1、初中數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽講座第講一 乘法公式作者:日期:第十八講乘法公式乘法公式是在多項式乘法的蒙礎(chǔ)上，將多項式乘法的一般法則應(yīng)用于一些特殊形式的多項式相乘，得 出的既有特殊性、又有實用性的具體結(jié)論，在復(fù)雜的數(shù)值計算，代數(shù)式的化簡求值、代數(shù)式的恒等變形、 代數(shù)等式的證明等方面有著廣泛的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)乘法公式時，應(yīng)該做到以下幾點：1 .熟悉每個公式的結(jié)構(gòu)特征，理解掌握公式：2 .根據(jù)待求式的特點，模仿套用公式；3 .對公式中字母的全而理解，靈活運用公式：4 .既能正用、又可逆用且能適當(dāng)變形或重新組合，綜合運用公式.例題【例1】(1)已知兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差為2000,則這兩個連續(xù)奇數(shù)可以是.(江蘇省競賽題

2、) 已知(2000 3)(1998 一 a)=1999,那么(2000 a)2+(1998 一 a)L.(重慶市競賽題)思路點撥(1)建立兩個連續(xù)奇數(shù)的方程組：(2)視(2000 a)(1998 a)為整體，由平方和想到完全 平方公式及其變形.注：公式是怎樣得出來的?一種是由已知的公式，通過推導(dǎo)，得到一些新的公式；另一種是從大量的特 殊的數(shù)量關(guān)系入手，并用字母表示數(shù)來揭示一類數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律一一公式.從特殊到一般的過程是人類認識事物的一般規(guī)律，而觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律最常用的方法. 乘法公式常用的變形有：()a2 +h2 =(a±b)2+2ab, .=(" + )

3、一(1 +"=('二 +"二)一(一)22(2)(a + b)2 +(a-b)2 = 2a2 +2b2 ；(3) (a + b)2 -(a-b)2 = 4ab:(4) 4 = 二二, a2 +b2 +c2 =(a + b + c)2 -2(ab + bc + ac)4【例 2】 若 x 是不為 0 的有理數(shù)，已知 M =*2+2x + 1)(x22x + 1), N = (x2 + x+ )(x2 - x+ ),則M與N的大小是( ) A. M>N B. M<N C. M=N D.無法確定 思路點撥 運用乘法公式，在化簡M、N的基礎(chǔ)上，作差比較它們的大小

4、.【例3】計算：(1)6(7十I)十1)(74十I)十1)+1；(天津市競賽題)(2)1.345 X 0.345 X 2.691.3452 1.345 X 0.3452.(江蘇省競賽題)思路點撥若按部就班計算，顯然較繁.能否用乘法公式，簡化計算，關(guān)鍵是對待求式恰當(dāng)變形，使 之符合乘法公式的結(jié)構(gòu)特征，對于(2),由于數(shù)字之間有聯(lián)系，可用字母表示數(shù)(稱為換元)，將數(shù)值計算轉(zhuǎn) 化為式的計算，更能反映問題的本質(zhì)特征.【例4】(1)己知x、y滿足X?十產(chǎn)十二=2x十y,求代數(shù)式的值. (“希望杯”邀請賽試題) 4x + y整數(shù)x, y滿足不等式/ + y2+«2x + 2)，求x+y的值. (

5、第14屆“希望杯”邀請賽試題)(3)同一價格的一種商品在三個商場都進行了兩次價格調(diào)整.甲商場：第一次提價的百分率為a,第二 次提價的百分率為b,乙商場：兩次提價的百分率都是上心(a>0, b>o),丙商場：第一次提價的百分率為 2b,第二次提價的百分率為a,則哪個商場提價最多?說明理由.(河北省競賽題)思路點拔 對于(1)，(2)兩個未知數(shù)一個等式或不等式，須運用特殊方法與手段方能求出x、y的值， 由平方和想到完全平方公式及其逆用，解題的關(guān)鍵是拆項與重組；對于(3)把三個商場經(jīng)兩次提價后的價格 用代數(shù)式表示，作差比較它們的大小.注：有些問題常常不能直接使用公式，而需要創(chuàng)造條件，使之

