1、2016屆高三數學一輪基礎鞏固第2章第4節(jié) 指數與指數函數新人教A版一、選擇題1. （2014 東北三校聯(lián)考）函數f（x） =axT（a>0, awl）的圖象恒過點 A下列函數中圖象 不經過點A的是（）A. y= <1 xB. y=|x 2|C. y=2x 1D. y=log 2（2 x）答案A解析f（x） =axT的圖象過定點（1,1）,在函數丫=嚴;中當x=1時，y=0,故選A.2.（文）（2013 煙臺月考）若2= log 20.9, b=3 g, c=（J2,則（）A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<

2、a答案B解析a=log 20.9<0 , c=（；）g=3 3 22因為 3-1>3- 1>0,所以 a<c<b. 32一1（理）設2= 2, b=0.3° , c= log 0.3 0.2,則 a、b、c 的大小關系是（）A. a>b>cB. a<b<cC. b<a<cD. a<c<b答案C解析y=x°.5在（0 , +8）上是增函數，1>1>0.3 ,1- 1>a>b,又y=log0.3x在（0 ,+8）上為減函數，1. log 0.30.2>log 0.30.3

3、 = 1,即 c>1,b<a<c.2xe +13.（文）（2014 西安模擬）函數f（x） =-的圖象（）eA.關于原點對稱B.關于直線y=x對稱C.關于x軸對稱D.關于y軸對稱答案D解析:f （x） = ex+e-x,. f （ x） = f （x） ,f （x）為偶函數，故選 D.（理）已知a>0, aw1,函數y = iog ax, y = ax, y=x + a在同一坐標系中白圖象可能是（）答案C解析函數y= ax與y= 10g ax互為反函數，它們的圖象關于直線y= x對稱，排除B；a>1時，y=x+a與y軸交點在點(0,1)上方，排除A； 0<a

4、<1時，y=x+a與y軸交點在點(0,1) 下方，排除D,故選C.4. (2014 浙江紹興一中月考)函數f(x) = a1x+11 (a>0, aw 1)的值域為1 ,十),則f ( 4)與f(1)的關系是()A. f( 4)>f(1)B. f (-4) = f(1)C. f(4)<f(1)D.不能確定答案A解析由題意知a>1, f(-4) =a3,f(1) =a2,由y= ax的單調性知a3>a2,f(4)>f(1) .5.(文)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x+1) = f(x),且f(x)在3, 2上為減函 數,則在銳角 ABC,有()A.

5、 f (sinA)>f(cosB)B.f (sin A)<f(cosB)C. f (sinA)>f (sinB)D.f (cos A)< f (cosB)答案A解析由題知偶函數f(x)的周期為2,所以f(x)在1,0上為減函數，故偶函數f(x),兀兀兀在0,1上為增函數，因為 A + B> ,所以萬>A> B>0,1>sin A>cosB>0.于是 f (sin A)> f (cos B) ,故選 A.(理)(2014 陜西理，7)下列函數中，滿足“f(x+y) =f(x)f(y)”的單調遞增函數是()A. f (x) =

6、x；B. f(x)=x3一1 x一xc. f(x)=(2)D. f(x) = 3答案D解析由于axay=ax+y,所以指數函數f(x)=ax滿足f(x+y)= f (x)f(y),且當a>l時單調遞增，0<a<1時單調遞減，所以f(x)=3x滿足題意.6. (2013 天津月考)已知函數f(x) =log a(2x + b1)( a>0, awl)的圖象如圖所示，貝U a, b滿足的關系是()1B. 0<b<-<1a1 1D. 0<-< <1a b1A. 0<-<b<1 a1C. 0<-<a<1 b

7、答案A解析由圖象知函數單調遞增，所以a>1.又一1<f (0)<0 ,f (0) =log a(2°+b-1) =log ab,r ,1一，即一1<log ab<°,所以 °L<b<1,故選 A.a二、填空題7. (2014 沂南一中月考)方程9x 6 3 x7=°的解是答案log 37解析9x 6 3x7=0? (3x) f(£) +f(4)的值為6 3 x 7=0, ，3x = 7 或 3x=1(舍去).，x=log37.1 v8. 函數f(x)的定義由程序框圖給出，程序運行時，輸入h(x)=萬,6

