, z0)的一個鄰域, 使F z¹0, 于是得 , . 例2. 設x2+y2+z2-4z=0, 求. 解 設F(x, y, z)= x2+y2+z2-4z, 則Fx=2x, Fy=2z-4, , . 二、方程組的情形 在一定條件下, 由個方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0可以確定一對二元函數u=u(x, y), v=v(x, y), 例如方程xu-yv=0和yu+xv=1可以確定兩個二元函數, . 事實上, xu-yv=0 ÞÞÞ, . 如何根據原方程組求u, v的偏導數？

49、隱函數存在定理3 設F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)在點P(x0, y0, u0, v0)的某一鄰域內具有對各個變量的連續偏導數, 又F(x0, y0, u0, v0)=0, G(x0, y0, u0, v0)=0, 且偏導數所組成的函數行列式： 在點P(x0, y0, u0, v0)不等于零, 則方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0在點P(x0, y0, u0, v0)的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續且具有連續偏導數的函數u=u(x, y), v=v(x, y), 它們滿足條件u0=u(x0, y0), v0=v(x0, y0), 并有 , , , . 隱函數的偏導數: 設方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0確定一對具有連續偏導數的二元函數u=u(x, y), v=v(x, y), 則 偏導數, 由方程組確定; 偏導數, 由方程組確定. 例3 設xu-yv=0, yu+xv=1, 求, , 和. 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導, 得關于和的方程組,當x2+y2 ¹0時, 解之得, . 兩個方程兩邊分別對x 求偏導, 得關于和的方程組,當x2+y2 ¹0時, 解之得, . 另解 將兩個方程的兩邊微分得 ,