6、符合乘法公式的特點，才能使用公式.常 見的方法是：分組、結(jié)合，拆添項、字母化等.(1)2 ± 2ab + b- = (a ±Z?)2 > 0；完全平方公式逆用可得到兩個應(yīng)用廣泛的結(jié)論：揭示式子的非負性，利用非負數(shù)及其性質(zhì)解題.之2ab應(yīng)用于代數(shù)式的最值問題.代數(shù)等式的證明有以下兩種基本方法：（1）由繁到簡，從一邊推向另一邊：（2）相向而行，尋找代換的等量.【例5】 已知a、b、c均為正整數(shù)，且滿足/+/=/,又a為質(zhì)數(shù).證明：（Db與c兩數(shù)必為一奇一偶： （2）2（a+b+l）是完全平方數(shù).思路點撥 從。2+r二。2的變形入手：，尸=02。2,運用質(zhì)數(shù)、奇偶數(shù)性質(zhì)證明

7、.學(xué)力訓(xùn)練1 .觀察下列各式：（X - 1）（X+1） = X2- 1：（X - 1）（X2+X+1）=X3- 1：（X - l）（x3 十 X2+X+ 1）=X4 - 1.根據(jù)前而的規(guī)律可得（x - l）（X n+X n/+x+l）=.（武漢市中考題）2 .已知。2+。2+4。-2 + 5 = 0,則"2=.（杭州市中考題）a - b3 .計算：（1）1.23452+0.76552+2.469 X 0.7655：:（2）19492 19502+19512 19524+1997? 19982+19992 = :.19991998 2（3）弓.19991997 -+19991999 :

8、24.如圖是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分的面枳的不同表示方法寫出一個關(guān)于a、b的恒等式 .（大原市中考題）14215 .已知“ + = 5,則 +'： +二.（荷澤市中考題）acr6 .已知。一 = 3/ + c = -5,則代數(shù)式。一匕。+ “26必的值為（）.A. 一15 B. - 2 C. 一6 D. 67.乘積。-9。號”)(17)等于( 1999220002（揚州市中考題）.（重慶市競賽題）（第4題）（陜西省中考題）11 .(1)設(shè)x+2z=3z,判斷X? 9y2+4z?+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否則請說明理由.(2)已知X? 2x

9、=2,將J、.式先化簡，再求值：(xl)?+(x+3)(x 3)+(x 3)(x 1).(上海市中考題)12 . 一個自然數(shù)減去45后是一個完全平方數(shù)，這個自然數(shù)加上44后仍是一個完全平方數(shù)，試求這個自然 數(shù).13 .觀察：1-2-3-4 + 1 = 522.3-4-5 + 1 = 112345 6+ 1 = 192請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，并給出證明：(黃岡市競賽題)(2)根據(jù)(1),計算2OOOX2OO1X2OO2X2OO3+1的結(jié)果(用一個最簡式子表示).14 .你能很快算出19952嗎?為了解決這個問題，我們考察個位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方，任意一個個位數(shù)為5的自然數(shù)可寫 成10n

10、+5(n為自然數(shù)),即求(10n+5)2的值，試分析n=l, n=2, n=3這些簡單情形，從中探索其規(guī)律, 并歸納猜想出結(jié)論.(1)通過計算，探索規(guī)律.152225 可寫成 100X1X(1+1)+25； 25625 可寫成 100X2X(2+1)+25：352= 1225 可寫成 100 X 3 X (3+1 )+25 ； 45?=2025 可寫成 100 X 4 X (4+1 )+25 ：755625 可寫成； 852=7225可寫成.(2)從第(1)題的結(jié)果，歸納、猜想得(10n+5F=.(3)根據(jù)上面的歸納猜想，請算出1995?=(福建省三明市中者題)15 .已知/+)'2+