8、 (x) =log 2x,則答案1516解析由程序框圖知f(x)=>6 xw(J) x1.h2= -1,1石，如4)=2, . f(4)=1 i6?1 ,f 2,115+ f(4)=t+16=-而9. (2013 湖南)設函數 f (x) =ax+bx cx,其中 c>a>0, c>b>0.(1)記集合M= ( a, b, c)| a, b, c不能構成一個三角形的三條邊長，且 a= b,則(a, b, c) 6 M所對應的f(x)的零點的取值集合為.(寫出所有正確結論(2)若a, b, c是 ABC勺三條邊長，則下列結論正確的是的序號)？ xe ( 8, 1),

9、 f (x)>0 ；？ xe R使ax, bx, cx不能構成一個三角形的三條邊長;若 ABC為鈍角三角形，則？ xC (1,2),使f(x) = 0.答案(1) x|0<x<1 (2)解析(1) < c>a>0, c>b>0, a=b,且a、b、c不能構成三角形的三邊，0<a+ a<c,(c)X=2,a令 f(x)=0 得，ax+ bx= cx, a= b, l- 2ax= cx,x= log a2,x= log 2a>1, 1- 0<x< 1.(2)a、b、c是三角形的三邊長，a+b>c,c>a>

10、;0, c>b>0,，0具1,0<、<1,，當c cxC ( -oo i)時，f (x)=抖 bx cx=cx( a)x+(b)x 1>cx(a+- 1) =-c-a+bc >0, c cc cc，正確；令a=2, b=3,c=4,則a、b、c構成三角形的三邊長，取x = 2,則a 一，x>0,(理)(2013 山東聊城一模)設卜6旦 函數f(x)= xF(x) =f(x)+kx, xC ex, x<0,R(1) k=1時，求F(x)的值域；(2)試討論函數F( x)的單調性.、b2、c2不能構成三角形的三邊長，故正確；.c>a, c>

11、;b, ABE鈍角三角形，a2+b2c2<0,又 f(1) =a + bc>0, f (2) =a2+b2c2<0,，函數f(x)在(1,2)上存在零點，正確.三、解答題10.(文)已知函數f(x) =(2)*二 3(1)求f (x)的單調區(qū)間；9(2)若f (x)的最大值等于求a的值.4分析這是一個復合函數判定單調性的問題，解題時先找出構成復合函數的簡單函數，9分別考慮它們的單調性，再求f(x)的單調區(qū)間，最后利用單調性考慮何時取到最大值 4,從而建立a的方程求出a.解析(1)令 t = |x| -a,則 f(x) =(|)t, 3不論a取何值，t在(8, 0上單調遞減，在

12、0 , +°°)上單調遞增，又 丫=(；),是單調 3遞減的，因此f(x)的單調遞增區(qū)間是(8, 0,單調遞減區(qū)間是0 , +°°).(2)由 知，f(x)在x=0處取到最大值，-f (0) = (2) a=， 1- a=2.341一+ x, x>0,解析(1)k=1 時，F(x)=f(x)+x= xex+x, x<0.可以證明F(x)在(0,1)上遞減，在(1, +8)和(8, 0上遞增，又 f(0) =1, f(1) =2,所以 F(x)的值域為(一8, 1 U2, +8).1一十 kx, x>0,(2) F( x) = f (x)

13、 + kx = xex+ kx, x<0.若k=0,則F(x)在(0, +8)上遞減，在(8, 0)上遞增；若k>0,則F(x)在(0,4上遞減，在(1，一，忑,十°°)上遞增，在(8, 0)上遞增.若k<0,則F(x)在(0, +8)上遞減.當 x<0 時，F' (x) =ex+k,若 F' (x)>0,則 x>ln( k),若 F' (x)<0 ,則 x<ln( -k).若 kw1, -k>1,則 F(x)在(一8, 0上遞減，若一1<k<0,0< k<1,則 F(x)

