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1、河海大學理學院高等數學河海大學理學院高等數學第七章 常微分方程 高等數學上）高等數學上）河海大學理學院高等數學第二節 一階微分方程一、可分離變量的微分方程二、齊次方程三、一階線性微分方程河海大學理學院高等數學一、可分離變量的一階微分方程dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例例如如,2254dxxdyy 解法解法設函數設函數)(yg和和)(xf是連續的是連續的, dxxfdyyg)()(設設函函數數)(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數數,CxFyG )()(為微分方程的通解為微分方程的通解.分離變量法分離

2、變量法)()(yxfdxdy yyg 1)(: 設設河海大學理學院高等數學例例1 1 求解微分方程求解微分方程.12的通解xxydxdy解解分離變量分離變量,12dxxxydy兩端積分兩端積分,12dxxxydy12)1ln(21lnCxy.12為所求通解xCy二、典型例題河海大學理學院高等數學例例 求解微分方程求解微分方程.22的的通通解解xydxdy 解解設設 分離變量分離變量,22xdxydy 兩端積分兩端積分,22 xdxydyCxy 21.12為為所所求求通通解解Cxy 0: y首首先先.是是解解0 y.,0:可可見見通通解解不不是是所所有有解解也也是是解解注注 y河海大學理學院高等

3、數學二、齊次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程稱為齊次方程的微分方程稱為齊次方程. .2.解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程1.1.定義定義河海大學理學院高等數學例例 1 1 求解微分方求解微分方程程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，則則udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu 微分方程的解為微分方程的解為解解,xuy 即即,lnsinCxu .lnsinCxxy 河海大學理學院高等數學yxyxeyxedydx21)1(2,yxu 令,dyduyudydxuyx則例例2 2 求解微分方程求解微分方程解解0)1(2)21( dyyxedxeyxyx河海大學理學院高等數學ueuCy2lnlnln.2Cxyeyx,221dueueydyuu河海大學理學院高等數學利用變量代換求微分方程的解利用變量代換求微分方程的解.)(62的通解求例yxdxdy解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdu ,arcta

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