11、/一2工+ 4)，一62+ 14=0,則;r+y + z=.(天津市選拔賽試題)16 . (1)若 x+y=10, x3+y3=100,則 ”+y2=.若 a-b=3,則 a3-b3_9ab= .17 . 1, 2, 3,，98共98個自然數(shù)中，能夠表示成兩整數(shù)的平方差的個數(shù)是.(初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)18 .已知 a-b=4, ab+c2+4=0,則 a+b=().A. 4B. 0C. 2D. 219 .方程八丫2=1991,共有()組整數(shù)解.A. 6B. 7C. 8D. 920 .已知a、b滿足等式工=。2+從+20,)，= 4(26-)，則x、y的大小關(guān)系是().A. xWy B. x2y C.

12、 x<y D. x>y(大原巾"競賽題)21 .已知 a=1999x+2000, b= 1999x+2001, c= 1999x+2002,貝lj多項式 a2+b?+c2 abbc-ac 的值為().A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)(西安市競賽題)22.設(shè) a+b=l, a2+b2=2,求 a'+b?的值.23.已知a滿足等式a2-a-l=0,求代數(shù)式c/+7aT的值, (河北省競賽題)24.若x+y = a+，且/ +/,求證：/+)產(chǎn)=/十,嚴7.(北京市競賽題)25 .有10位乒乓球選手進行單循環(huán)賽(每兩人間均賽一場)，用X1,山

13、順次表示第一號選手勝與負的場數(shù): 用X2, 丫2順次表示第二號選手勝與負的場數(shù)：用刈0、yio順次表示十號選手勝與負的場數(shù).992,32求證：+X2 + 內(nèi)0工=y+，2- + +月()_.26 . (1)請觀察：25 =52,1225 =35)112225 =3352 J122225 =3335 2-寫出表示一般規(guī)律的等式，并加以證明.(2)26=54居 53=72+22, 26X53=1378, 1378=372+32.任意挑選另外兩個類似26、53的數(shù)，使它們能表示成兩個平方數(shù)的和，把這兩個數(shù)相乘，乘積仍然是 兩個平方數(shù)的和嗎?你能說出其中的道理嗎？注：有人稱這樣的數(shù)“不變心的數(shù)數(shù)學(xué)中有

14、許多美妙的數(shù)，通過分析，可發(fā)現(xiàn)其中的奧秘.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾對26(2)的性質(zhì)作了更進一步的推廣.他指出：可以表示為四個平方數(shù)之和的甲、 乙兩數(shù)相乘，其乘積仍然可以表示為四個平方數(shù)之和.即(a2+b2+c2 十 d2)(e2+P+g2+h2)=A2+B2+C2+D2.這就是著名的歐拉恒等式.第十八講乘法公式參考答案園乘法公式【例題求解】R X2<K10 例II)設(shè)兩個迂續(xù)奇數(shù)為1,門且工>«y，則、 八 。得上+3=1000直1+，工-1000、解得(工B) = (499.501)或 11一尸2(-50K-499).(2)4002 提示 $(2000。)？十(1998 。&

15、gt;=(2000。)一(1998。)7+2(2000 (1998 -a)例2選B例 3 (1)原式=(7 】)7十D(7Z4 1)(74+l)(7' + l) + 1 = 7'”(2>沒1345 =工,則摩式=工(工一】) 2工一/一“(工一】» = 一1=一1345例41提示：由已知得(a-1)2+) =。,得產(chǎn)】產(chǎn)/,原式=/(X 1 0(2)原不等式可化為(1-1)2 4(3一1><1.且/0為整數(shù)，口一1)，/0.(3-1):30所以可能有的結(jié)聚是，或1了一1一 0(X-1»±1 (J-1 = 0( j-1 i2 (工二