14、在(一8, in( k)上遞減，在(ln( k) , 0)上遞增.能力拓展提升一、選擇題11.(文)已知定義在 R上的奇函數f(x)和偶函數g(x)滿足f (x) + g(x) = axa-x+2( a>0, 且 aw1),若 g(2) =a,則 f(2)=()15A. 2B4C. 7D. a24答案B解析,f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，由f(x)+g(x) = axa-x+2得，f(x) + g( -x) = a x-ax+2,解得 f (x) =ax-a x, g(x) =2,一一x x 一 15又 g(2) =a, .-=2, . .f(x)=2 2 , f(2)=.(理)(

15、2014 湖北荊門月考)已知a>b>1,0<x<1,以下結論中成立的是()B. xa>xbD. log ax>log bx1 x 1 xa. (a) >(b)C. log xa>log xb答案D解析a>b>1,0<x<1,1 10<_<T1 , a b, (a)x<(b)x,故 a不成立;a>b>1,0<x<1, . xa<xb,故 B 不成立;- a>b>1,0<x<1,.log xa<iog xb,故 C不成立;D.R上，它的圖象關于直線

16、x= 1對稱,log xa<iog xb<0,，log ax>log bx,故 D成立,故選12.(文)(2013 福建泉州一模)設函數f(x)定義在且當 x>l 時，f(x) =3x-1,則有()<f 2<fB.<f<f2C-f 3<fD.<f<f答案解析f(x)的圖象關于直線x= 1對稱,x>l時,f(x)=3-1為增函數，故當 x<1時，f(x)為減函數，且31f 2 =f 1 + 2 =f1 =f 2112- f >f >fT 3 T 2 T 3231，即 f3<f2<f3323,故選

17、B.2-x, x<0(理)(2013 四平模擬)已知直線y=mx與函數f(x) =2x2+1,x>0的圖象恰好有3個不同的公共點，則實數 m的取值范圍是(A.C.(：3(；24)B.5)D.)(V2，+°°)(V3, 22)答案x<0解析作出函數f(x)=122x +1,x>0所示.直線的圖象如圖y = mx的圖象是繞坐標原點旋轉的動直線.當斜率 mO時，直線y=mx與函數f (x)的圖象只有一個公共點；當 n>0時，直線r=中,3y= mx與函數f(x)的1 xy= mx始終與函數y= 2- (") (x<0)的圖象有一個公共

18、點，故要使直線3圖象有三個公共點，必須使直線y=mx與函數y= 1x2+1（x>0）的圖象有兩個公共點，即方程1 222mx= 2x+1在x>0時有兩個不相等的實數根， 即方程x2m刈2=0的判別式 A = 4m 4X2>0.解得m>y2.故選B.13.（文）（2014 安徽省示范高中第一次聯(lián)考）已知函數-x - 3a, x<0 f(x)=ax-2, x>0.(a>0B.1(0, 33C. (0,1)D.(0,2且awl）是R上的減函數，則 a的取值范圍是（2 A. (0， 3答案B解析 由f（x）是（一 8,+8）上的減函數，可得0<a<

19、1= a°-2<- 3a解得1 0<a< -.3易錯警示本題考查的是分段函數在 R上的單調性,要注意本題需滿足a 一 2w 3a.（理）（2014 江西適應性考試）已知函數 f（x）=a< x<0,的值域是-2 ,-x +2x,0< x<48,1,則實數a的取值范圍是A. ( 003B. -3,0)C. -3-1D. 3答案解析當0W x<4時,f(x)C -8,1,當 awx<0時，f(x)1 -(2)1),所以1) 8,1,即一8W1 a<21,即一 3w a<0.a14.（文）（2014 福建五校聯(lián)考、石室摸底）

