1、相平面法例題解析：要求：1正確求出對于非線性系統在每個線性區的相軌跡方程，也就是e &之間關系的 方程（或c G&）0會畫相軌跡（模型中是給具體數的）。關鍵是確定開關線方 程。2. 如果發生自持振蕩，計算振幅和周期。注意相平面法一般應：1）按照信號流向與傳輸關系。線性部分產生導數關系，非線性部分形成不同分區。連在一起就形成了不同線性分區對應的運動方程，即含有C或者&的運動方程。2） 探根據不同線性分區對應的運動方程的條件方程確定開關線方程。開關線方程確定 很關鍵。3） 探根據不同線性分區對應的運動方程，利用解析法（分離變量積分法或者消去 t法）不同線性分區對應的相軌跡方

2、程，即c &和e e之間關系。4） 根據不同分區的初始值繪制出 相軌跡，并求出穩態誤差和超調、以及自持振蕩的周期 和振幅等。例2：具有死區特性的非線性系統分析。設系統開始處于靜止狀態。問題1.用相平面法分析系統在輸入r（t） = 4.1（ t）時的運動情況。問題2.如果發生自持振蕩，求自持振蕩的周期和振幅。解：問題1： 1）設系統結構圖，死區特性的表達式：X 0, |e| 2x e 2, e 2x e 2,e22） 線性部分：C（s）2，則運動方程為：& xX（s） s3）繪制e &平面相軌跡圖。因為e r c, c r e, & &&艮3&am

3、p;8。代入則x（ 1）& 0,|e| 2 I當t 0, & 0, i& 0。代入，則各區的運動方程 2 e, e 2 II& e 2,e2 III由于非線性特性有3個分區，相平面e e分為3個線性區。注意，當相 平面選好后，輸入代入后，最后代入非線性特性。4）系統開關線：e 2。5）由題意知初始條件e（0）r（0） c（0）4，e（0）&（0） c（0）0在II區，則從初始值出發繪制相軌跡：【注】：用解析法中的斜率法求：上課時按照此方法求相軌跡方程：II區：e& e-2 0 -不是標準線性系統運動方程的形式。d& e& 2 ee

4、&根據斜率方程de e 2 e，則分離變量積分得(2 e)de ed&de &&八丿 0則e e之間的相軌跡方程為(e 2)2 & 4結論：II區以奇點(2,0)為中心的圓，與右開關線e 2的交點A( 2，-2)I 區：o，&常數2，水平線，與左開關線e2的交點B (-2, -2)III 區：e& e 20-不是標準線性系統運動方程的形式。根據斜率方程dge&e 2e，則分離變量積分得dee&&&2(2e)de2曲& (注意新的初始值B (-2,-2)則e e之間的相軌跡方程為(e 2)2 &

5、; 4結論：山區以奇點(-2,0)為中心的圓。以此例推，出現了一個封閉橢圓 極限環問題2:若相平面中出現了穩定的極限環對應著非線性的自持振蕩。問題：自持振蕩的周期怎么算呢？如圖：這是個橢圓，1)周期：T 4(tCA tAD)II 區：tcA這是因為：I 區：tAD2de4 && (e01 .de2 &2)204 (e 2)2 二4 f &4 (e-de 122)2，注意，e在圖中為負的例3:具有繼電器特性的非線性系統分析2006-B (15分)非線性控制系統如圖。問題1:設r 0,繪制起點在c 2 , & 0的c &相軌跡圖。（10分）問題2:計

6、算相軌跡旋轉一周所需時間。（5分）r 技x1c+1pl2 s解：問題1： （10分）0,|e| 11）非線性環節數學表達式：x 2,e 12, e 12）線性部分：C廻 g所以描述線性部分的運動方程為：C& xX（s） sC& 0|e| 1則 C& 2 e 1服 2 e 13）繪制c &平面相軌跡。e r c，令r0，ec，&0,|c| 1 I則各區的運動方程c&2,c 1 II&2,c 1 III注意：條件方程也要改成c &勺。4）開關線方程：c 15）由已知條件，起點c 2 , &0 , （2,0）從II區開始，下面繪

7、制相軌跡：【注】：用解析法中消去參變量時間t的方法求相軌跡方程：上課時按照此方法求的，以下同。當然如果用斜率法求相軌跡方程也可以。不過，這個例子C為常數，消去參變量時間t的方法更適合。U區：2 2&2，則（& 2t C02t ; c t&tC0 t 2;相軌跡為開口向左的拋物線，c 0.25點0.25（& c00.25& 2 ；在右開關線c 1處的交點為c01 = 1 , 10.25c2 2 &12 -（1,-2）I區：c& 0，則（& &12 ； c&1tc012t1 ;相軌跡為平行橫軸的直線（因為縱坐標不變-2

8、，而橫坐標雖時間變化）；在左開關線處的交點為c02 =-1 , &22 -（-1,-2）2 2川區：&2t c022t 2;ct &2tc°2 t 2t 1 ;c0.25&"0.25&2520.25（&2-相軌跡為開口向右的拋物線，在開關線處的交點（-1,2）以此類推，求得如圖的極限環每個區的初始值的求法就是根注意：每個區的初始值是不同的。當進入II區時的第一個位置即為II的初始值, 據上一個區的區域根軌跡方程可以求出進入下一區的初始值，以此一個個區經 過后，會變成一個連續的曲線軌跡非線性系統的相軌跡。問題：自持振蕩的周期怎么

9、算呢？幅值怎么算呢 ？冋題2:運動一周所需時間為11 T 4(dc0 1 11 0 1 2dc) 4( dcdc) 6(因為 II 區c 0.25&2,1 &2,4(2 c)12則 v 4(2 c)（&，注意，&在圖中為負的。）振幅一一代表此時的位移，也就是此時與橫軸的交點位置大小一一即 C點的橫 坐標。這是因為，對于整個非線性系統的奇點是（0，0 ）。對于該點，最大的 位移就是振幅，因此是C點的橫坐標2。注意：并不是所有開關線都是垂直于橫軸的，開關線關鍵要看各個線性區域的邊 界條件。例4 : 20XX年 非線性控制系統如下圖所示。圖中r（t） 2 1（t）。1

10、、以c （&為相變量，寫出相軌跡分區運動方程（8分）；2、 若M=0.5，畫出起始于c（0） 0、（&0） 0的相軌跡（4分）;3、利用相軌跡計算穩態誤差及超調量（3分）解：1. 1）非線性特性:2）線性部分：注意：線性部分關鍵是產生M，（& 0M，（& 0e b （1）（的運動方程，但是更關鍵的是,此運動方程必須能與非線性特性的輸出產生關系。3）繪制以c &平面的相軌跡。因此，e r c代入式（1）中，則則 C& r c b即運動方程為C& c b r 0因為 r(t) 2 1(t)，則C& bc 2 0 (2)式（2）中代入非線性特性，于是c& r c M S& cc& r c M S& cM=0.5，則各區的運動方程：& c 1.50,& 0c& c 2.50,& 04）開關線方程：& 0各區的運動方程:M，（&M，&I區II區I區II區2.繪制相軌跡： 起點為（0, 0）在I區。I 區:塑dc（c與開關線交于II 區:翌 dcc(c& 01.5)2 &1.52，相軌跡為奇點為c 3，(& 0的點c 2.5