16、1,c或 .I解得f I或 ，或 或 產(chǎn) 八*+，=或2或3 l>- 1 -0ly1 = ±1,l>-1lyT ly-2 y=0(3)甲、乙、丙三個商場兩次提價后,價格分別為(1+a)(】+6) = 1+。+&+北乂1+皇) (1卜寧)= 1 + (“+力+ ("藝)一(1+力(1+。)-1 +。+。+。仇因中2-0心>0,所以(暝>。從故乙商場兩次提價后，價格最高.例5 (1)因G+A)(c-冷=/，又c+0與c-6同奇同偶.c+6>c-。,故a不可能為假質(zhì)數(shù)2,0應(yīng)為奇質(zhì)數(shù)y+與。一川可奇 同偶g與c必為一奇一偶.(2八+6-儲&q

17、uot;- 6yl.兩式相減,得26=/ 1,于是2。+6+1) = 2.426 + 2=2(3+/ 142 =(0 + 1產(chǎn).為一完全平方 數(shù).【學(xué)力訓(xùn)練】1. J*1 - !2. 一; 3. (1) 4i (2) 3897326 j (3) ；4. Q+6V 一4。6=5. 246. C7. D 提示，逆用平方差公式，分解相約 8. C 提示：由已知條件將工、=09. D 提示：工工0,由條件得工+ = 13,工，+=(./ + ,)2 - 2=(+)'一2'一210. A11 .(】)定侑為 0 提示 g由條件得，-33=»-27,原式=(*-3,)*(+33)

18、+4/+4;« 2% (/ + 3了)+ 4/+ 4彳=4, 4 2xz6yz = 4z2 +2z(j-3y) = 0(2)原式-3/ - 6X-5 = 3(/ - 2冷一5-1.12 .提示，設(shè)這個自然數(shù)為工.由尊意得45 二/ 得 /一環(huán)=89 即 (n+mXw-m) = 89X 114+ 44%，f/i+m = 89一 (n=45_ .,介從而|,解得(切力科為自然數(shù)) 故 t=45?-44=1981.m=l1/71 = 4413.1)對于自然數(shù)*布儲+1)3+2)("+ 3與1 =(，)3”一1尸證明略(2)由(1)得原式=200夕+3X2000+1)2 = 400

19、600114. (1) 100X7X(7 + 1) + 25 100X8X(8 + 1) + 25.(2) (10rt+5)e = 10n(rt+l)4 25(3) 19952 = < 10 X 199-*-5)2 = 10X 199X( 199+1) + 25 = 398002515. 216. (1)40 提示加+/ =(工+夕(3一外+丁)=(彳H+y)'-3“j;(2)2717. 73 提示業(yè)=(0+加)6一帆)(1匕mVn<98,a.»為整數(shù)).因” +m與加- m的奇偶性相同故工是奇數(shù)或是4的倍數(shù)18. B 提示 把 a = 6 + 4 代人6+/+4

20、 = 0 得6+2了+/4019. C 提示：(z+W(n-W=1X1991 = 11X】8 =(-1)X( - 1991) = (-11)乂(-181)20. B 提示仃一)=(。+ 2尸十(6 4尸。21. D 提示：股式R；(a - b)2 + “-c> + Q-C'22. y 提示，由a十。=】1+廿-2.得ab-一5利用 產(chǎn)+L Ta(。+ 6)一的a，,+L)可分別求得言/+6,=4 »a5+必學(xué)方十"ZZ4423. 48 提示，由/一。一 1-0,得 q-qT = 1進而三+。7 = 3.丁+。' =7 .所以小 + 7.7卜 7a &#

21、39;1 = 71 +7-1 = 7(/+。7) 1 = 48.f«r+y=a + 624提示，設(shè).，心,則由2-，得27=2MIf+y =cr +3 一,得 （工-W = （° - 6）2 ,即xy = |a-6|/ jr = 6或y=b y=a25 .提示：由題意知1n十y = 9（i= 1,2，10）且工+9+工+g +十因（r? +忌+ RQ -（爐+夕；+ 乂0）=（犬一幺）十（6一丁；）+ ”+（603彳0）=（/ + »）（口 A ） + （12+32）（12-A）+ " +（*w+»i，）（M。一。）= 9（xi +及 + n】。）-（V +v + + vo）=026 . （1