20、定義運算a® b=ba< ba>b則函數f（x）2x的圖象是（）答案A解析依題意，f (x)的值為1和2x的值中較小的，故當 f(x) =2x,故選 A.x>0 時，f (x) = 1,當 x<0 時,a aw b ,(理)(2013 廣州模擬)定義運算a® b =b a>b則f(x) =2x® 2 x的圖象是答案C解析由ab的定義知，f(x)的圖象為y= 2、與y=2-x的圖象中較低的部分，故選C.15. (2014 成都七中期中)若函數f(x) =>1 + 3x+a 9x，其定義域為(一巴 1,的取值范圍是()B.4A. a

21、=一9D.4一十 a<0答案B解析要使f(x)有意義，應有1 + 3x+a9>0(*)由題意知，不等式(*)的解集為(一巴 1,令t=3x,則tC(0,3 ,，t=3是方程1+t+ at2= 0 的根，a=一：.9二、填空題16. (2014 皖南八校聯(lián)考)對于給定的函數f (x) = ax-a x(x R, a>0, awl),下面給出五個命題，其中真命題是.(只需寫出所有真命題的編號)函數f(x)的圖象關于原點對稱;函數f(x)在R上不具有單調性;函數f(| x|)的圖象關于y軸對稱;當0<a<1時，函數f(| x|)的最大值是0;當a>1時，函數f(|

22、 x|)的最大值是0.答案解析x)=f(x) ,，f(x)為奇函數，f(x)的圖象關于原點對稱，對；當a>1時，f(x)在R上為增函數，當0<a<l時，f(x)在R上為減函數，錯；y=f(| x|)是偶函數， 其圖象關于y軸對稱，對；當0<a<1時，y= f(| x|)在(一8, 0)上為增函數，在0,+8) 上為減函數，當 x=0時，y = f(| x|)的最大值為0,對；當a>1時，f(x)在(一國，0)上 為減函數，在0, + 8)上為增函數，當x=0時，y=f(x)的最小值為0,錯.綜上，真命題是.三、解答題17.已知 f(x) = 3x,并且 f(

23、a+2) = 18, g(x) =3ax 4'的定義域為 1,1.(1)求函數g(x)的解析式；(2)判斷g(x)的單調性；(3)若方程g(x)=m有解，求m的取值范圍.解析(1)因為 f (a+2) = 18, f (x) =3x,所以 3a+2= 18? 3a=2,所以 g(x) =(3a)x-4x=2x-4x, xC1,1.(2) g(x)=-(2x)2+2x=- 2x-22+4.當 xe -1,1時，2xe 2, 2 ,令 t=2x,所以 y=- t2 + t=- t -2 2+4.故當 t C 21, 2 時，y= t2+t= t12+4是減少的，又t = 2x在1,1上單調

24、增加，所以g(x)在1,1上單調減少.(3)因為方程g(x)=m有解，即 m= 2x-4x在1,1內有解.由(2)知g(x)=2x4x在 1,1上單調遞減，1 1所以一2w me4,故m的取值范圍是 一2, 4 .18.(文)(2013 資陽診斷)函數f(x)=m log ax(a>0且aw1)的圖象過點(8,2)和(1 , 1) .(1)求函數f(x)的解析式；(2)令g(x) =2f (x) -f (x- 1),求g(x)的最小值及取得最小值時 x的值.f 8 =2,log a8 = 2,解析(1) .一f 1 =- 1,log a1 = 1,解得 m - 1, a=2,故函數解析式

25、為f (x) = 1 + log 2X.(2) g(x)=2f(x)-f(x-1)=2( 1 + log 2X) 1 + log 2(x1)2 x = log 2x1 1(x>1).x2 x 1 2+ 2 x 1+11口 =x1=(xT)+ +2y xt占+2=4，當且僅當x 1 =彳，即x=2時，等號成立.而函數y=log2x在(0, +8)上單調遞增, x 12 x則 log 2x- 1 > log 24 1 = 1 ,故當x=2時，函數g(x)取得最小值1.1 x2(理)(2013 陜西調研)已知函數 f(x)=3,xC1, 1,函數 g(x) = f (x) - 2af (x) 3+ 3